高一數(shù)學(xué)必修四平面向量知識(shí)與題型歸類(lèi)及高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)練習(xí)題及答案

PAGE2高一數(shù)學(xué)必修四《平面向量》基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類(lèi)（1）一．向量有關(guān)概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向不確定；3、①單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量；②的單位向量：與同方向且長(zhǎng)度等于1的向量，記作并且；③與共線(xiàn)的單位向量：與方向相同或相反且長(zhǎng)度等于1的向量，可表示為。4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量；5、平行向量（也叫共線(xiàn)向量）：向量的基線(xiàn)平行或重合，稱(chēng)為向量共線(xiàn)或平行，記作：∥；即共線(xiàn)的向量方向相同或相反；規(guī)定：零向量和任意向量平行。6、相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線(xiàn)段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2．符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三．向量的運(yùn)算：1．幾何運(yùn)算：（1）向量加法運(yùn)算：①三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．（2）向量的減法：三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，方向指向被減向量2、向量的數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：①向量的加減法運(yùn)算：，。②實(shí)數(shù)與向量的積：。③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。④向量的模：四．平面向量的數(shù)量積：1．兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，稱(chēng)為向量，的夾角，記作，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。3．在方向上的正射影的數(shù)量為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。4．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；③。④為銳角＞0，且不同向，；為鈍角＜0，且不反向；高一數(shù)學(xué)必修四《平面向量》基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類(lèi)（2）5、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，則①．②若，則，或．③設(shè)，，則．④設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則．五．向量的運(yùn)算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：，；3．分配律：，。提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿(mǎn)足結(jié)合律，即。六、向量共線(xiàn)與垂直的條件①平行向量基本定理：若，反之，若（其中是唯一的實(shí)數(shù)）②向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示：設(shè)兩個(gè)向量，，③三點(diǎn)共線(xiàn)：不重合的三點(diǎn)共線(xiàn)存在實(shí)數(shù)使得且.④向量垂直的條件：.七、平面向量的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使。其中不共線(xiàn)向量叫做一組基底，記作。八、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，前面等號(hào)成立的條件是同向或有；后面等號(hào)成立的條件是反向或有（3）在中，①重心：中線(xiàn)的交點(diǎn)且重心將中線(xiàn)分成2：1兩段；外心：中垂線(xiàn)的交點(diǎn)；垂心：高線(xiàn)的交點(diǎn)；內(nèi)心：角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。②為的重心；③為的垂心；④;⑤若向量=,則點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)的內(nèi)心；高一數(shù)學(xué)必修四《平面向量》基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類(lèi)（3）經(jīng)典題型：基本概念判斷正誤：（1）共線(xiàn)向量就是在同一條直線(xiàn)上的向量。（2）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。（3）與已知向量共線(xiàn)的單位向量是唯一的。（4）若與不共線(xiàn)，則與都不是零向量。（5）若A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則。（6）若，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。（7）若，則。（8）若，則。（9）若，則（10）（11）若，則。（12）若，則。（13）若，則或（14）若，則。（15）二、向量的運(yùn)算1、化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____2、若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的形狀為_(kāi)___3、若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，設(shè)，則的值為_(kāi)__4、若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)___5、若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______三、向量的夾角與數(shù)量積1、△ABC中，，，，則_________2、已知，與的夾角為，則等于____3、已知平面向量滿(mǎn)足且，則的夾角為4、已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)___設(shè)非零向量、、滿(mǎn)足，則6、已知的夾角，則向量在向量上的正射影的數(shù)量為7、已知，，且，則向量在向量上的正射影的數(shù)量為_(kāi)_____8、已知與為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________9、如圖，等邊△中，，求．10、如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，求的值．高一數(shù)學(xué)必修四《平面向量》基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類(lèi)（4）四、向量共線(xiàn)與垂直1、若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線(xiàn)且方向相同2、已知不共線(xiàn)，，如果∥，那么k=,與的方向關(guān)系是3、∥，4、設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線(xiàn)5、以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________6、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿(mǎn)足,其中且,則點(diǎn)的軌跡方程是____________7、若，求①的單位向量；②與共線(xiàn)的單位向量；③與垂直的單位向量。8、已知=（1，2），=（-3，2），①若k+2與2-4共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的值；②若k+2與2-4垂直，求實(shí)數(shù)k的值五、向量的模1、設(shè)向量，滿(mǎn)足及，則的值為設(shè)向量，滿(mǎn)足3、已知向量?jī)蓛芍g的夾角為60°，其模長(zhǎng)都為1，則=.4、已知向量的最大值為5、設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線(xiàn)BC外，六、平面向量基本定理的應(yīng)用問(wèn)題1、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.2、(A)(B)(C)(D)3、已知分別是的邊上的中線(xiàn),且,則可用向量表示為_(kāi)____4、已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是________5、如圖,在△中,,是上的一點(diǎn),若,求實(shí)數(shù)的值．6、如圖中，,,，若，求高一數(shù)學(xué)必修四《平面向量》基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類(lèi)（5）七、平面向量與三角函數(shù)的綜合1、已知，A、B、C在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、、。(I)若，求角的值；(II)當(dāng)時(shí)，求的值。2、已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別是a、b、c，平面向量，平面向量若請(qǐng)判斷的形狀.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一、選擇題1、若向量=(1,1),=(1,－1),=(－1,2),則等于()A、+B、C、 D、+2、已知，A（2，3），B（－4，5），則與共線(xiàn)的單位向量是 （）A、 B、C、 D、3、已知垂直時(shí)k值為 （）A、17 B、18 C、19 D、204、已知向量=(2，1)，=(1，7)，=(5，1)，設(shè)X是直線(xiàn)OP上的一點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，那么的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量分別是直線(xiàn)ax+(b－a)y－a=0和ax+4by+b=0的方向向量，則a,b的值分別可以是（）A、－1，2B、－2，1C、1，2D、2，16、若向量a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，則a與b一定滿(mǎn)足（）A、a與b的夾角等于－ B、(a＋b)⊥(a－b)C、a∥b D、a⊥b7、設(shè)分別是軸，軸正方向上的單位向量，，。若用來(lái)表示與的夾角，則等于 （）A、 B、 C、 D、8、設(shè)，已知兩個(gè)向量，，則向量長(zhǎng)度的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空題9、已知點(diǎn)A(2，0)，B(4，0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2＝－4x運(yùn)動(dòng)，則使取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是、10、把函數(shù)的圖象，按向量（m>0）平移后所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則m的最小正值為_(kāi)_________________、11、已知向量、三、解答題12、求點(diǎn)A（－3，5）關(guān)于點(diǎn)P（－1，2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、13、平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)（1）求向量的夾角的余弦用x表示的函數(shù)；（2）求的最值、14、設(shè)其中x∈[0，]、(1)求f(x)=的最大值和最小值；(2)當(dāng)⊥，求||、15、已知定點(diǎn)、、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：、（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示的圖形；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值、參考答案一、選擇題1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C二、填空題9、(0，0)10、11、4三、解答題12、解：設(shè)（ｘ，ｙ），則有，解得、所以（1，－1）。13、解：（1）（2）且，14、解：⑴f(x)==