基本計數原理課件

兩個基本計數原理1世界杯足球賽共有32個隊參賽．它們先分成8個小組進行循環(huán)賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名．問一共安排了多少場比賽？前4名有多少不同的結果？要回答這個問題，就要用到排列、組合的知識．在運用排列、組合方法時，經常要用到分類計數原理與分步計數原理．2實際問題問題1：從甲地到乙地，有3條公路，2條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？問題2：從甲地到乙地，有3條道路，從乙地到丙地有2條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的走法

？3問題1：從甲地到乙地，有3條公路，2條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？因為每一種走法都能完成從甲地到乙地這件事，有3條公路，2條鐵路，所以共有：3＋2＝5

（種）甲地4乙地公路1公路2公路3鐵路1鐵路2一、分類計數原理完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有:N=m1+m2+…+mn

種不同的方法說明各類辦法之間相互獨立,都能獨立的完成這件事，要計算方法種數,只需將各類方法數相加,因此分類計數原理又稱加法原理首先要根據具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數.5問題2：從甲地到乙地，有3條道路，從乙地到丙地有2條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的走法

？甲地6乙地這個問題與前一個問題不同．在這個問題中，必須經過先從甲地到乙地、再從乙地到丙地兩個步驟，才能從甲地到丙地．因為從甲地到乙地有3種走法，從乙地到丙地有2種走法，所以從甲地到丙地，共有不同的走法：

3×2＝6

（種）．

丙地二、分步計數原理各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的方法總數,又稱乘法原理首先要根據具體問題的特點確定一個分步的標準，

然后對每步方法計數.

說明7完成一件事，需要分成n個步驟。做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法例1.書架第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架中取1本書,有多少種不同取法?有3類方法,根據分類加法計數原理N=4+3+2=9(2)從書架第1,2,3層各取1本書,有多少種不同取法?分3步完成,根據分步乘法計數原理N=4×3×2=24解題關鍵：從總體上看做這件事情是“分類完成”,還

是“分步完成”.再根據其對應的計數原理計算.學案P46-18練習要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法?分兩步完成左邊甲乙丙右邊乙丙甲丙甲

乙

392第一步 第二步×學案P46-210AB該電路從A到B共有多少條不同的線路可通電？111213141516171819202122232425分類完成分步完成26解:

從總體上看由A到B的通電線路可分二類,第一類, m1

=

4

條第二類, m3

=

2×2=

4,

條所以,根據加法原理,從A到B共有N=4+4=8

條不同的線路可通電.27m1m2……mnAB…...ABm1m2mn點評:28乘法原理看成“串聯電路”加法原理看成“并聯電路”;如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？練習29學案P47-s4解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法,第一類,

由甲經乙去丙,又需分兩步,

所以m1

=2×3=6

種不同的走法;30第二類,

由甲經丁去丙,也需分兩步,所以m2

=4×2=8

種不同的走法;N

=

6+

8=

14所以從甲地到丙地共有種不同的走法。問題3：加法原理和乘法原理的共同點是什么31？不同點什么？加法原理乘法原理相同點它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法不

同

點方式的不同分類完成分步完成任何一類辦法中的任這些方法需要分步,各何一個方法都能完成個步驟順次相依,且每這件事一步都完成了,才能完成這件事情問題4：何時用加法原理、乘法原理呢?32加法原理完成一件事情有n類方法,若每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成.乘法原理完成一件事情有n個步驟,若每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分,并且必須且只需完成互相獨立的這n步后,才能完成這件事.分類要做到“不重不漏”分步要做到“步驟完整”練習：三個比賽項目，六人報名參加。

１）每人參加一項有多少種不同的方法？２）每項１人，且每人至多參加一項，有多少種不同的方法？３）每項１人，每人參加的項數不限，有多少種不同的方法？33例1

用0,1,2,3,4,5這六個數字,可以組成多少個各位數字不重復的三位數?可以組成多少個各位數字不重復的三位的奇數?可以組成多少個各位數字不重復的小于1000的自然數?34一、排數字問題二、映射個數問題:35n例2設A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},從A到B共有多少種不同的映射?練習一個三位密碼鎖,各位上數字由0,1,2,3,4,5,366,7,8,9十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼(各位上的數字允許重復)?首位數字不為0的密碼數是多少?首位數字是0的密碼數又是多少?分析:按密碼位數,從左到右

依次設置第一位、第二位、第三位,需分為三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3

=10.根據乘法原理,共可以設置N=10×10×10=103

種三位數的密碼。首位數字不為0的密碼數?首位數字是0的密碼數?練習一個三位密碼鎖,各位上數字由0,1,2,3,4,5,376,7,8,9十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼(各位上的數字允許重復)?首位數字不為0的密碼數是多少?首位數字是0的密碼數又是多少?分析:按密碼位數,從左到右

依次設置第一位、第二位、第三位,需分為三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3

=10.根據乘法原理,共可以設置N=10×10×10=103

種三位數的密碼。變式訓練：各位上的數字不允許重復又怎樣?1、分類加法計數原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法,在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么 完成這件事共有 種不同的方法.2、分步乘法計數原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法.分類加法計數原理和分步乘法計數原理的共同點：回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題不同點：分類加法計數原理與分類有關，分步乘法計數原理與分步有關。課堂小結39分類計數原理40分步計數原理完成一件事，共有n類辦法，關鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事，共分n個步驟，