甘肅省慶陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

甘肅省慶陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第一冊(cè)第一、二章約占30%，第三、四章約占70%．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A.10 B.5 C.20 D.4【答案】B【解析】分析】用排列數(shù)公式展開(kāi)即可求得.【詳解】．故選：B2.直線與平行，則（）A.－2 B.2 C.6或－1 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行與系數(shù)的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由題可知，直線與平行，所以，得；經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．故選：B3.現(xiàn)有7位學(xué)員與3位攝影師站成一排拍照，要求3位攝影師互不相鄰，則不同排法數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將3位攝影師插入站好的7位同學(xué)的8個(gè)空里.【詳解】先排7位學(xué)員，共有種排法，再?gòu)?個(gè)空位中選3個(gè)安排給3位攝影師，故不同排法數(shù)為．故選：A4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.－2 B.2 C.－1 D.－4【答案】A【解析】【分析】求出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且前n項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有所以．故選：A5.在的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)是（）A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng) C.第5項(xiàng) D.第6項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)可確定系數(shù)為有理數(shù)時(shí)的取值，即可得出結(jié)果.【詳解】在展開(kāi)式中，根據(jù)通項(xiàng)可知，時(shí)系數(shù)為有理數(shù)，即第五項(xiàng)為．故選：C6.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，拋物線C上有一動(dòng)點(diǎn)P，，則的最小值為（）A.6 B.8 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】利用拋物線定義將焦半價(jià)轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線距離，再根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)滿足題意即可求得結(jié)果.【詳解】記拋物線C的準(zhǔn)線為，作于T，如下圖所示：拋物線定義可知，，且，所以當(dāng)P，Q，T三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為．故選：D7.跑步是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng)，能提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平，加速脂肪的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質(zhì)．小劉最近給自己制定了一個(gè)280千米的跑步健身計(jì)劃，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，則他要完成該計(jì)劃至少需要（）A.30天 B.31天 C.32天 D.33天【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，每天跑步的路程依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為0.5，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解【詳解】依題意可得，小劉從第一天開(kāi)始每天跑步的路程依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1千米，公差為0.5千米．設(shè)他經(jīng)過(guò)n天后完成健身計(jì)劃，則，整理得，解得．故選：C.8.已知圓與直線相切，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓與直線相切，求出，然后求出過(guò)圓圓心垂直于直線的直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)，再利用中點(diǎn)公式求出關(guān)于直線對(duì)稱后圓的圓心坐標(biāo)，半徑?jīng)]有改變，即可解決問(wèn)題.【詳解】由圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為5，又圓與直線相切，則到直線的距離為，則，解得，設(shè)過(guò)且與垂直的直線為，則：，聯(lián)立，得直線l與的交點(diǎn)為，設(shè)圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)公式有所以圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因此圓C關(guān)于直線l對(duì)稱圓的方程為：，故選：D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為F，P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.C的短軸長(zhǎng)為 B.的最大值為C.C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6 D.C的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可分別判斷ACD，再利用橢圓性質(zhì)即可判斷B選項(xiàng)，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，，所以，，．所以短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，即選項(xiàng)AC正確；離心率，即D正確；由橢圓性質(zhì)得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：ACD10.下列命題為真命題的是（）A.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為20 B.被7除余1C.展開(kāi)式的第二項(xiàng)為 D.被63除余1【答案】BCD【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】對(duì)于A，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為.令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)槎际堑谋稊?shù)，所以是的倍數(shù)，所以被7除余1，故B正確；對(duì)于C，的展開(kāi)式的第二項(xiàng)為，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)槎际堑谋稊?shù)，所以是63的倍數(shù)，所以被63除余1，故D正確.故選：BCD.11.用0，1，2，4，6，7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則（）A.個(gè)位是0的四位數(shù)共有60個(gè) B.2與4相鄰的四位數(shù)共有60個(gè)C.不含6的四位數(shù)共有100個(gè) D.比6701大的四位數(shù)共有71個(gè)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A特殊元素法，先排零；對(duì)于B捆綁法，分零是否被選到兩種情況討論；對(duì)于C在0，1，2，4，7選排，先排首位；對(duì)于C，分別考慮首位為7，前兩位為67.【詳解】個(gè)位是0的四位數(shù)共有個(gè)，A正確．若不含0，則2與4相鄰的四位數(shù)有個(gè)；若含0，則2與4相鄰的四位數(shù)有個(gè)，故2與4相鄰的四位數(shù)共有60個(gè)，B正確．不含6的四位數(shù)共有個(gè)，C錯(cuò)誤．比6701大的四位數(shù)共有個(gè)，D正確．故選：ABD12.若直線l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且l與C的對(duì)稱軸不平行，則稱直線l與拋物線C相切，公共點(diǎn)P稱為切點(diǎn)，且拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為．已知拋物線上有兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線C的兩條切線，直線交于點(diǎn)，過(guò)拋物線C上異于A，B的一點(diǎn)的切線分別與交于點(diǎn)M，N，則（）A.直線的方程為 B.點(diǎn)A，Q，B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知得，結(jié)合拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，可判斷A,B選項(xiàng)；根據(jù)直線方程與拋物線方程，列方程組，解出坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可判斷C,D選項(xiàng)；【詳解】解：已知拋物線，則，拋物線上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線C的兩條切線，直線交于點(diǎn)，則，則由題意可知：，對(duì)于A，聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，符合，當(dāng)，直線的斜率，所以直線的方程為：，因?yàn)樵谥本€上，所以，所以直線的方程為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，則或，由A得，則或，點(diǎn)A，Q，B的橫坐標(biāo)不成等差數(shù)列，故B不正確；對(duì)于C，由A，B可得，即，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，所以，聯(lián)立，同理可得所以，，，所以，故C正確；對(duì)于D，由C得，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.若圓與圓外切，則______．【答案】16【解析】【分析】利用兩圓外切則圓心距等于兩圓半徑之和即可.【詳解】由圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，則,由兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和，即，解得，故答案為：16.14.已知等差數(shù)列單調(diào)遞減，若，，則公差d的一個(gè)整數(shù)取值可以是______．【答案】－4（或－3，－2，－1，只需寫(xiě)出一個(gè)答案即可）【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞減可知，利用通項(xiàng)公式可得即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋傻炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式可得，即，又是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，故d的整數(shù)取值可以是－4，－3，－2，－1．故答案為：－415.雙曲線C：上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為10，則P到左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_____．【答案】18【解析】【分析】利用雙曲線的定義即可得到所求距離．【詳解】依題意，設(shè)C的左、右焦點(diǎn)分別為、，則，因?yàn)椋?，所以，故P在右支上，所以由雙曲線的定義可得，則．故答案為：18.16.某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，該崗位共有四名工作人員可以排夜班，已知同一個(gè)人不能連續(xù)安排三天的夜班，則這五天排夜班方式的種數(shù)為_(kāi)_____．【答案】864【解析】【分析】所有可能值班安排共有種，減去選一人連排三天、四天、五天夜班的情況得答案.【詳解】所有可能值班安排共有種，若連續(xù)安排三天夜班，則連續(xù)的工作有三種可能，（1）從四人中選一人連排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有種；若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有種；若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有種；若形如□▲▲▲□排列：共有種；若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有種；因此，選一人連排三天夜班共有132種．（2）從四人中選一人連排四天夜班，則連續(xù)的工作日有兩種可能，從四人中選一人連排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有種．（3）從四人中選一人連排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，則只有4種可能．故滿足題意的排夜班方式的種數(shù)為．故答案為：864四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知．在以下A，B，C三問(wèn)中任選兩問(wèn)作答，若三問(wèn)都分別作答，則按前兩問(wèn)作答計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上標(biāo)明所選兩問(wèn)的題號(hào)．（A）求；（B）求；（C）設(shè)，證明：．【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】【分析】選A利用二項(xiàng)式展開(kāi)寫(xiě)出所有含的項(xiàng)即可算出結(jié)果；選B，利用賦值法時(shí)，可得進(jìn)而求得結(jié)果；選C，分別令，即可得出證明.【詳解】選A解：因?yàn)椋xB解：令，得，則．選C證明：令，得；令，得．故．18.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，且，．（1）求，的坐標(biāo)．（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，求直線l的斜率．【答案】（1），的坐標(biāo)分別為，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，根據(jù)的關(guān)系求解.（2）把設(shè)出的兩個(gè)點(diǎn)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理成斜率的形式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，，故，的坐?biāo)分別為，．【小問(wèn)2詳解】設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，兩式相減得．因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，所以直線l的斜率．19.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．（1）求m的值；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線幾何性質(zhì)寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線過(guò)焦點(diǎn)即可算出m的值；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式即可求得.小問(wèn)1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得，即．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，直線方程為，設(shè)聯(lián)立直線與拋物線方程整理得，則，，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦公式得，所以20.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公差為d，利用求解d，從而得到通項(xiàng)公式；（2）使用錯(cuò)位相減求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為d，由題知，解得，所以，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，①，②①－②可得，即．21.現(xiàn)將9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三個(gè)社區(qū)做宣傳活動(dòng)．（1）若甲、乙、丙同去一個(gè)社區(qū)，且每個(gè)社區(qū)都需要3名志愿者，求不同安排方法的總數(shù)；（2）若每個(gè)社區(qū)至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的總數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)6名志愿者平均分為2組，再3組進(jìn)行分配；(2)由題意可分為333，225,234三種分配方案，分別分組分配計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】依題意可得不同安排方法的總數(shù)為．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，這9名志愿者人數(shù)分配方案共有三類：第一類是3，3，3，第二類是2，2，5，第三類是2，3，4．故不同安排方法的總數(shù)為．22.在①C的漸近線方程為②C的離心率為這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在題中的橫線上，并解答．已知雙曲線C的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)在C上，且______．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知C的右焦點(diǎn)為F，直線PF與C交于另一點(diǎn)Q，不與直線PF重合且過(guò)F的動(dòng)直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和QN交于點(diǎn)A，證明：A在定直線上．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)①②提供的漸近線方程和離心率得出之間的關(guān)系，再利用在雙曲線上即可求得C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)坐標(biāo)位置可利用對(duì)稱