第13章-主成分分析和因子分析-stata統(tǒng)計分析與應(yīng)用

第13章主成分分析和因子分析13.1主成分分析13.1.1主成分分析的根本原理13.1.2主成分分析的數(shù)學(xué)模型13.1.3主成分分析的步驟13.1.4主成分分析的Stata命令主成分的概念由KarlPearson在1901年提出考察多個變量間相關(guān)性一種多元統(tǒng)計方法研究如何通過少數(shù)幾個主成分(principalcomponent)來解釋多個變量間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。即從原始變量中導(dǎo)出少數(shù)幾個主分量，使它們盡可能多地保存原始變量的信息，且彼此間互不相關(guān)主成分分析的目的：數(shù)據(jù)的壓縮；數(shù)據(jù)的解釋常被用來尋找判斷事物或現(xiàn)象的綜合指標(biāo)，并對綜合指標(biāo)所包含的信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉屖裁词侵鞒煞址治觯?/p>

(principalcomponentanalysis)對這兩個相關(guān)變量所攜帶的信息(在統(tǒng)計上信息往往是指數(shù)據(jù)的變異)進(jìn)行濃縮處理假定只有兩個變量x1和x2，從散點圖可見兩個變量存在相關(guān)關(guān)系，這意味著兩個變量提供的信息有重疊主成分分析的根本思想

(以兩個變量為例)如果把兩個變量用一個變量來表示，同時這一個新的變量又盡可能包含原來的兩個變量的信息，這就是降維的過程數(shù)學(xué)上的處理是將原始的p個變量作線性組合，作為新的變量設(shè)p個原始變量為，新的變量(即主成分)為

，主成分和原始變量之間的關(guān)系表示為主成分分析的數(shù)學(xué)模型主成分分析的數(shù)學(xué)模型aij為第i個主成分yi和原來的第j個變量xj之間的線性相關(guān)系數(shù)，稱為載荷(loading)。比方，a11表示第1主成分和原來的第1個變量之間的相關(guān)系數(shù)，a21表示第2主成分和原來的第1個變量之間的相關(guān)系數(shù)對原來的p個指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，以消除變量在水平和量綱上的影響根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣求出相關(guān)系數(shù)矩陣求出協(xié)方差矩陣的特征根和特征向量確定主成分，并對各主成分所包含的信息給予適當(dāng)?shù)慕忉屩鞒煞址治龅牟襟EStata命令pca、pcamatestatscreeplotscoreplot、loadingplotrotatepredict【例】根據(jù)2023年一季度滬深兩市農(nóng)業(yè)板上市公司的9項主要指標(biāo)數(shù)據(jù)，進(jìn)行主成分分析，找出主成分并進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉屩鞒煞址治?/p>

(實例分析)基本情況公司成長性指標(biāo)公司盈利能力性指標(biāo)公司股本擴(kuò)張能力指標(biāo)公司名稱ROA主營收入增長率凈利潤增長率主營業(yè)務(wù)利潤率ROEEPS每股凈資產(chǎn)每股公積金總資產(chǎn)增長率禾嘉股份0.0630.2320.8220.2580.0090.011.110.050亞盛集團(tuán)-0.0080.1610.7090.1430.0060.0061.1440.0060.047冠農(nóng)股份0.4380.7550.2840.1070.0030.0041.6210.4210.096St中農(nóng)-0.02-0.4210.9830.209001.5650.757-0.206敦煌種業(yè)0.112-0.1587.1440.3670.0250.0773.0961.988-0.057新農(nóng)開發(fā)0.2770.041-2.3760.251-0.005-0.0163.461.860.392香梨股份0.107-0.0542.101-0.1480.0120.032.511.516-0.234新賽股份0.820.1940.0580.1130.020.1013.832.2850.392Stata的輸出結(jié)果estatsmc變量之間的存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，適合作主成分分析Stata的輸出結(jié)果

(選擇主成分)該表是選那么主成分的主要依據(jù)“InitialEigenvalues〞(初始特征根)實際上就是本例中的9個主軸的長度特征根反映了主成分對原始變量的影響程度，表示引入該主成分后可以解釋原始變量的信息特征根又叫方差，某個特征根占總特征根的比例稱為主成分方差奉獻(xiàn)率設(shè)特征根為，那么第i個主成分的方差奉獻(xiàn)率為比方，第一個主成分的特征根為3.54354，占總特征根的的比例(方差奉獻(xiàn)率)為39.37%，這表示第一個主成分解釋了原始9個變量39.37%的信息，可見第一個主成分對原來的9個變量解釋的還不是很充分根據(jù)什么選擇主成分？根據(jù)主成分奉獻(xiàn)率一般來說，主成分的累計方差奉獻(xiàn)率到達(dá)80%以上的前幾個主成分，都可以選作最后的主成分比方表中前3個主成分的累計方差奉獻(xiàn)率為78.13%根據(jù)特特征根的大小一般情況下，當(dāng)特征根小于1時，就不再選作主成分了，因為該主成分的解釋力度還不如直接用原始變量解的釋力度大比方表中除前3個外，其他主成分的特征根都小于1。所以只選擇了3個主成分根據(jù)什么選擇主成分？Stata還提供了一個更為直觀的圖形工具來幫助選擇主成分，即碎石圖(ScreePlot)從碎石圖可以看到9個主軸長度變化的趨勢實踐中，通常結(jié)合具體情況，選擇碎石圖中變化趨勢出現(xiàn)拐點的前幾個主成分作為原先變量的代表，該例中選擇前3個主成分即可根據(jù)什么選擇主成分？

(ScreePlot)怎樣解釋主成分？主成分的因子載荷矩陣表1中的每一列表示一個主成分作為原來變量線性組合的系數(shù)，也就是主成分分析模型中的系數(shù)aij比方，第一主成分所在列的系數(shù)-0.0364表示第1個主成分和原來的第一個變量(ROA)之間的線性相關(guān)系數(shù)。這個系數(shù)越大，說明主成分對該變量的代表性就越大載荷圖(LoadingPlot)直觀顯示主成分對原始9變量的解釋情況圖中橫軸表示第一個主成分與原始變量間的相關(guān)系數(shù)；縱軸表示第二個主成分與原始變量之間的相關(guān)系數(shù)每一個變量對應(yīng)的主成分載荷就對應(yīng)坐標(biāo)系中的一個點第一個主成分很充分地解釋了原始的后4個變量(與每個原始變量都有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系)，第二個主成分那么較好地var2,var3,var5,var6這2個變量(與它們的相關(guān)關(guān)系較高)，而與其他變量的關(guān)系那么較弱(相關(guān)系數(shù)的點靠近坐標(biāo)軸)怎樣解釋主成分？

(LoadingPlot)13.2因子分析13.2.1因子分析的根本原理13.2.2因子分析的數(shù)學(xué)模型13.2.3因子分析的步驟13.2.4因子分析的Stata命令因子分析可以看作是主成分分析的推廣和擴(kuò)展，但它對問題的研究更深入、更細(xì)致一些。實際上，主成分分析可以看作是因子分析的一個特例簡言之，因子分析是通過對變量之間關(guān)系的研究，找出能綜合原始變量的少數(shù)幾個因子，使得少數(shù)因子能夠反映原始變量的絕大局部信息，然后根據(jù)相關(guān)性的大小將原始變量分組，使得組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，而不同組的變量之間相關(guān)性較低。因此，因子分析屬于多元統(tǒng)計中處理降維的一種統(tǒng)計方法，其目的就是要減少變量的個數(shù)，用少數(shù)因子代表多個原始變量什么是因子分析？

(factoranalysis)原始的p個變量表達(dá)為k個因子的線性組合變量設(shè)p個原始變量為，要尋找的k個因子(k<p)為，主成分和原始變量之間的關(guān)系表示為因子分析的數(shù)學(xué)模型因子分析的數(shù)學(xué)模型系數(shù)aij為第個i變量與第k個因子之間的線性相關(guān)系數(shù)，反映變量與因子之間的相關(guān)程度，也稱為載荷(loading)。由于因子出現(xiàn)在每個原始變量與因子的線性組合中，因此也稱為公因子。

為特殊因子，代表公因子以外的因素影響共同度量(Communality)因子的方差奉獻(xiàn)率因子分析的數(shù)學(xué)模型

(共同度量Communality和公因子的方差奉獻(xiàn)率