向量方法求空間角和距離

向量方法求空間角和距離第一課時(shí)概念梳理回歸基礎(chǔ)最新考綱考情考向分析能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的計(jì)算問(wèn)題.了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.本節(jié)是高考中的必考內(nèi)容，涉及用向量法計(jì)算空間異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角及空間距離等內(nèi)容，考查熱點(diǎn)是空間角的求解.題型以解答題為主，要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，廣泛應(yīng)用函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.r知識(shí)梳理兩條異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線l1，12的方向向量，則l1與l2所成的角0a與b的夾角p范圍(°，日[°，n]求法cos0=lallbln_a-b_cosP=lallbl直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面a的法向量為”，直線l與平面a所成的角為0,a與n的夾角為月，則sin0=lcos^l=ia^ni.lallnl求二面角的大?、湃鐖D①，AB,CD分別是二面角a-l-p的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小0=〈AB，CD〉.①②③如圖②③，n1，n2分別是二面角a-l-p的兩個(gè)半平面a，的法向量，則二面角的大小0

滿足Icos0l=lcos〈n1,n2〉I,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).【知識(shí)拓展】利用空間向量求距離(供選用)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A（x1，y1，z1）,點(diǎn)B（x2,y2,z點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知/48為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則8到平面a的距離為I瀝II疝.nlInl?(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,《］,直線與平面所成角的范圍*0,面角的范圍是(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,《］,直線與平面所成角的范圍*0,面角的范圍是［0,n］.()(5)若二面角a—a"的兩個(gè)半平面a,&的法向量n1,n2所成角為仇則二面角a~a~p的大小是n—卜.()題組二教材改編2.［P104T2］已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為 )A.45° B.135°C.45°或135° D.90°答案C"n一—題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“””或“X”) 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“””或“X”) 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.() 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.()解析cos〈m，n〉-|m||nI-i.如一2，即〈m，n〉-45??.?兩平面所成二面角為45°或180°-45°=135°.3.［P117A組T4(2)］如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC—AB?的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2氣：2則AC1與側(cè)面ABB］A］所成的角為.

題組三易錯(cuò)自糾4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=Cq，則BM與AN所成角的余弦值為(ADA.］。％。I。D.25.已知向量m,n分別是直線l和平面a的方向向量和法向量，若cos〈m,n〉=—],則l與a所成的角為.6.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段B4L平面ABCD,若AB=PA，則平面ABP與平面CDP所成的角為.第二課時(shí)題型分類，深度剖析題型一求異面直線所成的角,,「'U'典例如圖，四邊形ABCD為菱形，匕ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BEL平面ABCD,DFL平面ABCD,BE=2DF,AELEC.⑴證明：平面AECL平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.思維升華用向量法求異面直線所成角的一般步驟3所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為號(hào).思維升華用向量法求異面直線所成角的一般步驟(])選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.跟蹤訓(xùn)練(2017?廣東五校第一次診斷)如圖所示，菱形ABCD中，匕ABC=60°,AC與BD相交于點(diǎn)O,AEL平面ABCD,CFHAE,AB=AE=2.求證：BDL平面ACFE；當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為45°時(shí)，求異面直線OF與BE所成角的余弦值的大小.題型二求直線與平面所成的角共典例(2016?全國(guó)III)如圖，四棱錐PABCD中，PAL底面ABCD,ADHBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).證明：MN〃平面PAB；求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.思維升華利用向量法求線面角的方法分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.題型三求二面角 "'二典例(2017?全國(guó)II)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=2aD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

證明：直線CE〃平面PAB；點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值.思維升華利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.跟蹤訓(xùn)練(2017?天津)如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL底面ABC,ZBAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA，分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.求證：MN〃平面BDE；求二面角C-EM-N的正弦值;7…L…已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為方，求線段AH的長(zhǎng).乙JL題型四求空間距離(供選用) 、二典例(2018?株洲模擬)如圖，^BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCDL平面BCD,AB上平面BCD，AB=2、h，求點(diǎn)A到平面MBC的距離.

思維升華求點(diǎn)面距一般有以下三種方法：作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.等體積法.向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便. 答題模板 利用空間向量求解空間角AD=DC典例(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD,ADLAB,AB^DC,=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱AD=DC證明：BELDC；求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；⑶若F為棱PC