協(xié)方差相關系數(shù)課件

第四章1第三節(jié)協(xié)方差、相關系數(shù)—、協(xié)方差和相關系數(shù)的概念二、協(xié)方差的計算公式三、協(xié)方差和相關系數(shù)的性質協(xié)方差和相關系數(shù)前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，數(shù)學期望反映了隨機變量在概率意義下的平均值，方差則反映了隨機變量相對于其均值的離散程度，這對我們了解隨機變量有一定的幫助。但對于二維隨機變量

，我們除了關心 的期望和方差外，還希望知道之間的關系，在反映分量之間關系的數(shù)字特征中，最重要的就是本講要討論的2在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子女與父母的相象程度時，有一項是關于父親的身高和其成年兒子身高的關系.3這里有兩個變量：一個是父親的身高，一個是成年兒子身高.為了研究二者關系.英國統(tǒng)計學家皮爾遜收集了1078個父親及其成年兒子身高的數(shù)據(jù), 畫出了一張散點圖.4那么要問：父親及其成年兒子身高是一種什么關系呢？類似的問題有：吸煙和患肺癌有什么關系？受教育程度和失業(yè)有什么關系？高考入學分數(shù)和大學學習成績有什么關系？

為了研究諸如此類的兩變量的相互關系問題，我們需要從理論上對兩變量的相互關系加以研究.這一講就來討論這個問題.5一、 協(xié)方差與相關系數(shù)的概念D(X士Y)=D

X

+DY士2COV(X,Y

)D(X＋Y

)=DX

＋DY+2E

[(X－EX

)（Y－EY)]D(X－Y

)=DX

＋DY

－2E[(X－EX)(Y－EY)]定義：若

E[(X－E

X)(Y－EY)]

存在，稱COV

(

X,Y

)=

E[(

X－E

X)(Y－E

Y

)]為隨機變量X,Y的協(xié)方差.方差與協(xié)方差的關系：6即稱為隨機變量X與Y的相關系數(shù)。定義4.5

設二維隨機變量（X,Y)，若E[(X－EX)(Y－EY)]存在，則稱它為X與Y的協(xié)方差，記為COV(X,Y）。COV

(

X,Y

)=

E[(X－E

X

)(Y－E

Y

)]7COV

(

X,Y

)=E[(X－E

X

)

(Y－E

Y)]協(xié)方差若隨機變量X,Y為離散型.若隨機變量X,Y為連續(xù)型.相關系數(shù)8即COV(

X,Y

)＝E(XY

)－EXEY證明：由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y

)=E[(X

－

EX)(Y－

EY)]=

E(XY)－

EX

EY

－

EYEX+EXEY=

E(XY

)－

EX

EY二. 協(xié)方差和相關系數(shù)的計算公式COV(

X,Y

)＝E(XY)

－EXEY可見，存在的必要條件為COV(

X,Y)＝

0

.即可見，若X與Y獨立，9COV(

X,Y

)＝E(XY)

－EXEY可見，存在的必要條件為COV(

X,Y)＝

0

.即定義：

若稱X與Y不相關。10可見，若X與Y獨立，D(X士Y)=D

X

+DY士2COV(X,Y

)D(X士Y)=D

X+DY即三、協(xié)方差與相關系數(shù)的性質COV

(

X,Y

)=E[(X－E

X

)

(Y－E

Y)]COV(

X,X

)＝

E[(

X-

EX

)2]

=

DX

；COV(

X,Y

)＝

COV(

Y

,

X

)

；COV(aX,bY

)＝

abCOV(X,Y),

a,b是常數(shù)；COV(

X1+X2

,Y

)＝

COV(

X1,Y

)+

COV(

X2,Y

).證明3.5、 設隨機變量和的相關系數(shù)存在，則1)115、

設隨機變量和的相關系數(shù)存在，則1)證明由方差的非負性可得12存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.相關系數(shù)是衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的數(shù)字特征.定義

設隨機變量X,

Y的相關系數(shù)存在,ρXY＝1，

稱

X,Y正相關；ρXY＝－1，

稱

X,Y負相關；ρXY＝0，

稱

X,Y不相關.注

ρXY＝0

僅說明X,

Y之間沒有線性關系，但可以有其他非線性關系.13例1

設

X

,Y～N(0,4),且X,Y相互獨立，W=2X+3Y,Z=

2X-

3Y,求解14例1

設

X,Y～N(0,4),且X,Y相互獨立，W=

2 X

+

3Y,Z=2X-

3Y,求15例2：已知隨機變量服從二維正態(tài)分布,并且X和Y分別服從正態(tài)分布和X和Y的相關系數(shù)設求Z數(shù)學期望 和方差求

X與Z的相關系數(shù)解:

(1)

Z的數(shù)學期望為又16服從二維正態(tài)分布,并且和X和Y的相關系數(shù)設(1) 求Z數(shù)學期望和方差例2

已知隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布17與(2)

的協(xié)方差為已知隨機變量服從二維正態(tài)分布,并且X和Y分別服從正態(tài)分布和X和Y的相關系數(shù)設(2)

求

X與Z的相關系數(shù)解例218(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內服從均勻分布故

Cov(X,Y)=E(XY)－EX

EY求

Cov

(X,Y)

.解

因例3同理19故

Cov(X,Y)=E(XY)－EX

EY例4

已知(X,Y)的密度函數(shù)為求：解

因同理20故又例4同理求：。21已知二維隨機變量求：。0.3

0.120.1

0.180.180.12－11-2

0的聯(lián)合分布列為1YX例5解邊緣分布列為22與

的協(xié)方差為:0.30.120.180.10.180.12－11-201YX23下面求的方差:與的相互關系數(shù)為:0.30.120.180.10.180.12－11-201YX24作業(yè)25P21911;12;1318;19;20，令計算協(xié)方差解例4

設隨機變量相互獨立同分布，且其方差為26這就引入了相關系數(shù):協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X

和Y

相互間的關系，但它還受X

與Y

本身度量單位的影響.例如：

Cov(kX,

kY

)=k2Cov(X,Y

)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化:27第四章28第四節(jié)獨立性與不相關、矩—、獨立性與不相關性二、隨機變量的矩又則即前面，我們討論了隨機變量的獨立性，考慮X與Y相互獨立時，有—、獨立性與不相關性COV

(

X,Y

)=

0COV

(

X,Y

)=

E[(X－EX

)

(Y－E

Y)]＝E(XY)

－EXEY29X,Y

的相關系數(shù) 則稱X與Y不相關。為刻畫隨機變量X,Y之間線性關系程度的數(shù)量指標越大說明

X,Y線性關系越好。注：X,Y相互獨立

X,Y不相關但 只能描述

X,Y之間線性依賴關系，X,Y之間不存在線性依賴關系,可能存在其他形式的依賴關系。例如：二次函數(shù)形式的依賴關系。X,Y不相關

X,Y不獨立30定義2.

X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當

X

和

Y

獨立時，Cov(X,Y)=

0.故=

0但由31并不一定能推出

X和

Y

獨立.2）

(X,Y)~N

(μ1,σ2

;μ

,σ2

;ρ),則1

2

2X,Y

相互獨立

ρ＝0.定理

若隨機變量X

與Y

相互獨立，則X

與Y

不相關，即有

ρXY

＝

0

.注

1）

此定理的逆定理不成立,

即由ρXY＝0

不能得到X與Y相互獨立.32因而

=

0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數(shù)關系，即X和Y不獨立.證明X與Y不相關。證COV(

X,Y

)＝E(XY

)

－EX

EY例1

設33(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內服從均勻分布例234判斷隨機變量X,Y的不相關性與相互獨立性。解已計算得Cov(X,

Y)=0.隨機變量不相關不一定相互獨立!當x2+y2≤1.但35二 矩和協(xié)方差矩陣設X,Y是隨機變量，若稱它為X的k階原點矩，簡稱為k階矩。若存在,稱它為X的階中心矩。若存在,稱它為X和Y的存在,36階混合矩。若存在，稱它為X和Y的

k

+l

階混合中心矩。稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學期望,為X的k

階原點矩.設隨機變量X的離差X－EX

的k次冪的數(shù)學期望稱為X的k階中心矩.當X為離散型隨機變量設分布列37矩當X為連續(xù)型隨機變量時，設概率密度為顯然一階原點矩就是期望一階中心矩恒等于零38其中

DX

=

E[(X－EX)2]=

E(X2)

－(EX)2注意到

V1=EX, V2=E(

X2

)二階中心矩就是方差隨機變量的矩是數(shù)！?。?9作業(yè)40P219

14;

15;設X服從(-0.5, 0.5)內的均勻分布,因而=0，即

X和

Y不相關

.41但

Y與

X有嚴格的函數(shù)關系，即X和Y不獨立

.而Y

=cos

X,不難求得，Cov(X,Y)=0，（請自行驗證）例32）3）4）1）相關系數(shù)42則稱X與Y不相關；四個等價命題：將二維隨機變量（X1

,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個對稱矩陣43協(xié)方差矩陣的定義均存在,稱矩陣

為

(X1,

X2

,…,

Xn)的協(xié)方差矩陣.cij=

Cov(Xi

,Xj

)定義

設n

維隨機變量

(X1,X2,…,Xn)

的協(xié)方差其中

Cov(

Xi,

Xj

)=E[(Xi－EXi

)(XJ－EXj)]DX

=

Cov(

Xi

,

Xi

)44關鍵是求E(X1X2)求出X1X2分布列解

需求例3

某集裝箱中放有100件產品, 其中一、二、