統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷二主觀題專練8概率與統(tǒng)計文

概率與統(tǒng)計(8)1．[2023·全國乙卷(文)]某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10).試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，樣本方差為s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).2．[2023·黑龍江齊齊哈爾三模(文)]某校從甲、乙兩個班級所有學(xué)生中分別隨機(jī)抽取8名，對他們的航天知識進(jìn)行評分調(diào)查(滿分100分)，被抽取的學(xué)生的評分結(jié)果如下莖葉圖所示：(1)分別計算甲、乙兩個班級被抽取的8名學(xué)生得分的平均值和方差，并估計兩個班級學(xué)生航天知識的整體水平差異；(2)若從得分不低于85分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參觀市教育局舉辦的航天攝影展，求這兩名學(xué)生均來自乙班級的概率．3．[2023·四川石室中學(xué)三模(文)]某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識競賽，其中男生400人．為了了解該校學(xué)生在知識競賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450～950分之間．將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值，并估計該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)．屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生女生合計參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．[2023·貴州畢節(jié)三模(文)]為調(diào)查某地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的100個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取10個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，據(jù)分析野生動物的數(shù)量y與植物覆蓋面積x線性相關(guān)并計算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝30，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝600，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝250，eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝400.(1)求該地區(qū)植物覆蓋面積和野生動物數(shù)量的回歸直線方程；(2)根據(jù)上述方程，預(yù)計該地區(qū)一塊植物覆蓋面積為5公頃的地塊中這種野生動物的數(shù)量．參考公式：回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).5．[2023·吉林模擬預(yù)測]北京于2022年2月成功地舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會．共赴冰雪之約，共享冬奧機(jī)遇，“冰雪經(jīng)濟(jì)”逐漸升溫，“帶動三億人參與冰雪運(yùn)動”正在從愿景逐漸變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，某大型滑雪場為了了解“喜愛冰雪運(yùn)動”是否與“性別”有關(guān)，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從不同地區(qū)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表：男性女性合計喜歡冰雪運(yùn)動80不喜歡冰雪運(yùn)動40合計統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明：男性喜歡冰雪運(yùn)動的人數(shù)占男性人數(shù)的eq\f(4,5)；女性喜歡冰雪運(yùn)動的人數(shù)占女性人數(shù)的eq\f(3,5).(1)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“喜歡冰雪運(yùn)動”與“性別”有關(guān)系；(結(jié)果精確到0.001)(2)根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，在參與調(diào)查的人員中年齡在40歲以上的占總體的eq\f(1,5)，在20歲到40歲之間的占eq\f(3,5)，20歲以下的占eq\f(1,5).現(xiàn)利用分層抽樣的方法，從參加調(diào)查的人員中隨機(jī)抽取5人參與抽獎活動，獎項(xiàng)設(shè)置如下：一等獎，享受全雪季雪場全部項(xiàng)目五折優(yōu)惠，名額2人；二等獎，享受全雪季雪場全部項(xiàng)目八折優(yōu)惠，名額3人．求獲得一等獎的兩人年齡都在20歲到40歲之間的概率．參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0100.001k02.7066.63510.8286．[2023·云南昆明模擬預(yù)測(文)]《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》提出“構(gòu)建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進(jìn)5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等新信息技術(shù)在生態(tài)環(huán)境保護(hù)領(lǐng)域的建設(shè)與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、智能化．某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品，已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預(yù)計利潤為0.4萬元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元．根據(jù)市場調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量在[155，205]內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下．(1)請根據(jù)頻率分布直方圖，估計該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量的平均值eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2.(2)若該環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量為185件，x(單位：件，155≤x≤205，x∈N*)表示該產(chǎn)品一個月內(nèi)的市場需求量，y(單位：萬元)表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤．①將y表示為x的函數(shù)；②以頻率估計概率，標(biāo)準(zhǔn)差s精確到1，根據(jù)頻率分布直方圖估計x∈[eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s]且y不少于68萬元的概率．概率與統(tǒng)計（8）1．解析：（1）由題意，求出zi的值如表所示，試驗(yàn)序號i12345678910zi968－8151119182012則eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，s2＝eq\f(1,10)×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.（2）因?yàn)?eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，eq\x\to(z)＝11＝eq\r(121)>eq\r(24.4)，所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．2．解析：（1）eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)（76＋79＋80＋81＋85＋88＋90＋93）＝84，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)（73＋80＋81＋82＋83＋89＋90＋94）＝84.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,8)（64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81）＝31，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,8)（121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100）＝39，因?yàn)閮蓚€班級學(xué)生得分的平均值相同，所以我們估計兩個班級航天知識整體水平相差不大，又由于乙班級學(xué)生得分的方差比甲班大，所以我們估計甲班級學(xué)生航天知識水平更加均衡一些，乙班級學(xué)生航天知識水平差異略大．（2）甲班級得分不低于85分的有4名同學(xué)，記為A，B，C，D.乙班級得分不低于85分的有3名同學(xué)，記為a，b，c，從這7名同學(xué)中選取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）共21個基本事件．其中兩名學(xué)生均來自于乙班級的有（a，b），（a，c），（b，c）共3個基本事件，所以所求事件的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).3．解析：（1）100×（0.0015＋a＋0.0025＋0.0015＋0.0010）＝1，解得a＝0.0035.眾數(shù)估計值為600分．平均數(shù)估計值為500×0.15＋600×0.35＋700×0.25＋800×0.15＋900×0.1＝670（分），分?jǐn)?shù)分布在450～650分之間時，頻率為100×（0.0015＋0.0035）＝0.5，故中位數(shù)估計值為650分．（2）由題意可知，樣本中男生有40人，女生有60人，屬于“高分選手”的有25人，其中女生10人．因此，得到2×2列聯(lián)表如下：屬于高分選手不屬于高分選手合計男生152540女生105060合計2575100因此，K2＝eq\f(100×（15×50－10×25）2,40×60×25×75)＝eq\f(50,9)≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)．4．解析：（1）由題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,y)i＝60，由于eq\i\su(i＝1,n,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－2（x1＋x2＋…＋x10）eq\o(x,\s\up6(－))＋10eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－2×10eq\o(x,\s\up6(－))2＋10eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10eq\o(x,\s\up6(－))2，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(400,250－10×9)＝2.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝60－2.5×3＝52.5，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.5x＋52.5.（2）當(dāng)x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝65，即預(yù)計這種野生動物的數(shù)量為65.5．解析：（1）參與調(diào)查的男性有80÷eq\f(4,5)＝100人，女性有40÷（1－eq\f(3,5)）＝100人，根據(jù)已知條件，可得列聯(lián)表如下：男性女性合計喜歡冰雪運(yùn)動8060140不喜歡冰雪運(yùn)動204060合計100100200K2＝eq\f(200×（80×40－60×20）2,140×60×100×100)＝eq\f(200,21)≈9.524<10.828.所以不能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“喜歡冰雪運(yùn)動”與“性別”有關(guān)系．（2）設(shè)“獲得一等獎的兩人年齡都在20歲到40歲之間”為事件A，利用分層抽樣的方法抽取，在40歲以上的人員中抽取1人，記其為a；在20歲到40歲之間的人員中抽取3人，記其為b，c，d；在20歲以下的人員中抽取1人，記其為e.在抽獎的5人中2人獲得一等獎的基本事件為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10種，滿足條件的基本事件為：bc，bd，cd共3種，所以P（A）＝eq\f(3,10).即獲得一等獎的兩人年齡都在20歲到40歲之間的概率為eq\f(3,