第1章一元二次方程（壓軸必刷30題7種題型專項訓練）（原卷版）

第1章一元二次方程（壓軸必刷30題7種題型專項訓練）一．一元二次方程的解（共1小題）1．（2020秋?句容市月考）閱讀下列材料：（1）關于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程兩邊同時乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），則＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．二．解一元二次方程-配方法（共1小題）2．（2022秋?玄武區(qū)校級月考）小明在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可變形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接開平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”．（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）＝5時寫的解題過程．解：原方程可變形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接開平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為，，，．（2）請用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．三．根的判別式（共4小題）3．（2021秋?盱眙縣校級月考）已知關于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．4．（2021秋?張家港市校級月考）已知關于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求證：這個方程總有兩個實數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長a＝4，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長．5．（2021秋?玄武區(qū)校級月考）關于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）．（1）求證：無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）要使得方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)k可能取值．6．（2022秋?玄武區(qū)校級月考）已知關于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0與x2+mx﹣1＝0有一個相同的根，求此時m的值．四．根與系數(shù)的關系（共1小題）7．（2021春?崇川區(qū)校級月考）已知關于x的一元二次方程，（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設x1、x2是方程的兩個根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，求k的值．五．一元二次方程的應用（共21小題）8．（2020?赫山區(qū)校級自主招生）等腰△ABC的直角邊AB＝BC＝10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．（1）求出S關于t的函數(shù)關系式；（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．9．（2012?黔西南州）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2+x﹣1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為y，則y＝2x所以x＝．把x＝代入已知方程，得（）2+﹣1＝0化簡，得y2+2y﹣4＝0故所求方程為y2+2y﹣4＝0．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．10．（2021秋?江都區(qū)校級月考）已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根．（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？11．（2020秋?南京月考）某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設第二個月單價降低x元．（1）填表：（不需化簡）時間第一個月第二個月清倉時單價（元）8040銷售量（件）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？12．（2021秋?吳江區(qū)月考）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？13．（2023?東明縣一模）畢業(yè)在即，某商店抓住商機，準備購進一批紀念品，若商店花440元可以購進50本學生紀念品和10本教師紀念品，其中教師紀念品的成本比學生紀念品的成本多8元．（1）請問這兩種不同紀念品的成本分別是多少？（2）如果商店購進1200個學生紀念品，第一周以每個10元的價格售出400個，第二周若按每個10元的價格仍可售出400個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出100個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售一周后，商店對剩余學生紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批紀念品共獲利2500元，問第二周每個紀念品的銷售價格為多少元？14．（2022秋?東臺市期中）如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)．（1）幾秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2？（2）△PBQ的面積可能等于10cm2嗎？為什么？15．（2022秋?宜興市月考）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A，B同時出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．（2）若P點沿射線AB方向從A點出發(fā)以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點出發(fā)以2cm/s的速度移動，P、Q同時出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？16．（2021秋?天寧區(qū)校級月考）網(wǎng)絡購物無疑已被越來越多的人所接受，對人們生活的影響不斷加深．李先生是淘寶店主之一，進了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件．如果每件提價1元出售，其銷售量將減少20件．如果李先生的網(wǎng)店銷售這批服裝要獲利12000元，并且投入盡量少，那么這種服裝售價應為多少元？該網(wǎng)店進多少件這種服裝？17．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）某化工材料經(jīng)售公司購進了一種化工原料，進貨價格為每千克30元．物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價每千克70元時日均銷售60kg；單價每千克降低一元，日均多售2kg．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按一天計算）．如果日均獲利1950元，求銷售單價．18．（2021秋?錫山區(qū)校級月考）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（2）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．（3）若P點沿射線AB方向從A點出發(fā)以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點出發(fā)以2cm/s的速度移動，P，Q同時出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？19．（2021秋?沭陽縣校級月考）閱讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉化為x＝a的形式．求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想﹣﹣轉化，把未知轉化為已知．用“轉化”的數(shù)學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）問題：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；（2）拓展：用“轉化”思想求方程＝x的解；（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA，AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．20．（2021秋?灌南縣校級月考）“黃橋燒餅全國聞名”，國慶節(jié)期間，黃橋某燒餅店平均每天可賣出300個燒餅，賣出1個燒餅的利潤是1元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，平均每天可多賣出100個，為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降m（0＜m＜1）元（1）零售單價下降m元后，每個燒餅的利潤為元，該店平均每天可賣出個燒餅（用含m的代數(shù)式表示，需化簡）；（2）在不考慮其他因素的條件下，當m定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的燒餅更多？21．（2020秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，某市近郊有一塊長為60米，寬為50米的矩形荒地，地方政府準備在此建一個綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個矩形（其中三個矩形的一邊長均為a米）區(qū)域?qū)佋O塑膠地面作為運動場地．（1）設通道的寬度為x米，則a＝（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若塑膠運動場地總占地面積為2430平方米．請問通道的寬度為多少米？22．（2020秋?宜興市月考）某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據(jù)前段時間的銷售經(jīng)驗，每天的售價x（元/箱）與銷售量y（箱）有如表關系：每箱售價x（元）68676665…40每天銷量y（箱）40455055…180已知y與x之間的函數(shù)關系是一次函數(shù)．（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）水蜜桃的進價是40元/箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實惠，每箱售價是多少元？（3）七月份連續(xù)陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價銷售，所以從7月17號開始水蜜桃銷售價格在（2）的條件下，下降了m%，同時水蜜桃的進貨成本下降了10%，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時上漲了2m%（m＜100），7月份（按31天計算）降價銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價銷售前的銷售總盈利少7120元，求m的值．23．（2020秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察圖形，并探究和解答下列問題：（1）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y，請寫出y與n（表示第n個圖形）的關系式；（2）上述鋪設方案，鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；（3）黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（2）中，共需要花多少錢購買瓷磚？（4）否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形？請通過計算加以說明．24．（2021秋?常熟市校級月考）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元：如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元．按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買了這種服裝x件．（1）當x＝時，小麗購買的這種服裝的單價為76元；（2）小麗一次性購買這種服裝付了1200元．請問她購買了多少件這種服裝？25．（2022秋?句容市月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2厘米/秒的速度向終點B移動，點Q以1厘米/秒的速度向D移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動，設運動的時間為t秒，問：（1）當t為何值時，點P和點Q距離是3cm？（2）當t為何值時，以點P、Q、D為頂點的三角形是等腰三角形．26．（2022秋?新北區(qū)校級月考）某工廠設計了一款工藝品，每件成本40元，為了合理定價，現(xiàn)投放市場進行試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是80元時，每天的銷售量是50件，若銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于65元．如果降價后銷售這款工藝品每天能盈利3000元，那么此時銷售單價為多少元？27．（2022秋?句容市月考）如圖，某單位準備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向