山西省陽泉市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試題高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（32分）一、單項選擇題：（本大題8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知數(shù)列滿足，，則（）A.5 B.7 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】由遞推關(guān)系求解即可.【詳解】解：因為，所以，.故選：B2.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可.【詳解】，故選：D．3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0解出不等式，并結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到本題答案.【詳解】因，所以，令，得或，又函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C4.若兩條直線與平行，則與間的距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系求解，進而根據(jù)平行線間距離公式即可求解.【詳解】由與平行，可得，當時，兩直線不重合，故，進而與間的距離為，故選：B5.圓內(nèi)有一點，AB為過點且傾斜角為的弦，則AB的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得直線的方程，然后利用弦長公式求得.【詳解】直線AB的斜率為，又直線AB過點，所以直線AB的方程為：，即，圓的圓心為，半徑，圓心到直線AB：的距離為，則．故選：A.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如下圖所示，則原函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的變化可得結(jié)果.【詳解】由圖可知，當時，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的增長速度越來越快，當時，單調(diào)遞減，故函數(shù)在上的增長速度越來越慢.B選項中的圖象滿足題意.故選：B.7.1202年意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》，在書中收錄了一個有關(guān)兔子繁殖的問題．他從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從該數(shù)列的第三項開始，每個數(shù)字都等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，其前n項和為，且滿足，則當時，的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用遞推公式，得到【詳解】，故選：A8.過拋物線：的焦點作兩條互相垂直的弦，，設(shè)為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理可得：，因為，所以直線的斜率為：，所以，由，解得，設(shè)點到準線的距離為，由拋物線的性質(zhì)可知：，而當垂直于軸時，的值最小，最小值為．【詳解】解：顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，，，，，，由拋物線的性質(zhì)可知：，，直線的斜率為：，，，，，拋物線方程為：，準線方程為：，設(shè)點到準線的距離為，由拋物線的性質(zhì)可知：，而當垂直于軸時，的值最小，最小值為，如圖所示：的最小值為3，故選：B．二、多項選擇題：（本大題2小題，每小題4分，共8分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩項是符合題目要求的，全部選對得4分，有選錯的得0分，部分選對得2分）9.如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則（）A.點的坐標為，5，B.點關(guān)于點對稱的點為，8，C.點關(guān)于直線對稱的點為，5，D.點關(guān)于平面對稱的點為，5，【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)圖示分析即可；對B，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為，再根據(jù)為的中點列式求解即可；對C，根據(jù)四邊形為正方形判斷即可；對D，根據(jù)平面求解即可【詳解】對A，由圖可得，的坐標為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為則，解得，故，故B錯誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點關(guān)于直線對稱的點為，選項C正確；對D，因為平面，故點關(guān)于平面對稱的點為，即，選項D正確；故選：ACD.10.若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，，下列命題正確的是（）A.與有“隔離直線”B.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍為C.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是D.和之間存在唯一的“隔離直線”【答案】ABD【解析】【分析】對于A，取直線，討論與的符號判斷A；對于B，C，令隔離直線為，利用二次不等式恒成立計算判斷B，C；對于D，函數(shù)與有公共點，求出在點處的切線，再證明此切線與圖象關(guān)系作答.【詳解】對于A，取直線，當時，，即成立，當時，令，，則在遞減，在上遞增，，，即成立，直線是與的“隔離直線”，A正確；對于B，C，令和的“隔離直線”為，則，，則，有，，有，當時，不等式成立，當時，的對稱軸，而時，，則，即，顯然滿足此不等式，有，而，解得，同理，，B正確，C不正確；對于D，因，即和的圖象有公共點，若和有隔離直線，則該直線必過點，設(shè)過點的直線方程為，即，由，，即恒成立，則，解得，即這條直線為，令，求導(dǎo)得：，當時，，當時，，即在上遞減，在上遞增，，即，，和之間存在唯一的“隔離直線”，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.第Ⅱ卷（68分）三、填空題：（本大題共四小題，每小題4分，共16分）11.已知函數(shù)圖象在點處的切線方程是，則______.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的值，將點的坐標代入切線方程可得，即可得解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，將點的坐標代入切線方程可得，因此，.故答案為：.12.已知數(shù)列的前n項和公式為，則的通項公式為______.【答案】【解析】【分析】由題意，根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項公式．【詳解】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.故答案為：13.設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，，則C的離心率為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半以及勾股定理，得出、、，根據(jù)橢圓的定義以及離心率公式求解即可.【詳解】在中，設(shè)，因為，所以，.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.當時，函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，等價于與有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】有兩個極值點，所以有兩個不同的實數(shù)根，即有兩個不同的實數(shù)根，等價于與有兩個不同的交點，設(shè)，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以當；所以與要有兩個不同的交點，只需故答案為：【點睛】方法點睛：含參方程有根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合，是常用的方法.本題考查了運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于一般題目.四、解答題：（本大題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、演算過程）15.已知圓C經(jīng)過，兩點，且圓心C在直線上.（1）求經(jīng)過點A，并且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；（2）求過點B的圓C的切線方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分別討論直線過原點和不過原點兩種情況，設(shè)出直線方程，代入點坐標，求解即可.（2）設(shè)圓心坐標，借助于，解出C點坐標，利用直線和切線垂直求切線的斜率，進而寫出切線方程.【小問1詳解】經(jīng)過點A，在兩坐標軸上的截距相等的直線，當直線過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，，即，即直線的方程為，當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，將點代入解得，即直線的方程為∴所求直線的方程為或；【小問2詳解】因圓心C在直線上，則設(shè)圓心，又圓C經(jīng)過，兩點，于是得圓C的半徑，即有，解得，圓心，∴，∴，∴切線l的方程為：，即.16.已知等比數(shù)列的前n項和為，且是與2的等差中項，等差數(shù)列中，，點在一次函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列，的通項和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用與之間的關(guān)系求的通項公式；將代入中可得到公差，然后利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；(2)利用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】因為是與2的等差中項，所以，即，則，當時，，從而，則等比數(shù)列的公比，故；因為，點在一次函數(shù)的圖象上，所以，即等差數(shù)列的公差為2，從而.【小問2詳解】由，得：...①...②①-②得，，從而.17.如圖，在四棱錐中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，點E是PB的中點.（1）證明：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為，求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及勾股定理的逆定理可證出線面垂直，再由面面垂直的判定定理求證即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】∵平面，平面，∴.∵，由，且是直角梯形，∴，即，∴∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面【小問2詳解】∵平面，平面，∴.由（1）知.∵，平面，平面，所以平面，∴即為直線與平面所成角.∴，∴，則取的中點G，連接，以點C為坐標原點，分別以??為x軸?y軸?z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，，得設(shè)為平面的法向量，則，令，則，，得.∴.由圖知所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18.已知是橢圓的左焦點，上頂點B的坐標是，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）O為坐標原點，直線l過點且與橢圓相交于P，Q兩點，過點作，與直線相交于點E，連接OE，與線段PQ相交于點M，求證：點M為線段PQ的中點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.（2）設(shè)出直線的方程，求得直線的方程、直線的方程，求得點坐標，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得中點坐標，進而判斷出是的中點.【小問1詳解】因橢圓的上頂點，則，令橢圓半焦距為c，由離心率得，即，解得，∴橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，，，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線，顯然，直線l不垂直于y軸，因直線過點，且，則直線的方程可設(shè)為，由得點，直線OE的方程為：，由解得：，因此點，由消去x并整理得：，設(shè)，，則，所以，，即線段PQ中點坐標為，∴點M為線段PQ的中點.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）若的導(dǎo)函數(shù)存在兩個不相等的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得出從而可求出實數(shù)的值；（2）令，可得知函數(shù)在上有兩個零點，分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和極值，由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值相關(guān)的不等式，解出即可得出實數(shù)的取值范圍；（3）將代入函數(shù)的解析式得出，對該函數(shù)求導(dǎo)得出，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性結(jié)合零點存在定理找出函數(shù)的極小值點，并滿足，結(jié)合此關(guān)系式計算得出，從而可得出整數(shù)的最大值.【詳解】（1），因為曲線在點處的切線方程為，所以，得；（2）因為存在兩個不相等的零點.所以存在兩個不相等的零點，則.①當時，，所以單調(diào)遞增，至多有一個零點②當時，因為當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以時，因為存在兩個零點，所以，解得.因