約束條件的檢驗(yàn)

約束條件的檢驗(yàn)回歸方程約束條件的檢驗(yàn)

(受約束的回歸)

在建立回歸模型時(shí)，有時(shí)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論需對(duì)模型中變量的參數(shù)施加一定的約束條件。

模型施加約束條件后進(jìn)行回歸，稱為受約束回歸;

不加任何約束的回歸稱為無(wú)約束回歸。例如：——需求函數(shù)的0階齊次性條件城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。

根據(jù)需求理論，居民對(duì)食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為:

Q:居民對(duì)食品的需求量，X：消費(fèi)者的消費(fèi)支出總額P1：食品價(jià)格指數(shù)，P0：居民消費(fèi)價(jià)格總指數(shù)。

根據(jù)恩格爾定律，居民對(duì)食品的消費(fèi)支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關(guān)系:

對(duì)數(shù)變換:

(***)

零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變

考慮到零階齊次性時(shí)表

中國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出（元）及價(jià)格指數(shù)

X

(當(dāng)年價(jià))

X1

(當(dāng)年價(jià))

GP

(上年=100)

FP

(上年=100)

XC

(1990年價(jià))

Q

(1990年價(jià))

P0

(1990=100)

P1

(1990=100)

1981

456.8

420.4

102.5

102.7

646.1

318.3

70.7

132.1

1982

471.0

432.1

102.0

102.1

659.1

325.0

71.5

132.9

1983

505.9

464.0

102.0

103.7

672.2

337.0

75.3

137.7

1984

559.4

514.3

102.7

104.0

690.4

350.5

81.0

146.7

1985

673.2

351.4

111.9

116.5

772.6

408.4

87.1

86.1

1986

799.0

418.9

107.0

107.2

826.6

437.8

96.7

95.7

1987

884.4

472.9

108.8

112.0

899.4

490.3

98.3

96.5

1988

1104.0

567.0

120.7

125.2

1085.5

613.8

101.7

92.4

1989

1211.0

660.0

116.3

114.4

1262.5

702.2

95.9

94.0

1990

1278.9

693.8

101.3

98.8

1278.9

693.8

100.0

100.0

1991

1453.8

782.5

105.1

105.4

1344.1

731.3

108.2

107.0

1992

1671.7

884.8

108.6

110.7

1459.7

809.5

114.5

109.3

1993

2110.8

1058.2

116.1

116.5

1694.7

943.1

124.6

112.2

1994

2851.3

1422.5

125.0

134.2

2118.4

1265.6

134.6

112.4

1995

3537.6

1766.0

116.8

123.6

2474.3

1564.3

143.0

112.9

1996

3919.5

1904.7

108.8

107.9

2692.0

1687.9

145.6

112.8

1997

4185.6

1942.6

103.1

100.1

2775.5

1689.6

150.8

115.0

1998

4331.6

1926.9

99.4

96.9

2758.9

1637.2

157.0

117.7

1999

4615.9

1932.1

98.7

95.7

2723.0

1566.8

169.5

123.3

2000

4998.0

1958.3

100.8

97.6

2744.8

1529.2

182.1

128.1

2001

5309.0

2014.0

100.7

100.7

2764.0

1539.9

192.1

130.8

X：人均消費(fèi)X1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價(jià)）Q：人均食品消費(fèi)（90年價(jià)）P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100（一）模型參數(shù)的線性約束例如對(duì)模型:施加約束:得:或:(*)(**)如果對(duì)（**）式回歸得出:則由約束條件可得：

然而，對(duì)所考查的具體問(wèn)題能否施加約束？需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。常用的檢驗(yàn)有：F檢驗(yàn)、x2檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)。F檢驗(yàn)

在同一樣本下，記無(wú)約束樣本回歸模型為:受約束樣本回歸模型為:于是:

受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR于是e’e為無(wú)約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSU(*)受約束與無(wú)約束模型都有相同的TSS

這意味著，通常情況下，對(duì)模型施加約束條件會(huì)降低模型的解釋能力。但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無(wú)約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。由（*）式RSSR

≥

RSSU從而ESSR≤

ESSU可用RSSR-RSSU的大小來(lái)檢驗(yàn)約束的真實(shí)性

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：于是：

討論：如果約束條件無(wú)效，RSSR

與RSSU的差異較大，計(jì)算的F值也較大。

于是，可用計(jì)算的F統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。注意，kU-kR恰為約束條件的個(gè)數(shù)。

例城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求實(shí)例中，對(duì)零階齊次性檢驗(yàn)：

無(wú)約束回歸:RSSU=0.00324，kU=3

受約束回歸:RSSR=0.00332，KR=2

樣本容量n=14，約束條件個(gè)數(shù)kU-kR=3-2=1取

=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96結(jié)論：不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。這里的F檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)（二）對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個(gè)回歸模型(*)(**)(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：H0：相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計(jì)量為：

Ｆ統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式

如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對(duì)Ｙ?zèng)]有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較小；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì)Ｙ有較強(qiáng)的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較大。因此，可通過(guò)F的計(jì)算值與臨界值的比較，來(lái)判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論：約束條件的檢驗(yàn)21222324年份實(shí)際總產(chǎn)值勞動(dòng)日實(shí)際資本投入Tyx2x3198916607.7275.517803.7199017511.3274.418096.8199120171.2269.718271.8199220932.926719167.3199320406267.819647.6199420831.627520803.5199524806.328322076.6199626465.8300.723445.