初中數(shù)學邏輯推理強化練習5

初中數(shù)學邏輯推理強化練習5

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.把正方體的六個面染成3面紅，2面藍，1面黃，正方體可以旋轉，旋轉后相同的

兩種染色方法看成是同一種染色方法，那么一共有（）種不同的染色方法.

A.2B.3C.4D.至少5利?

2.下表是某電臺本星期流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭頭"T”或"廣

分別表示該歌曲對于上星期名次變化的情況，'T’表示上升，表示下降，不標注則

表示名次沒有變化.已知每首歌曲的名次變化都不超過兩位，則上星期有可能排在

1,5,7名的歌曲是（）.

名次12345678910

歌曲ABCDEFGHIJ

變化情況T1T1TT新

A.D,E,HB.C,F,lC.C,E,ID.C,F,H

3.分母是2007的正的最簡真分數(shù)有（）個.

A.675B.326C.1329D.1332

4.在象棋中，"兵’’在過河后，可以向左、向右或往前行進一步，但是永遠不能往后方

移動.如圖，“兵”己經(jīng)過河了，可以向右、向上行進.那么"兵'’從現(xiàn)在的位置走到“將”

的位置，且要使路程之和最短，有幾種行走的路線（）

A.16B.20C.24D.32

5.A,B,C,D,E五人參加“五羊杯”初中數(shù)學競賽得分都超過91分，其中E排第

三，得96分.又已知A,B,C平均95分，B,C,D平均94分,若A排第一，則。

得（）分.

A.98B.97C.93D.92

6.把2,4,7,K四張牌分發(fā)給四人，每人按牌面數(shù)字分（K記13分）記分，然后收

回重洗，再分發(fā)和記分，…，若干次后，發(fā)現(xiàn)四人累計各得16,17,21和24分.己

知得16分者最后一次得2分，則他第一次所得分數(shù)是（）分.

A.2B.4C.7D.13

7.一個盒子中有紅球，〃個、白球10個，黑球”個，每個球除顏色外都相同，從中任

取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么見”的關系是（）.

A.m+n=10B.m+n=5C.m=n=i0D.m=2,n=3

8.把紅、黃、藍、白四種顏色的球各6個放到一?個袋子里，一次至少要?。ǎ﹤€

球，才可以保證取到兩個顏色相同的球

A.7個B.6個C.5個

二、填空題

9.某計算機用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元，70元的單片軟件

和盒裝磁盤，根據(jù)需要軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有

種.

10.5所小學進行足球比賽，每兩所小學賽一場，每場勝隊得3分，負隊得。分，平

局各得1分.已知其中4所小學的得分分別為8,7,4,1,那么第5所小學的得分最

多是.

11.小丁，小明、小倩在一起做游戲時，需要確定游戲的先后順序，他們約定用“剪

子，布、錘子”的方式確定，那么在一個回合中三人都出"布''的概率是.

12.調查某班的文具盒，得到如下結果：

（I）有鋼筆的同學，沒有圓珠筆；

（II）有圓珠筆的同學，也有毛筆；

（III）有鉛筆的同學，沒有毛筆；

（W）沒有鉛筆的同學，有圓珠筆.

根據(jù)以上調查結果，小明得出下列五點結論：

（1）有毛筆的同學也有鋼筆；（）

（2）沒有毛筆的同學有鋼筆；（）

（3）有圓珠筆的同學的人數(shù)與有毛筆的人數(shù)相等；（）

（4）沒有任何同學同時有圓珠筆和鉛筆；（）

（5）有鋼筆的同學也有鉛筆.（）

小明的結論是否正確？請你在每個結論的括號內，正確的打’7”,不一定正確的打

“X”.

13.將正整數(shù)從1開始依次按如圖所示規(guī)律排成一個數(shù)陣，其中，2在第1個拐角

處，3在第2個拐角處，5在第3個拐角處，7在第4個拐角處，…，那么第2007個

拐角處的數(shù)是

26—25—24—23—22—21

II

2710—9—8—7—20

IIII

28II2—1619

IIII

：123—4—518

II

:13-14—15—16—17

14.11只小鳥落在8棵樹上，至少有只小鳥要落在同一棵樹上.

個(包括大小不同的)正方形；

個包括大小不同的矩形(包含正方形).

16.將紅、黃、藍三種顏色的帽子各5頂放入一個盒子里，要保證取出的帽子有兩種

顏色，至少應取出__________頂帽子；要保證三種顏色都有，則至少應取出________

頂；要保證取出的帽子中至少有兩頂是同色的，則至少應取出_______頂.

三、解答題

17.某學生為了準備參加數(shù)學競賽，連續(xù)做了5周習題，他每天至少做一道習題，每

周至多做10道習題.證明：他一定在連續(xù)若干天內恰做了19道習題.

18.(1)從10本不同的書中取3本書，分別送給3位朋友，每人恰好一本，共有多少

種不同的方法？

(2)從10本不同的書中任取3本書送給1位朋友，共有多少種不同的方法？

19.設甲有一條長為人的線段，乙有一條長為/的線段，甲先將自己的線段分成3

段.然后乙也將自己的線段分成3段，如果可用分得的6條線段組成兩個三角形，則

乙勝；否則甲勝.問甲、乙兩人誰能根據(jù)比值彳的大小保證自己獲勝？他該如何進

行？

20.從1,2,3,…，50這50個正整數(shù)中任取〃個數(shù)，在這"個數(shù)中總能找到3個

數(shù)，它們兩兩互質.求"的最小值.

21.一個多位數(shù)N(N21O)乘以11,得到一個新的數(shù)，我們把這個新數(shù)的首位和末位上

的數(shù)字去掉后剩下的數(shù)叫做多位數(shù)N的“留守數(shù)”，如果兩個多位數(shù)的“留守數(shù)”的數(shù)字

相同或之和相等，我們稱這兩個多位數(shù)為“李生數(shù)如：???21x11=231,67x11=737,

.*.21和67的“留守數(shù)”均為3(3=3),所以21和67是“攣生數(shù)”;再如:

：36xn=396,108x11=1188,.*.36的留守數(shù)是9,108的“留守數(shù)”的數(shù)字之和為9,

9=1+8,所以36和108是“學生數(shù)”.

⑴42的“留守數(shù)”是_；42與2021「洋生數(shù)”(填“是”或“不是”)；

(2)如果兩個兩位數(shù)〃和N是“李生數(shù)”(MHN),其中M=IO〃+A,N=10c+d,且

3a+6=ll(a〉b),c+d<10其中c均為1到9之間的整數(shù)，b,d均為0到9之

間的整數(shù)，求出所有符合條件的兩位數(shù)N.

22.某班期中考試結束后，語文、數(shù)學、英語獲得90分以上的學生人數(shù)分別是22

人、18人、20人，其中語文和數(shù)學兩科都獲得90分以上的學生人數(shù)有8人，語文和

英語兩科都獲得90分以上的學生人數(shù)有9人，數(shù)學和英語兩科都獲得90分以上的學

生人數(shù)有7人，并且語文、數(shù)學、英語三科都沒有獲得90分以上的學生人數(shù)有5

人.問這個班最少有幾個學生？最多有幾個學生.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

【詳解】

3紅面有兩種情形：（1）如圖（a）,3紅面有一個公共頂點，此時余下三面任選一面染黃,

二面染藍，由于旋轉的關系，可以看成同一種染色方法.

（2）如圖（6）,紅面中有2個面是對面，如上、下底面染紅，4個側面中有一個面染紅，

余下3側面中2藍面或相鄰或相對，有2種不同染法，合計共有3種不同染色方法.故選

B.

【解析】

【分析】

【詳解】

解由。上升排在第4,而名次變化不超過2,則上星期不可能排在第一，故排除選項A；

E下降排在第5,則上星期不可能排在第5,排除選項C；又”上升排在第8,則上星期應

排在第8之后，不可能排在第7,排除選項。.所以選民

3.D

【解析】

【分析】

【詳解】

因2007=32x223,因懸是最簡真分數(shù)的充要條件是1<“<2006,并且”與2007互素，

即〃既不被3整除又不被223整除，記/={1,2,…,2006},4={a|ae/并且〃不被3整除

},423={"|。€/，并且a不被223整除},&，423在/中的補集分別記為川，和自3,則由

答案第1頁，共11頁

容斥原理知/中既不被3又不被223整除的數(shù)的個數(shù)等于

14n=1/1-(141+14231)-(140/1)=2006-

2006=2006-(668+8)+2=1332.故選D.

3x223_

4.B

【解析】

【分析】

“兵”從現(xiàn)在的位置走到“將”的位置，總共會走3次右和3次上，依據(jù)圖表，運用列舉法算

即可求解.

【詳解】

解：兵”從現(xiàn)在的位置走到“將”的位置，總共會走3次右和3次上，路線如下圖所示，

逐一列舉如下：

：151291

11

11

11

1_1

44118：

11

I1

11

1

*3107

11

11

11

k_______

兵123

則行走的路線的種數(shù)有：1-2-3-4-5-6；1-2-7-4-5-6；1-2-7-8-5-6；1-2-7-8-9-6；1-

10-7-4-5-6；1-10-7-8-5~6；1-10-7-8-9-6；1-10-11-8-5-6；1-10-11-8-9-6；1-10-1I-

12-9-6；13-10-7-4-5-6；13-10-7-8-5-6；13-10-7-8-9-6；13-10-11-8-5-6；13-10-11-

8-9-6；13-10-11-12-9-6；13-14-11-8-5-6；13-14-11-8-9-6；13-14-11-12-9-6；13-14-

15-12-9-6；共20種,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查用列舉法計算.解題的關鍵是數(shù)形結合，有序列舉，不重不漏；

5.B

【解析】

【分析】

答案第2頁，共11頁

【詳解】

設A,B,C,D,E分別得“，b,c,cl,e分，則小b,c,d,e都是在92與100之間的

正整數(shù)，其中。最大，e=96排第三，且a+6+c=3x95=285,〃+c+4=3x94=282.

兩式相減得a-d=3.

若6排在第二，貝iJZ?2e+l=97,aN人N97,c=285-a-b=91<92,矛盾.

若c排第二則cW97,aN97,〃=285-a-c491<92,矛盾.

若1排第二，則d±97,a="+3*97+3=10(),故只可能a=100,d=97.所以選8.

6.C

【解析】

【分析】

【詳解】

由題設知每次四人得分總和等于2+4+7+13=26.

又若干次后，四人得分累計總和等于16+17+21+24=78,可見發(fā)牌次數(shù)為78+26=3次.

又得16分者最后一次得2分，則前兩次共得16-2=14分，而2,4,7,13中只有兩次均

取7分才可能其和得14分，故得16分者第一次得7分所以選C.

7.A

【解析】

【分析】

【詳解】

盒中共有加+〃+10個球，取得的是白球的概率是〃=，取得的不是白球的概率為

m+n+L10

P=m+n依題意有一^―=m+所以m+〃=10.故應選A.

+72+10m+n+\06+〃+10

8.C

【解析】

【分析】

把紅、黃、藍、白，這四種顏色看作4個抽屈，把6x4=24個小球看作24個元素.從最不

利情況考慮，每個抽屜需要放1同色球，共需要1x4=4個，再摸出1個不論什么顏色，總

有一個抽屜的球和它同色，所以至少要摸出4+1=5個；據(jù)此解答.

【詳解】

解：4+1=5(個)

答案第3頁，共11頁

答：至少要取5個球，才可以保證取到兩個顏色相同的球.

故選：C

【點睛】

抽屈原理的解答思路，從最不利情況考慮，準確地建立抽屜和確定元素的總個數(shù)是解題的

關鍵.

9.7

【解析】

【分析】

【詳解】

解先買了3片軟件和2盒磁盤，余下500-(3x60+2x70)=180(元).若不買軟件，則可

買磁盤0盒、1盒或2盒；若買1片軟件，則可買磁盤0盒或1盒；若買2片軟件，則不

可能再買磁盤；若買3片軟件，也不能再買磁盤，故共有3+2+1+1=7種選購方法.

10.7

【解析】

【分析】

【詳解】

一共比賽了gx5x4=10場如果無平局那么共得3x10=30分.

TTij8=3+3+14-1,7=3+3+1+0,4=3+1+0+0,1=1+0+0+0.

四個學校共出現(xiàn)了5次平局，故至少有3場踢平，所以至多可得的總分為30-3=27

分.第5個學校至多得27-8-7-4-1=7分，這個7分是可以達到的，如下表就是一種滿

足題目要求的比賽結果，故第5所學校最多得7分.

—>二三四五

一1133

二1330

三1030

四0001

五0331

答案第4頁，共11頁

【解析】

【分析】

【詳解】

3個人所出手勢的各種不同結果共有3x3x3=27種，其中三人都出“布”的情況只有一種，故

所求概率為

27

12.(1)x；(2)x；(3)<(4)7；(5)?

【解析】

【分析】

【詳解】

因為原命題與其逆否命題等值，故由(III)推知有毛筆n無鉛筆，再結合(IV)和(H)

推得有毛筆n無鉛筆n有圓珠筆n有毛筆，故有毛筆、無鉛筆、有圓珠筆三者是等值

的，所以(3),(4)正確.

再結合(I)知有鋼筆的同學沒有圓珠筆，從而他有鉛筆，故(5)也正確.

(I)

若(1)正確，則有毛筆=>有鋼筆n沒有圓珠筆=無毛筆，矛盾，故(1)不正確.因為

(I)

有鋼筆n無圓珠筆=無毛筆是正確的，故它的逆命題(2)不一定正確綜上得本題的結論

是X、X、(《，

13.1008017

【解析】

【分析】

【詳解】

解設第〃個拐角處的數(shù)是明,則

q=2,4=3,%=5,4=7,%=10,%=13,a7=17,4=21,…，于是

a2-a,=\,ay-a2=2,a4-a,=2,a5-a4=3,a6-a5=3,a1-a6=4,a9-a7=4....一般地,我

們有?2?-l-a2n-2="，a2n-a2?-\=?.

答案第5頁，共11頁

注意至i」2007=2xl004—l,于是

2X）7=4+3-4）+3-4）+（“4一%）+~+（%005一%004）+（42006一%005）+

（凡007—60（）6）=2+1+2+2+3+3+??,+1003+1003+1004=l+2x（l+2+3+??,+

1003）+1004=1+2x（1+l0°^）xl（）03+1004=1+10042=1008017.

14.2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得11只小鳥落在8棵樹上，每棵樹上落1只小鳥，還剩3只小鳥.這3只小鳥

不管落在哪棵樹上，至少有2只小鳥落在同一棵樹上，即可求解

【詳解】

解：V114-8=1.......3,

.?.11只小鳥落在8棵樹上，每棵樹上落1只小鳥，還剩3只小鳥.這3只小鳥不管落在哪

棵樹上，至少有2只小鳥落在同一棵樹上.

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查了抽屜原理，根據(jù)題意得到11只小鳥落在8棵樹上，每棵樹上落1只小鳥，

還剩3只小鳥是解題的關鍵.

15.55225

【解析】

【分析】

【詳解】

解（1）邊長為123,4,5的正方形分別有三,42,流于,/個，故共有夕+4?+3?+2?+F=55

個正方形.

（2）長方形的水平方向的邊長可為1,2,3,4,5,它們分別有5,4,3,2,1種不同取法故長方形的

水平方向邊長共有5+4+3+2+1=15種不同取法.同理，長方形的豎直方向的邊長也有

5+4+3+2+1=15種不同取法，故共有15x15=225個不同的長方形.

16.6114

【解析】

答案第6頁，共II頁

【分析】

考慮最不利的情況：取假設出的前5頂帽子是同一種顏色，則再取一頂即保證取出的帽子

有兩種顏色；假設取出的前10頂帽子是兩種顏色，則再取一頂即保證三種顏色都有；假設

取出的前3頂帽子是三個顏色，則再取一頂即保證取出的帽子中至少有兩頂是同色的，由

此即可填空.

【詳解】

①5+1=6（頂）:

②2x5+1=11（頂）：

③3+1=4（頂）：

答：要保證取出的帽子至少有兩種顏色，至少應取出6頂帽子，要保證三種顏色都有，則

至少應取出11頂；要保證取出的帽子中至少有兩個是同色的，則至少應取出4頂；

故答案為：6,11,4.

【點睛】

本題考查抽屜原理的實際應用，掌握運用抽屜原理解決簡單的實際問題是解題關鍵.

17.見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

設該學生從第1天到第i天共做了道習題《=1,2,…,35）,因為每天至少做1道習題，每

周至多做10道習題，所以54為<59<一<$354x=，于是

W+19Vs2+19<S35+19<69.

因為70個正整數(shù)席邑,…,S35,$+19,。+19,…,S35+19中最小的是，,最大的535+1949,

故由抽屜原理，這70個數(shù)中必有兩個數(shù)相等，而

S1<S2<-<S35JS1+<m+<…<$余+,所以必存在14i</435,使邑=S,+19,

即S,-S；=19,也就是該學生在第i+l,i+2,…,/這連續(xù)天內恰做了19道習題.

18.（1）不同的送書方法共有720種；（2）不同的送書方法共有120種.

【解析】

【分析】

答案第7頁，共11頁

【詳解】

（1）從10本書中取1本送給第一位朋友有10種選擇，再從余下9本書中取1本送給第二

位朋友，有9種選擇，最后從余下的8本書中取1本書送給第三位朋友有8種選擇，故由

乘法原理知，不同的送書方法共有編=10x9x8=720（種）.

（2）同（1）,我們知道從10本書中依次取出3本書（每次取一本書）共有編=10x9x8

種取法.當取出的3本書是A,B,C時，它們取出的次序都有下列父=3x2x1=6種不同的

順序：ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.而將它們送給一位朋友是相同的情況，故不同的

送書方法共有奪=學譽=120（種）.

A33X2X1

19.見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

（1）當彳>1,即〃>/時，甲有必勝策略.甲可將長為人的線段分為長度分別為占，k2,

匕的3段，滿足匕+玲+匕=3且％+/<24<2&,于是（%—仁）+/<勺，即

&+自+/<尢，這時乙無論將長為/的線段分成3段，除尢外，其他5條線段中長度之和小

于匕，所以其中任意兩條都無法與長度為用的線段組成三角形，從而甲獲勝.

（2）當Z4/時，甲將長為/的線段分成3段，長度為匕<&<&，然后乙從自己的線段上

截取長為，3的線段，使&3?/3<&+自，于是%2，%，4可組成一個三角形，這時乙手中余

下線段的長度（自+匕）=勺，于是只要將余下部分等分成2條線段，即可與勺一起組

成三角形，從而乙獲勝.

20.n的最小值等于34.

【解析】

【分析】

【詳解】

記5={1,2,3,…,50},4是S中能被i整除的正整數(shù)組成的集合0=1,2,3）,陶|,|闋分別

答案第8頁，共11頁

4，4中數(shù)的個數(shù)，由容斥原理有他7闋=閡+闊-14cAi=—+—-

L3ZXJ

=25+16-8=33.

從A?u4中任取3個數(shù)，其中至少有2個數(shù)屬于4或4中同一個集合，它們不互質.

故所求”的最小值234.

2222

其次，設4={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47},B2={2,3,5,7},

員={2x23,3x17,5x9},則耳,B2,%中共有16+4+3=23個數(shù)，于是從S內任取34個

數(shù)，其中至少有34-(50-23)=7個數(shù)屬于筋4.由抽屜原理知，這7個數(shù)中至少有

-7-1'

亍+1=3個數(shù)屬于用，B2,B、中同一個子集，它們兩兩互質.

綜上所述，所求〃的最小值等于34.

21.(1)6,不是

(2)N取值為14、23、41

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“留守數(shù)”和“攣生數(shù)''的概念直接計算即可得出結果；

(2)根據(jù)3a+6=ll以及b的取值范圍得出從而得出。可取1、2、3,然后根

據(jù)M和N是“攣生數(shù)”可得c+d取值，從而得出N.

(1)

解：?.?42x11=462,

???42的“留守數(shù)”是6；

?.?2021x11=22231,

2021的“留守數(shù)”是2+2+3=7,

二42與2021不是“攣生數(shù)”；

(2)

解：：34+6=11(4>與且匕為0到9之間的整數(shù)，

:.h=ll-3a,BP0<ll-3a<9,

211

,即。可取1、2、3,