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文檔簡介

福建省廈門六中2024屆高三上數學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某歌手大賽進行電視直播,比賽現場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分,場內外的觀眾可以通過網絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后,現場嘉賓的評分情況如下表,場內外共有數萬名觀眾參與了評分,組織方將觀眾評分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評分嘉賓評分的平均數為,場內外的觀眾評分的平均數為,所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數為,則下列選項正確的是()A. B. C. D.2.在中,,,,若,則實數()A. B. C. D.3.已知正項數列滿足:,設,當最小時,的值為()A. B. C. D.4.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間,六個城市售出的往返機票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數據統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機票平均價格在增加5.如圖,雙曲線的左,右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.6.國務院發(fā)布《關于進一步調整優(yōu)化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實教育投入.某研究機構統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數據,并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財政性教育經費的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財政性教育經費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是年7.若復數滿足,則()A. B. C. D.8.費馬素數是法國大數學家費馬命名的,形如的素數(如:)為費馬索數,在不超過30的正偶數中隨機選取一數,則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是()A. B. C. D.9.設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關于軸對稱,為坐標原點,若,且,則點的軌跡方程是()A. B.C. D.10.函數f(x)=lnA. B. C. D.11.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.12.設直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.14.已知數列滿足,且,則______.15.已知復數,且滿足(其中為虛數單位),則____.16.拋物線的焦點坐標為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,為正數,且,證明:(1);(2).18.(12分)根據國家統(tǒng)計局數據,1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根據數據及統(tǒng)計圖表,判斷與(其中為自然對數的底數)哪一個更適宜作為全國GDP總量關于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關于的回歸方程.(2)使用參考數據,估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.參考數據:45678的近似值551484031097298119.(12分)設函數,.(Ⅰ)討論的單調性;(Ⅱ)時,若,,求證:.20.(12分)已知函數.(Ⅰ)求函數的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.21.(12分)等差數列的前項和為,已知,.(1)求數列的通項公式;(2)設數列{}的前項和為,求使成立的的最小值.22.(10分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學生進行了一次安全意識測試,根據測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應等級進行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現隨機抽取部分學生的答卷,統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下:等級不合格合格得分頻數624(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數;(2)其他條件不變,在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數學期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

計算出、,進而可得出結論.【詳解】由表格中的數據可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場外有數萬名觀眾,所以,.故選:B.【點睛】本題考查平均數的大小比較,涉及平均數公式以及頻率分布直方圖中平均數的計算,考查計算能力,屬于基礎題.2、D【解析】

將、用、表示,再代入中計算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用,涉及到向量的線性運算,是一道中檔題.3、B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當且僅當時取得最小值,此時.故選:B【點睛】本題主要考查了數列中的最值問題,遞推公式的應用,基本不等式求最值,考查了學生的運算求解能力.4、D【解析】

根據條形圖可折線圖所包含的數據對選項逐一分析,由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項,根據折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項敘述正確.對于B選項,根據折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大,所以B選項敘述正確.對于C選項,根據條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當,所以C選項敘述正確.對于D選項,根據折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機票平均價格在增加,故D選項敘述錯誤.故選:D【點睛】本小題主要考查根據條形圖和折線圖進行數據分析,屬于基礎題.5、A【解析】

易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時,最關鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.6、C【解析】

觀察圖表,判斷四個選項是否正確.【詳解】由表易知、、項均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項錯誤.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表,正確認識圖表是解題基礎.7、C【解析】

把已知等式變形,利用復數代數形式的除法運算化簡,再由復數模的計算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數模的求法,是基礎題.8、B【解析】

基本事件總數,能表示為兩個不同費馬素數的和只有,,,共有個,根據古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數中隨機選取一數,基本事件總數能表示為兩個不同費馬素數的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎題.9、A【解析】

設坐標,根據向量坐標運算表示出,從而可利用表示出;由坐標運算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設,,其中,,即關于軸對稱故選:【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算;關鍵是利用動點坐標表示出變量,根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.10、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=11、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設拋物線的焦點為F,設點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.12、B【解析】

過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎題.14、【解析】

數列滿足知,數列以3為公比的等比數列,再由已知結合等比數列的性質求得的值即可.【詳解】,數列是以3為公比的等比數列,又,,.故答案為:.【點睛】本題考查了等比數列定義,考查了對數的運算性質,考查了等比數列的通項公式,是中檔題.15、【解析】

計算出,兩個復數相等,實部與實部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【詳解】,所以,所以.故答案為:-8【點睛】此題考查復數的基本運算和概念辨析,需要熟練掌握復數的運算法則.16、【解析】

變換得到,計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為,,所以焦點坐標為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.18、(1),;(2)148萬億元.【解析】

(1)由散點圖知更適宜,對兩邊取自然對數得,令,,,則,再利用線性回歸方程的計算公式計算即可;(2)將代入所求的回歸方程中計算即可.【詳解】(1)根據數據及圖表可以判斷,更適宜作為全國GDP總量關于的回歸方程.對兩邊取自然對數得,令,,,得.因為,所以,所以關于的線性回歸方程為,所以關于的回歸方程為.(2)將代入,其中,于是2020年的全國GDP總量約為:萬億元.【點睛】本題考查非線性回歸方程的應用,在處理非線性回歸方程時,先作變換,轉化成線性回歸直線方程來處理,是一道中檔題.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)首先對函數求導,再根據參數的取值,討論的正負,即可求出關于的單調性即可;(2)首先通過構造新函數,討論新函數的單調性,根據新函數的單調性證明.【詳解】(1),令,則,令得,當時,則在單調遞減,當時,則在單調遞增,所以,當時,,即,則在上單調遞增,當時,,易知當時,,當時,,由零點存在性定理知,,不妨設,使得,當時,,即,當時,,即,當時,,即,所以在和上單調遞增,在單調遞減;(2)證明:構造函數,,,,整理得,,(當時等號成立),所以在上單調遞增,則,所以在上單調遞增,,這里不妨設,欲證,即證由(1)知時,在上單調遞增,則需證,由已知有,只需證,即證,由在上單調遞增,且時,有,故成立,從而得證.【點睛】本題主要考查了導數含參分類討論單調性,借助構造函數和單調性證明不等式,屬于難題.20、(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區(qū)間即可求出函數的極值;(Ⅱ)得到,根據函數的單調性問題轉化為證明,即證,令,根據函數的單調性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令,得;令,得在上單調遞增,在上單調遞減函數的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調遞增,在上單調遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,轉化思想,考查不等式的證明,考查運算求解能力及化歸與轉化思想,關鍵是能夠構造出合適的函數,將問題轉化為函數最值的求解問題,屬于難題.21、(1);(2)的最小值為19.【解析】

(1)根據條件列方程組求出首項、公差,即可寫出等差數列的通項公式;(2)根據等差數列前n項和化簡,利用裂項相消法求和,

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