2023年海南省重點高三（最后沖刺）數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.運行如圖所示的程序框圖，若輸出的i的值為99,則判斷框中可以填()

A.S>1B.S>2C.S>lg99D.S>lg98

2.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x),當x?0時，/(x)=e'—手，設a=/(ln0),b=/(0),c=/(ln￥),

則()

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>hD.c>a>h

3.設等差數(shù)列｛〃“｝的前八項和為S"，若/=2,q+Q=5,則S6=()

A.10B.9C.8D.7

22

4.已知雙曲線C:二—與=l(a>0/>0),點。(毛,%)是直線法一紗+4a=0上任意一點，若圓

ab.

(%-%)2+(y-%)2=1與雙曲線。的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是()?

A.(1,2]B.(1,4]C.D.[4,+00)

V

5.已知正四面體的內(nèi)切球體積為％外接球的體積為匕則一=()

A.4C.9D.27

6.函數(shù)〃x)=ln（x+l）的定義域為)

A.（2,+8）B.（—1,2）<J（2,+8）C.（—1,2）D.卜1,2］

7.某校為提高新入聘教師的教學水平，實行“老帶新”的師徒結(jié)對指導形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都

有一位老教師指導，現(xiàn)選出3位老教師負責指導5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對方式共有（）種.

A.360B.240C.150D.120

8.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

-2，

正視圖側(cè)視圖俯視圖

13

A.—JTB.-KC.2"D.3%

22

9.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并

創(chuàng)立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”。如圖是

利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的〃值為（）（參考數(shù)據(jù):

V3x1.732,sinl5°工0.2588,sin75°?0.9659)

A.48B.36C.24D.12

10.已知函數(shù)/（x）的定義域為（0,+紇），且式孥，當0<x<l時，〃x）<°?若/⑷=2,則函數(shù)/（x）

在［1,16］上的最大值為（）

A.4C.3D.8

11.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的結(jié)果為（)

r^~i

1122

6C.—D.

122T

12.過拋物線（p>0）的焦點且傾斜角為a的直線交拋物線于兩點AB.\AF\^2\BF\,且A在第一象

限，則cos2a=()

3

A石R「7n2G

A.——B.—C.—D.-------

5595

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)/（盼=0/1-。％2"+第臼+1_…+G（_I），X2"T+，+..C（_I）"X3,I,其中〃eN+且，>2,則

r（i）=.

14.如圖,在梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=2,4）=4,E,廠分別是BC,8的中點，若亞.詼=-1，則

AF-CD的值為.

15.已知向量萬=（加,4）,6=（3,—2）,且々〃5，則機=.

16.設全集U=R,A^{x\-3<x<\,xeZ},B={x\x2-x-2>Q,xeR},則.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知非零實數(shù)“為滿足a<b.

(1)求證：a3-/?3<2a2b-2ab21

(2)是否存在實數(shù)X,使得烏--恒成立？若存在，求出實數(shù)2的取值范圍；若不存在，請說明理由

a'b-b)

18.(12分)在數(shù)列｛a“｝中，a,=l,at+2a2+3a3+...+nan=—^all+l,〃eN*

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)若存在〃eN*，使得《,<(〃+1)丸成立，求實數(shù)4的最小值

19.(12分)已知奇函數(shù)“X)的定義域為R,且當xe(0,48)時，/(x)=d—x+1.

(1)求函數(shù)“力的解析式；

(2)記函數(shù)g(x)=/(x)一如+1,若函數(shù)g(x)有3個零點，求實數(shù)%的取值范圍.

20.(12分)已知數(shù)列僅?｝滿足2+旦=2(〃*2),且4x4，%=1，4,4,生成等比數(shù)列.

a>t+\an-\5

(1)求證：數(shù)列｛一｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

,1,1

⑵記數(shù)列｛一｝的前n項和為S,,b?=的,,+5-五，求數(shù)列電｝的前"項和Tn.

21.(12分)在四棱錐P—ABC。的底面ABC。中，BC//AD,CDLAD,PO_L平面ABC。，。是AO的中點,

且PO=AD=2BC=2CD=2

(I)求證：〃平面POC：

(D)求二面角O—PC-。的余弦值；

(m)線段PC上是否存在點E,使得若存在指出點E的位置，若不存在請說明理由.

22.(10分)在直角坐標系X0Y中，曲線G的參數(shù)方程為“―c°s”(夕為參數(shù))，以原點。為極點，以X軸正

y=sina

7T

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕sin(e+二)=2.

(1)求曲線G的普通方程與曲線G的直角坐標方程;

TT

(2)設A8為曲線G上位于第一，二象限的兩個動點，且乙4。6=1?，射線0A08交曲線G分別于D,C,求AAO8

面積的最小值，并求此時四邊形ABCO的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

運行該程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg2+lg1=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg§=lg4,

???；

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

100

第九十九次，z=99,S=lg99+lg——=lgl00=2,

99

此時要輸出i的值為99.

此時S=2>/g99.

故選：C.

【點睛】

本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎題.

2.B

【解析】

Y+2x

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷a，C關系；由XNO時，土;,求得導函數(shù)，并構造函數(shù)g(x)=e，-x-l,

由g'W進而判斷函數(shù)/(x)在x20時的單調(diào)性，即可比較大小.

【詳解】

/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以c=/In與=f-ln^^j=/(lnV2)

所以a=c；

f+2x

當xNO時，/(x)=e「；,

貝!)f\x)=e'-x-\,

令g(x)=e*-x-1

則g'(x)=，-l,當x?0時，g'(x)="—12O,

則g(x)="-x-1在x?()時單調(diào)遞增，

因為g(O)=e0-0-1=0,所以g(x)=e'—無一INO,

即f'(x)=e'-x-l>Q,

X2-4-2艾

則f(x)=ex-三名在x2()時單調(diào)遞增，

而O<ln0<0，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，=夜)

<)

即。=C<。，

故選：B.

【點睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應用，由導函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

3.B

【解析】

根據(jù)題意%=4+2"=2,q+%=2q+3d=5,解得《=4,d=-\,得到答案.

【詳解】

%=q+2d=2,q+/=2q+3d=5,解得q=4,d=-1,故§6=6q+15d=9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學生的計算能力.

4.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx-ay+2a=()與直線bx—ay=O的距離d,根據(jù)圓

(x-Xo)2+(y-yo)2=l與雙曲線C的右支沒有公共點，可得dNl,解得即可.

【詳解】

22人

由題意，雙曲線C:t—4=l9>0,13〉0)的一條漸近線方程為丫=一*,即bx-ay=(),

ab~a

■:P(x0,y0)是直線bx-ay+4a=0上任意一點，

14a4a

則直線bx—ay+4a=0與直線bx—ay=O的距離d=.不——片一,

Va+bc

?.?圓(x-X。)2+(y—y0)2=1與雙曲線C的右支沒有公共點，則d21,

4-cic

>1,即e=—<4,又e>l

ca

故e的取值范圍為(1,4],

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線C的右支沒有公

共點得出dNl是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

5.D

【解析】

設正四面體的棱長為1,取的中點為O,連接AO,作正四面體的高為PM,首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RfMMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設正四面體的棱長為1，取8c的中點為O,連接AO,

作正四面體的高為

PM=y/pA2-AM2=—

,xz_1V3V6_V2

..v=-XX=9

P~ARBC34312

設內(nèi)切球的半徑為廣，內(nèi)切球的球心為。,

1G

則VP-ABC=4%_ABC=4X§X彳r,

解得：r=旦;

12

設外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

貝！||肱V|=|PM—H|或囚一AN=R,

在RZVVWN中，由勾股定理得：

AM2+MN2AN2,

=火,解得R二史,

334

故選：D

【點睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎題.

6.C

【解析】

2-x>0

函數(shù)的定義域應滿足

l+x>0

故選C.

7.C

【解析】

可分成兩類，一類是3個新教師與一個老教師結(jié)對，其他一新一老結(jié)對，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，一個老

教師帶一個新教師，分別計算后相加即可.

【詳解】

分成兩類，一類是3個新教師與同一個老教師結(jié)對，有仁用=60種結(jié)對結(jié)對方式，第二類兩個老教師各帶兩個新教

師，有空過=90.

2!

二共有結(jié)對方式60+90=150種.

故選：C.

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應用.解題關鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對這個事情，是先分類還是先分步，確定方法后再

計數(shù).本題中有一個平均分組問題.計數(shù)時容易出錯.兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為生

2!

8.B

【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，

把該幾何體補成如下圖所示的圓柱，

I

3

其體積為萬xfx3,故原幾何體的體積為二萬.

2

故選：B.

【點睛】

本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復原幾何體時注意三視圖中的點線關系與幾何體中的點、線、面的對應關

系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎題.

9.C

【解析】

由〃=6開始，按照框圖，依次求出s,進行判斷。

【詳解】

”=6=s=—x6sin60°?2.598,n=12=s=—xl2sin30°=3,

22

n=24^s=-x24sinl5°?3.1058,故選C.

2

【點睛】

框圖問題，依據(jù)框圖結(jié)構，依次準確求出數(shù)值，進行判斷，是解題關鍵。

10.A

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關系及指數(shù)募運算，可得/（：）+/（〃）=/（，”）；利用定義可證明函數(shù)/（X）的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)/（X）在［1,16］上的最大值.

【詳解】

函數(shù)/（x）的定義域為（0,+紇），且2d：）,2?。?4孥，

則/［，1+/(〃)=/(加)；

任取€(0,一)，且西＜*2，貝(1°〈五＜1，

X2

故/㈤＜0，

\X2)

(\

令，”=%，〃=々，則/—+/(%)=/(%),

\x27

(\

即/(5)-/(工2)=/—＜。，

\X2)

故函數(shù)/(X)在((),+力)上單調(diào)遞增，

故/(x)a=/(16)，

令m=16,n=49

故/(4)+/(4)=/(16)=4,

故函數(shù)/(x)在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點睛】

本題考查了指數(shù)幕的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用，屬于中檔題.

11.D

【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出S與〃的值，得到〃=8時退出循環(huán)，即可求得.

【詳解】

1113

執(zhí)行程序框圖，可得S=0,n=2,滿足條件，5=-,“=4,滿足條件，S=-+-=-,n=6,滿足條件，

2244

S=-+-+!=—,〃=8,由題意，此時應該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為旦X8=N.

24612123

故選D.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的S與"的值是解題的關鍵，難度較易.

12.C

【解析】

作A4_U,BB,1/;BE1AA,,由題意sina=—,由二倍角公式即得解.

AB

【詳解】

由題意，準線/：y=—g

作A41_U,BB.ll；BE1AA,,

設忸尸|=忸4|=乙

故|AB|=|A4,|=2r,|AE|=r,

AE1i-27

sina=——■=-=>cos2a=1-2sina=—.

AB39

故選：C

【點睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.0

【解析】

先化簡函數(shù)/(X)的解析式，在求出了'(X),從而求得/'⑴的值.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(X)=C%2”T—C52"+C52"+-…+c：(_l)“2"T"+…￡；(_1)"戶1

可化簡為/*)=pi[c-CJ+UR-…+c;(—+…+ex]=(1一%)",

所以/'(X)=(2〃-1)%2-2(1一X)"_x2,,-1rt(l-x)"T=x2n-2(l-x)”T[2〃—1一(3〃—l)x],

所以尸⑴=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數(shù)的運算和函數(shù)值的求解，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，準確求解

導數(shù)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

14.2

【解析】

7T

建系，設設NA=e,由荏.怎=T可得e=進一步得到C、尸的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算即可得到答案.

【詳解】

以A為坐標原點，AO為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設NA=8,則

￡)(4,0),8(2cos2sin。),E(1+2cos0,2sin。),C(2+2cos6,2sin8),

所以通=(l+2cosa2sin。)，潴=(2cos。-3,2sin。)，由屈.麗=T，

得(1+2COS6)(2COS6—3)+4sin2e=—1,即cos6=’,又所以

2

故c(3,8)，尸(：,小)，麗=(1,一6),而=((,《)，

【點睛】

本題考查利用坐標法求向量的數(shù)量積，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.

15.-6

【解析】

由向量平行的坐標表示得出-2m-4x3=0,求解即可得出答案.

【詳解】

因為〃〃5，所以-2,"-4x3=0,解得/〃=—6.

故答案為：-6

【點睛】

本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎題.

16.{0,1}

【解析】

先求出集合A，8,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.

【詳解】

解：A={-2,T,0,l},8={X|X4-1或XN2}；

...加5={x|—l<x<2}；

二AndyB={0,l}.

故答案為：{0,1}.

【點睛】

本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析(2)存在，2e[-l,3]

【解析】

(1)利用作差法即可證出.

(2)將不等式通分化簡可得"+24,討論a力>()或,活〉0,分離參數(shù)，利用基本不等式即可求解.

【詳解】

(1)a3-Z?3-(2a2b-2ab2)=(a-Z>)(a2+ab+h2^-2ah^a-b^

a<b,.\a-b<0

+-b2>0

a3—6<2crb-2ab2

即小等

即勺f(*)

①當心。時，(*)即人止步=9%|恒成立

ba八ba-

v-+->2.一?一=2

abab

(當且僅當。=匕時取等號)，故2W3

②當時"<0,(*)/N正善且=2+@+1恒成立

a~h~ab

baha

?/—+—+

aba、b

(當且僅當4=-分時取等號)，故XN-1

綜上，4/1,3]

【點睛】

本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎題.

1,?=1

1

18.(1)?！?〈2”2:(2)-

"-x3,,-2,n>23

【解析】

(1)由q+2g+3q+...+=---an+l得q+2a2+3q+,兩式相減可得｛皿"｝是從第二項

開始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；

(2)-+D'o北懸,分類討論，當》時，念二器,作商法可得數(shù)列信｝為遞增數(shù)列,

由此可得答案,

【詳解】

解：(1)因為4+2%+3/+...+〃％=

曲會如皆短〃+1n日nS+l)"〃+iQ

兩式相減得：nan-----an+l一一an,即----------=3,

22nan

???｛田/是從第二項開始的等比數(shù)列，

4=1,

n2

a2=1,則nan=2x3~,

l,n=1

'2X3"-2,"N2；

13

(2)an<(/7+1)22>,

當"=1時，—=—5

22

設-“)=上,,3='>『.

n(n+1)/(n)〃+2

??/(,2)min~于Q)--,

所以實數(shù)a的最小值g.

【點睛】

本題主要考查地推數(shù)列的應用，屬于中檔題.

x2-x+l,x>0

19.(1)/(%)=<0,x=0?(2)僅④-1,+8

———X—1,X<0

【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義，可知/(0)=0；令xe(-8,0)貝！|-xw(O,T8),結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得(-8,0)時的解

析式，進而得函數(shù)/(X)的解析式；

(2)根據(jù)零點定義，可得〃”=如-1,由函數(shù)圖像分析可知曲線y=/(x)與直線y=1在第三象限必1個交

點，因而需在第一象限有2個交點，將y=〃ix-l與y=/-尤+1聯(lián)立，由判別式/>0及兩根之和大于0,即可求得

m的取值范圍.

【詳解】

(1)因為函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且xeR,故/(0)=0；

當XG(-OO,0)時，一xe(0,+oo),

/(—X)=(—%)'—(―x)+l=x2+x+l=—/(x),

貝!=-％-1；

X?-X+l,X>0

故/(x)=，O,x=O.

—x2—x-1,x<0

(2)令g(x)=f(力―mx+l=O,

解得了(力=/您-1，畫出函數(shù)關系如下圖所示，

要使曲線y=/(x)與直線y=，nxT有3個交點，

"2

y二尸一x+1

則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立)

y=mx-\

化簡可得M-(l+m)x+2=0,

A>0(/n+1)2-8>0

令4

+x2=1+m>0m>-1

解得tn>26—1，

所以實數(shù)團的取值范圍為(20-1,+8).

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應用，數(shù)形結(jié)合的應用,

屬于中檔題.

n

20.(1)見解析；(2)Tn=-——

8n+4

【解析】

aa112

(1)因為―?+—J=2(〃Z2),所以a“H0,所以——+——=—

“向a，i4+1an

,1,

所以數(shù)列｛一｝是等差數(shù)列,

,1.

設數(shù)列｛一｝的公差為d,由4工4,可得〃工0,

an

因為4,%,。5成等比數(shù)列，所以。臼=婚，所以','=1，所以(L-2d)('+2d)=(-5--d)2,

%%〃2%〃3〃3

因為%=(，所以(5-2")(5+2")=(5-療，

解得d=O(舍去)或。=2,所以-3”=2〃-1,所以4=--------.

ana32〃一1

1c幾(1+2幾—1)2

(2)由(1)知。=-----,S=------------=rT9

"2n-\n2

b…o1n211I,1］、

aS

所以2=冊I、"八--=~—I、”=-(-~~~T——),

,^n--4=~(2—〃-1)(2〃+?1)44(2〃-1)(2〃+1)82n-\2n+\

bi、.111111、1八1、〃

所以工=-X(1----1----------F…H-------------------)=-X(1---------)=---------?

”83352n-l2〃+182〃+18〃+4

2i.(I)詳見解析；(II)巫；(in)存在，點￡為線段PC的中點.

5

【解析】

(1)連結(jié)0。，BC=AO,BC//AD,則四邊形ABC。為平行四邊形，得到證明.

(II)建立如圖所示坐標系，平面PCD法向量為1=(0,2,1),平面尸OC的法向量后=8方=(一1,1,0),計算夾角

得到答案.

(W)設E(x,y,z),計算方=(4/1_1,2—2㈤，荏=(1,1,0),根據(jù)垂直關系得到答案.

【詳解】

(I)連結(jié)OC,BC=AO,BC//AD,則四邊形ABC。為平行四邊形.

AB//OC

<AB(Z平面POC=>AB//平面POC.

OCU平面POC

CDLAD

(II)P01平面ABC。，《。。§。。。二四邊形088為正方形.

一n.?CD=0一

設平面PC。法向量為4=(%,%z),貝匹上一二"=(0,2,1),

n{-PD=0

連結(jié)80,可得BOLOC,又8DJ_PO所以，5。1_平面。。。，

平面POC的法向量%=BD=(—1,1,0)，

設二面角O—PC—。的平面角為9,則cos6>=￥,2-=型.

|4|?|%|5

(HI)線段PC上存在點E使得AB_LDE,設E(x,y,z),~PE=APC(x,y,z-2)=2(1,1,-2)=>￡(Z,Z,2-22)

D￡=(A,2-1,2-22),AB=(1,1,0),AB，￡>E=而詼=0=2=g,

所以點E為線段PC的中點.

【點睛】

本題考查了線面平行，二面角，根據(jù)垂直關系確定位置，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

2QOQ

22.(1)—+/=