專題矩形的性質(zhì)與判定2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊教材配套教學(xué)（北師大版）

專題1.2矩形的性質(zhì)與判定（第2課時）北師大版九年級上冊導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)1．理解并掌握矩形的判定方法．（重點）2．能應(yīng)用矩形判定解決簡單的證明題和計算題.(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)問題:什么是矩形？矩形有哪些性質(zhì)？ABCDO矩形：有一個角是直角的平行四邊形.矩形性質(zhì)：①是軸對稱圖形;

②四個角都是直角; ③對角線相等且平分.導(dǎo)入新課矩形判定的定理及其證明一活動1:利用一個活動的平行四邊形教具演示,拉動一對不相鄰的頂點時,注意觀察兩條對角線的長度.問題1:我們會看到對角線會隨著∠α變化而變化,當(dāng)兩條對角線長度相等時,平行四邊形有什么特征？α講授新課已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=

DC,BC

=CB,AC

=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC

=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC

+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.猜想:當(dāng)對角線相等時，該平行四邊形可能是矩形.ABCD

對角線相等的平行四邊形是矩形.定理活動2:李芳同學(xué)通過畫“邊－直角、邊－直角、邊－直角、邊”這樣四步畫出一個四邊形.①②③④問題2:李芳覺得按照以上步驟可以得到一個矩形？你認(rèn)為她的判斷正確嗎？如果正確,你能證明嗎？已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.猜想:當(dāng)三個角都是直角,該四邊形可能是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD

有三個角是直角的四邊形是矩形.定理例1：如圖,在□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O

,△ABO是等邊三角形,

AB=4,求□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形,∴OA=OB=AB=4,∠BAC=60°.∴AC=BD=2OA=2×4=8.定理的應(yīng)用二典例精析ABCDO∴□ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四個角都是直角）

.

在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

∴BC= .∴S□ABCD=AB·BC=4× =ABCDO例2：如圖，在△ABC中,

AB=AC,D為BC上一點，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD

,

EC.（1）求證：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.證明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.ADCEB(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四邊形ADCE是平行四邊形.而∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形.ADCEB1.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠

ACN、∠CAF的角平分線,則四邊形ABCD是（）

A.菱形B.平行四邊形C.矩形 D.不能確定DEFMNQPABCC當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于點E，四邊形CEDO是矩形嗎？說出你的理由.DABCEO解：四邊形CEDO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∵DE∥AC,CE∥BD，∴四邊形CEDO是平行四邊形.

∴四邊形CEDO是矩形（矩形的定義）.3.如圖，在?ABCD中，點O是邊BC的中點，連接DO并延長，交AB延長線于點E，連接BD、EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠A＝40°，則當(dāng)∠BOD＝

°時，四邊形BECD是矩形．【答案】80【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O為BC的中點，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：若∠A＝40°，則當(dāng)∠BOD＝80°時，四邊形BECD是矩形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形；故答案為：80．4.如圖，將平行四邊形ABCD的邊AB延長至點E，使BE＝AB，連接DE，EC，DE，交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）連接BD，若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD＝EC．∴在△ABD與△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD＝OE，OC＝OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四邊形BECD為矩形．課后作業(yè)1.已知平行四邊形ABCD中，下列條件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能說明平行四邊形ABCD是矩形的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解答】解：A．AB＝BC，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A不符合題意；B．AC＝BD，對角線相等的平行四邊形是矩形，故B符合題意；C．AC⊥BD，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C不符合題意；D．AC平分∠BAD，對角線平分其每一組對角的平行四邊形是菱形，故D不符合題意．故選：B．2.如圖，直線EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C兩點，AB，CB，CD，AD分別是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分線，則四邊形ABCD是（）A．菱形 B．平行四邊形 C．矩形 D．不能確定【答案】C【解答】解：∵EF∥MN，∴∠EAC+∠MCA＝180°，∵AB，CB，CD，AD分別是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分線，∠EAF＝180°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BAD＝90°，∴∠B＝90°，同理可得，∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選：C．3.已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點O，那么下列條件中能判定這個四邊形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCD C．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD＝BC，無法得出四邊形ABCD是平行四邊形，故無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．故正確；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；D、AO＝OB，AC＝BD可無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯誤；故選：B．4.如圖，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件

，使其成為矩形（填一個即可）【答案】AC=BD或∠ABC=90°【解答】解：若使?ABCD變?yōu)榫匦?，可添加的條件是：AC＝BD；（對角線相等的平行四邊形是矩形）∠ABC＝90°等．（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），故答案為AC＝BD或∠ABC＝90°．6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是線段BC、AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：△BDE≌△FAE；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是線段AD的中點，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是線段BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠