專題19 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理（原卷版）

專題19計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理一、知識速覽二、考點(diǎn)速覽知識點(diǎn)1兩個計(jì)數(shù)原理1、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m·n種不同的方法。3、兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計(jì)數(shù)原理．知識點(diǎn)2排列與組合1、排列與排列數(shù)（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．（2）排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時，；規(guī)定：．（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．2、組合與組合數(shù)（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)?，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡或證明．（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．3、排列和組合的區(qū)別（1）組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．【注意】排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．知識點(diǎn)3二項(xiàng)式定理1、二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理：，（2）通項(xiàng)公式：，表示展開式的第項(xiàng)：，（3）二項(xiàng)式系數(shù)：系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，（4）兩個常用的二項(xiàng)展開式：①（）②2、二項(xiàng)式展開式中的最值問題（1）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．（2）二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大=1\*GB3①如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；=2\*GB3②如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．（3）系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．3、二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和問題（1）二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：．（3）若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．一、求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法1、直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算；2、優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置；3、捆綁法：相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列；4、插空法：不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；5、定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列6、間接法：正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法【典例1】（2023上·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺江縣臺盤村開賽.該聯(lián)賽由臺盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展演變而來，被網(wǎng)友稱為“村BA”.村BA給全國人民展現(xiàn)的不僅是貴州人熱愛生活的精神，更展現(xiàn)了如今欣欣向榮的貴州山水人文，同時給貴州的旅游帶來巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大區(qū)賽總決賽落下帷幕，為慶祝比賽順利結(jié)束，主辦方設(shè)置一場扣籃表演，分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊(duì)每隊(duì)各選出2名球員參加扣籃表演，貴州隊(duì)作為東道主，扣籃表演必須在第一位及最后一位，那么一共有（）種表演順序.A．B．C．D．【典例2】（2023上·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（）A．B．C．D．【典例3】（2022上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）高三年級某班組織元旦晚會，共準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁、戊五個節(jié)目，出場時要求甲、乙、丙三個節(jié)目順序?yàn)椤凹?、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有（）A．24種B．40種C．60種D．84種【典例4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動，晚會有《走，去永州》《揚(yáng)鞭催馬運(yùn)糧忙》《數(shù)幸?！贰多l(xiāng)村振興唱起來》四個節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進(jìn)行排序，要求《數(shù)幸福》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【典例5】（2023上·上?！じ呷影仓袑W(xué)校考期中）從甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項(xiàng)目的比賽，要求每個項(xiàng)目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.二、組合問題的常見類型與處理方法（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。?）“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解．【典例1】（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考期中）現(xiàn)有紅色、黃色、藍(lán)色的小球各4個，每個小球上都標(biāo)有不同的編號.從中任取3個小球，若這3個小球顏色不全相同，且至少有一個紅色小球，不同取法有（）A．160種B．220種C．256種D．472種【典例2】（2023·云南·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（）A．1800B．1080C．720D．360三、分組分配問題的解題思路分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．（2）分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解．【典例1】（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）將5本不同的書分發(fā)給4位同學(xué)，其中甲、乙兩本書不能同時發(fā)給某一位同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，則不同的分配方案數(shù)為（用數(shù)字作答）【典例2】（2023上·廣東廣州·高三空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）將甲、乙、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現(xiàn)場進(jìn)行任務(wù)工作，每個比賽現(xiàn)場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為．【典例3】（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某高校開設(shè)了乒乓球，羽毛球，籃球，小提琴，書法五門選修課程可供學(xué)習(xí)，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，該校學(xué)生小明想用前3學(xué)年將五門選修課程選完，則小明的不同選修方式有種.（用數(shù)字作答）【典例4】（2023上·重慶·高三統(tǒng)考期中）為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)三門勞動教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報名參加該校勞動教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有（）A．60種B．150種C．180種D．300種四、二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)求解二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，是指展開式中的某一項(xiàng)，如第n項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等，求解二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)如下：（1）求通項(xiàng)，利用(a＋b)n的展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通項(xiàng)．（2）列方程(組)或不等式(組)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及特定項(xiàng)的特征，列出方程(組)或不等式(組)．（3）求特定項(xiàng)，先由方程(組)或不等式(組)求得相關(guān)參數(shù)，再根據(jù)要求寫出特定項(xiàng)．【典例1】（2023上·天津·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【典例2】（2023上·重慶·高三八中?？茧A段練習(xí)）的展開式的第4項(xiàng)是.【典例3】（2023下·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）的展開式中,有理項(xiàng)是.（用關(guān)于x的式子表示）五、三項(xiàng)展開式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的求法（1）通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解．（2）兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解．（3）由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量．【典例1】（2019下·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.【典例2】（2020下·山東棗莊·高二棗莊第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為（）A．30B．45C．60D．90【典例3】（2022上·廣東深圳·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，不是的展開式中的項(xiàng)是（）A．B．C．D．六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路（1）若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．（2）觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.（3）分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項(xiàng)公式，綜合考慮．【典例1】（2023上·河南·高三實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┑恼归_式中，的系數(shù)為（）A．200B．40C．120D．80【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．B．C．180D．300【典例3】（2023·河南·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中，按的升冪排列的第三項(xiàng)為.七、二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題（1）系數(shù)和問題常用“賦值法”求解賦值法是指對二項(xiàng)式中的未知元素賦值，從而求得二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的方法．求解有關(guān)系數(shù)和題的關(guān)鍵點(diǎn)如下：①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：－1，0，1等．②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值．③求值，根據(jù)題意，得出指定項(xiàng)的系數(shù)和．（2）二項(xiàng)式系數(shù)和：(a＋b)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【典例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）若，且奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則.【典例2】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）（多選）若，，則（）A．B．C．D．【典例3】（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則.八、二項(xiàng)式系數(shù)最大與最小二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大（1）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；（2）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．【典例1】（2023下·云南·高三師大附中?？茧A段練習(xí)）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．160B．240C．D．【典例2】（2023上·海南·高三洋浦中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的項(xiàng)為.【典例3】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┱归_式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為．九、二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來，即得．【典例1】（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【典例2】（2023·湖北襄陽·高三襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)易錯點(diǎn)1利用分步乘法原理計(jì)數(shù)，分步標(biāo)準(zhǔn)錯誤點(diǎn)撥：仔細(xì)區(qū)分是“分類”還是“分步”是運(yùn)用兩個原理的關(guān)鍵.兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成n個步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理.【典例1】（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）5名同學(xué)去聽同時舉行的3個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個講座，且甲乙聽同一個講座，則不同選擇的種數(shù)是．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.【典例2】（2023上·陜西西安·高三階段練習(xí)）五岳是中國漢文化中五大名山的總稱，分別為東岳泰山、西岳華山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主為領(lǐng)略五岳之美，決定用兩個月的時間游覽完五岳，且每個月只游覽五岳中的兩大名山或三大名山（五岳只游覽一次），則恰好在同一個月游覽華山和恒山的概率為（）A．B．C．D．易錯點(diǎn)2數(shù)字排列中“0”的位置不明點(diǎn)撥：對于數(shù)字排列問題，0是特殊的數(shù)字，在解題過程中往往會忽視0不在首位的特殊要求?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）從0，1，…，9中選出三個不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個數(shù)字可以