統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)五基本不等式理

熱點(diǎn)(五)基本不等式1．(基本不等式)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，則xy的最小值為()A．100B．81C．36D．92．[2023·上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)高三月考](基本不等式)已知a>0，b>0，若a＋b＝4，則()A．a(chǎn)2＋b2有最小值B．eq\r(ab)有最小值C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值D．eq\f(1,\r(a)＋\r(b))有最大值3．[2023·廣東省東莞市東華高級(jí)中學(xué)聯(lián)考](基本不等式)已知m>0，n>0，m＋n＝6，則eq\f(2,m)＋eq\f(8,n)的最小值是()A．4eq\r(2)B．4C．eq\r(6)D．34．[2023·湖北十一校聯(lián)考(一)](基本不等式)設(shè)a>0，b>0，則“eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4”是“ab≥eq\f(1,4)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．[2023·山東大聯(lián)考](基本不等式)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＋eq\f(1,x)＋9y＋eq\f(1,y)＝17，其中x>0，y>0，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為()A．eq\f(1,16)B．1C．2D．166．[2023·新疆庫車縣烏尊鎮(zhèn)中學(xué)月考](基本不等式)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．67．[2023·山東新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考](基本不等式)已知1<m<eq\f(4,3)，則eq\f(2,m－1)＋eq\f(3,4－3m)的最小值是()A．3eq\r(2)＋9B．eq\r(3)＋6C．6eq\r(2)＋9D．128．(基本不等式求參數(shù))已知a>0，b>0，若不等式eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋b)恒成立，則m的最大值為()A．10B．12C．16D．99．[2023·江西省南昌市第一中學(xué)月考](與解三角形結(jié)合)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且asin2B＋bsinA＝0，若a＋c＝2，則邊b的最小值為()A．eq\r(2)B．3eq\r(3)C．2D．eq\r(3)10．[2023·遼寧省凌海市第二高級(jí)中學(xué)高三月考](與向量結(jié)合)點(diǎn)A，B，C為直線l上互異的三點(diǎn)，點(diǎn)P?l，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值為()A．16B．17C．18D．1911．(與數(shù)列結(jié)合)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a6＝3，則a4＋a8()A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值312．(直線與圓＋基本不等式)若直線l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)經(jīng)過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．2eq\r(2)B．eq\r(2)C．2eq\r(2)＋1D．eq\r(2)＋eq\f(3,2)[答題區(qū)]題號(hào)123456789101112答案13.(與三角函數(shù)結(jié)合)eq\f(9,sin2α)＋eq\f(1,cos2α)的最小值為________．14．[2023·天津市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)期中](與數(shù)列結(jié)合)已知首項(xiàng)與公比相等且不為1的等比數(shù)列{an}中，若m，n∈N*，滿足amaeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))，則eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．15．[2023·山東省德州市高三上學(xué)期期中考試](與直線方程結(jié)合)若點(diǎn)A(2，1)在直線mx＋ny－1＝0上，且m>0，n>0.則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的取值范圍為________．16．(基本不等式成立的條件)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．熱點(diǎn)（五）基本不等式1．C已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)≥2eq\r(\f(1,x)×\f(9,y))，即1≥2eq\r(\f(9,xy))，故xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝\f(9,y)，,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝18))時(shí)等號(hào)成立．所以xy的最小值為36.故選C.2．A由題意，可知a>0，b>0，且a＋b＝4，因?yàn)閍>0，b>0，則a＋b≥2eq\r(ab)，即ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝4，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值8，故選A.3．D因?yàn)閙>0，n>0，m＋n＝6，所以eq\f(2,m)＋eq\f(8,n)＝eq\f(1,6)（m＋n）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(8,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(2n,m)＋\f(8m,n)))≥3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2n,m)＝eq\f(8m,n)，即m＝2，n＝4時(shí)取等號(hào)．故選D.4．A因?yàn)閍>0，b>0，所以4≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(1,b))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，則2≥eq\f(1,\r(ab))，所以ab≥eq\f(1,4)；若ab≥eq\f(1,4)，取a＝eq\f(1,4)，b＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4＋1＝5>4，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4不成立．所以“eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4”是“ab≥eq\f(1,4)”的充分不必要條件，故選A.5．B因?yàn)閤＋eq\f(1,x)＋9y＋eq\f(1,y)＝17，所以x＋9y＝17－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))，因?yàn)閤>0，y>0，所以（x＋9y）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(17－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))，又（x＋9y）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq\f(x,y)＋eq\f(9y,x)≥10＋2eq\r(\f(x,y)·\f(9y,x))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝eq\f(9y,x)時(shí)取“＝”，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝\f(4,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,12)))時(shí)取“＝”，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(17－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥16．令eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝t，則17t－t2≥16，即t2－17t＋16≤0，解得1≤t≤16，即1≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≤16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝\f(4,3)))時(shí)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1取“＝”，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,12)))時(shí)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≤16取“＝”，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為1.故選B.6．C由已知可得eq\f(3,5x)＋eq\f(1,5y)＝1，則3x＋4y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5x)＋\f(1,5y)))（3x＋4y）＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(12y,5x)＋eq\f(3x,5y)≥eq\f(13,5)＋eq\f(12,5)＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(12y,5x)＝eq\f(3x,5y)等號(hào)成立，所以3x＋4y的最小值為5，故選C.7．C∵1<m<eq\f(4,3)，∴m－1>0，4－3m>0，∴eq\f(2,m－1)＋eq\f(3,4－3m)＝9＋eq\f(6（4－3m）,3m－3)＋eq\f(3（3m－3）,4－3m)≥9＋6eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(6（4－3m）,3m－3)＝eq\f(3（3m－3）,4－3m)，又1<m<eq\f(4,3)，故m＝eq\f(5－\r(2),3)時(shí)取等號(hào)．故選C.8．D因?yàn)閍>0，b>0，且不等式eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋b)恒成立，所以m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))（a＋b）恒成立，等價(jià)于m≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))（a＋b）))eq\s\do7(min).因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))（a＋b）＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9（當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b時(shí)取等號(hào)），所以m≤9.即m的最大值為9，故選D.9．D根據(jù)asin2B＋bsinA＝0由正弦定理可得sinAsin2B＋sinBsinA＝0，即2sinAsinBcosB＋sinBsinA＝0，∵sinA≠0，sinB≠0，∴cosB＝－eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(2π,3)，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac＝（a＋c）2－ac＝4－ac.∵a＋c＝2≥2eq\r(ac)，∴ac≤1.∴b2＝4－ac≥3，即b≥eq\r(3)，故邊b的最小值為eq\r(3).故選D.10．A因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C為直線l上互異的三點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)t，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))（t≠1），又點(diǎn)P?l，所以eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝t（eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))），則（t－1）eq\o(PA,\s\up6(→))＝teq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))，因此eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(t,t－1)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,t－1)eq\o(PB,\s\up6(→))，又eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，所以x＋y＝eq\f(t,t－1)－eq\f(1,t－1)＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))（x＋y）＝1＋9＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥10＋2eq\r(9)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(3,4)))時(shí)，等號(hào)成立．故選A.11．A設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q>0）.∵a6＝3，∴a4＝eq\f(a6,q2)＝eq\f(3,q2)，a8＝a6q2＝3q2，∴a4＋a8＝eq\f(3,q2)＋3q2≥2eq\r(\f(3,q2)·3q2)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,q2)＝3q2，即q＝1時(shí)，等號(hào)成立，故選A.12．D直線ax－by＋2＝0（a>0，b>0）經(jīng)過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，所以圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心（－1，2）在直線ax－by＋2＝0上，代入直線方程可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)（a＋2b）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(3,2)＋eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(3,2)＋eq\r(2)，故選D.13．答案：16解析：eq\f(9,sin2α)＋eq\f(1,cos2α)＝（sin2α＋cos2α）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,sin2α)＋\f(1,cos2α)))＝9＋1＋eq\f(9cos2α,sin2α)＋eq\f(sin2α,cos2α)≥9＋1＋2eq\r(\f(9cos2α,sin2α)·\f(sin2α,cos2α))＝16.14．答案：eq\f(2,3)解析：設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，則首項(xiàng)a1＝q，由amaeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))得a1qm－1·（a1qn－1）2＝（a1q5）2，則qm＋2n＝q12，∴m＋2n＝12.∴eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋2n))＝eq\f(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4n,m)＋\f(m,n)＋2))＝eq\f(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))∵m，n∈N*，∴eq\f(4n,m)>0，eq\f(m,n)>0，則eq\f(4n,m)＋eq\f(m,n)≥2eq\r(\f(4n,m)·\f(m,n))＝4（當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4n,m)＝eq\f(m,n)，即2n＝m時(shí)取等號(hào)），即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4n,m)＋\f(m,n)))eq\s\do7(min)＝4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,