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陜西省西安市華山中學(xué)2024屆高三下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試(一模)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì),則的取值范圍是()A. B. C. D.3.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.4.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.05.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.6.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對(duì)于任意,滿足,則()A. B. C. D.8.在中,,則=()A. B.C. D.9.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.10.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對(duì)為()A. B. C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.14.如圖,某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向,且,已知是經(jīng)過(guò)火車站的兩條互相垂直的筆直公路,CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路,其中,,以學(xué)校為圓心,半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開(kāi)發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì),其中分別在公路上,且與圓弧相切,設(shè),的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)為何值時(shí),面積為最小,政府投資最低?15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則______.16.已知數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,,,則_________,_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.19.(12分)已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知在處的切線與軸垂直,若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解、、(),求證:.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)P,Q分別為,的中點(diǎn).求證:(1)PQ平面;(2)平面.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.22.(10分)某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開(kāi)展“慶元旦”活動(dòng),當(dāng)天各店鋪銷售額破十億,為了提高各店鋪銷售的積極性,采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式,抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當(dāng)天銷售額的平均值;(2)估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案,銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究,求抽取的店鋪銷售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解.2、C【解題分析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件,解之即可.【題目詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),對(duì)稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則,解得.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.3、D【解題分析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【題目詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對(duì)角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.4、B【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【題目詳解】.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】
利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【題目詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.7、D【解題分析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.8、B【解題分析】
在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【題目詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】
作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【題目詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說(shuō)明擬合效果好.10、B【解題分析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B11、D【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】
根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過(guò)定點(diǎn),通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過(guò)某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為:原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知,直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過(guò)點(diǎn)的曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為由圖象可知,當(dāng)時(shí),與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題;涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題;解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.【題目詳解】因?yàn)?,成等差?shù)列,所以,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,,所以,解得或,因?yàn)?,所以,所以等比?shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)綜合運(yùn)用能力;熟練掌握等差中項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.14、(1);(2).【解題分析】
(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,,進(jìn)而表示直線的方程,由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面積公式表示面積即可;(2)令,則,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍,進(jìn)而對(duì)原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元,再令進(jìn)行換元,并構(gòu)建新的函數(shù),由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【題目詳解】解:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,.所以直線的方程為,即.因?yàn)橹本€與圓相切,所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方,所以,所以式可化為,解得.所以,.所以面積為.(2)令,則,且,所以,.令,,所以在上單調(diào)遞減.所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值,取最小值.答:當(dāng)時(shí),面積為最小,政府投資最低.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型,再按模型求最值,屬于難題.15、【解題分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得的值.【題目詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,所以,解得,所以.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì),前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,應(yīng)用意識(shí).16、8(寫(xiě)為也得分)【解題分析】
由,得,.當(dāng)時(shí),,所以,所以的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.則,.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解題分析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【題目詳解】(1),當(dāng)時(shí),,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無(wú)極值;②當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)椤窘忸}分析】
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【題目詳解】解:(1)因?yàn)槭堑诙笙藿牵?,所?所以,所以.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?化簡(jiǎn),得,因?yàn)?,且,,所以,所?所以函數(shù)的值域?yàn)?(注:或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)?,所以”,其?shí)不然,因?yàn)?)【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問(wèn)題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力,屬于??碱}型.19、(1)①當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【解題分析】
(1)先求解導(dǎo)函數(shù),然后對(duì)參數(shù)分類討論,分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出的值,然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,由此證明出.【題目詳解】(1),①當(dāng)時(shí),恒成立,則在單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí),令得,解得,又,∴∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.(2)依題意得,,則由(1)得,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解,則法一:雙偏移法設(shè),則∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞減,∴,即設(shè),∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞增,∴,即∴.法二:直接證明法∵,,在上單調(diào)遞增,∴要證,即證設(shè),則∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴,∴,即(注意:若沒(méi)有證明,扣3分)關(guān)于的證明:(1)且時(shí),(需要證明),其中∴∴∴(2)∵,∴∴,即∵,,∴,則∴【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較難.(1)對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析,可通過(guò)分析參數(shù)的臨界值,由此分類討論函數(shù)單調(diào)性;(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法:構(gòu)造函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值,從而達(dá)到證明不等式的目的.20、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解題分析】
(1)取的中點(diǎn)D,連結(jié),.根據(jù)線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn),由(1)得,再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【題目詳解】(1)取的中點(diǎn)D,連結(jié),.在中,P,D分別為,中點(diǎn),,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點(diǎn),,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點(diǎn)
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