應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法的綜述

應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法的綜述摘要：應(yīng)力強(qiáng)度因子是結(jié)構(gòu)斷裂分析中的重要物理量，計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法主要有數(shù)學(xué)分析法、有限元法、邊界配置法以及光彈性法。本文分別介紹了上述幾種方法求解的原理和過程，并概述了近幾年來求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的新方法，廣義參數(shù)有限元法，利用G*積分理論求解，單元初始應(yīng)力法，區(qū)間分析方法，擴(kuò)展有限元法，蒙特卡羅方法，樣條虛邊界元法，無網(wǎng)格—直接位移法，半解析有限元法等。關(guān)鍵詞：斷裂力學(xué)；應(yīng)力強(qiáng)度因子；斷裂損傷；SolutionMethodsforStressIntensityFactorofFractureMechanicsShuanglinLU(HUANGSHIPowerSurvey&DesignLtd.)Abstract:Thesolutionmethodsforstressintensityfactoroffracturemechanicswasreviewed,whichincludemathematicalanalysismethod,finiteelementmethod,boundarycollocationmethodandphotoelasticmethod.Theprinciplesandprocessesofthosemethodswereintroduced,andthecharacteristicsofeachmethodwerealsosimplyanalyzedinthispaper.Keywords:fracturemechanics;stressintensityfactors0引言斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)理論最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的斷裂現(xiàn)象時，認(rèn)為裂紋的存在及傳播是造成斷裂的原因。裂紋的擴(kuò)展過程,從能量的觀點(diǎn)來看,存在著兩種完全對抗的因素：一種是阻止裂紋擴(kuò)展的因素，另一種是推動裂紋擴(kuò)展的因素。Griffith由此建立了材料的脆性斷裂判據(jù)[1]：(1)在(1)式中：—斷裂應(yīng)力；E—材料的彈性模量；—材料的表面能；a—裂紋長度的一半。Griffith判據(jù)并不能完全成功地應(yīng)用于金屬斷裂問題。1949年,Orowan考慮到裂紋釋放的應(yīng)變能不僅轉(zhuǎn)化成表面能，也同時轉(zhuǎn)化成使裂紋頂附近材料發(fā)生塑性變形所需要的功。因此，Orowan對Griffith判據(jù)進(jìn)行修正并得到了具有塑性變形的金屬材料的斷裂判據(jù)[1]：(2)在(2)式中：—斷裂應(yīng)力；E—材料的彈性模量；為塑性功；a—裂紋長度的一半。1975年，Irwin認(rèn)為裂紋是脆性斷裂破壞的要害，而裂紋頂端區(qū)域的應(yīng)力場又是其中的核心。從(1)、(2)可以看出：是一個常數(shù)，也就是說與載荷條件、式樣尺寸、裂紋大小毫不相干，是只由材料的固有性質(zhì)決定的不變值。當(dāng)大于這個值時裂紋就快速擴(kuò)展，因而，這個常數(shù)才真正代表了材料對斷裂的抵抗能力。于是，Irwin對應(yīng)提出了一個嶄新的物理量—應(yīng)力強(qiáng)度因子。由裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變的表達(dá)式[2]可以看出：裂紋尖端附近各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移均由應(yīng)力強(qiáng)度因子K唯一確定，因此，如何計(jì)算K值是斷裂力學(xué)中的一個重要內(nèi)容。目前，對于無限體中的簡單裂紋和有限邊界的貫穿裂紋，確定K值的主要方法有：數(shù)學(xué)分析、數(shù)值計(jì)算、試驗(yàn)標(biāo)定以及光彈性法等。1數(shù)學(xué)分析法1.1復(fù)變函數(shù)法對于平面彈性問題，利用復(fù)變函數(shù)能夠很方便的求得裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場。在文獻(xiàn)[2]中詳細(xì)給出了針對型裂紋，利用威斯特葛爾德(Westergaard)應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量的過程，最后得到各應(yīng)力分量的表達(dá)式為：(3)根據(jù)(3)式可以由胡克定律得到應(yīng)變分量，然后再根據(jù)應(yīng)變與位移之間的關(guān)系式可以得到位移分量的表達(dá)式。由上所述可以看出，只要知道了ZI函數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都可以求出來了。因此，用復(fù)變函數(shù)法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的思想就是，針對不用的裂紋情況構(gòu)造出滿足相應(yīng)邊界條件的復(fù)變解析函數(shù)，并由此復(fù)變函數(shù)求得裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場，最后由應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式求得K值。復(fù)變函數(shù)法在彈性平面問題的應(yīng)用中比較方便，但對于彈塑性或三維空間問題，該方法就不再實(shí)用，其主要原因是構(gòu)造滿足邊界條件的復(fù)變函數(shù)很困難。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]中給出了利用復(fù)變函數(shù)法求解正交各向異性含內(nèi)部裂紋板、帶單裂紋無限平板中作用有集中力和力矩以及帶單裂紋無限彈性體作用有縱向集中力等情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法。1.2積分變換法彈性理論已經(jīng)證明，常體力下彈性平面問題存在應(yīng)力函數(shù)，稱為Airy應(yīng)力函數(shù)，為雙調(diào)和函數(shù)[5]。對于平面問題，可用LaplaceTransform和FourierTransform來解答應(yīng)力場強(qiáng)度因子。鑒于求解方程為4Ψ=0（Ψ為Airy應(yīng)力函數(shù)）很困難，故可考慮FourierTransform來解斷裂力學(xué)問題。首先對Ψ取Fourier變換，記為，即：(4)于是，應(yīng)滿足方程：(5)用降階法可以求出方程(5)的通解為：(6)由(6)式結(jié)果來求解應(yīng)力分量如下：(7)其相應(yīng)的位移場為：(8)經(jīng)過反演分析即可得出Ψ以及σ，μ等全部場量。如用Fourier變換仍求解橢圓形裂縫問題得KI，則由：(9)一旦兩個材料參數(shù)m、s確定，則KⅠ、KⅡ的數(shù)值可以根據(jù)下列公式十分容易地求得：(10)在式(10)中：σ為材料的抗壓強(qiáng)度；l為裂紋長度。2邊界配置法由彈性力學(xué)可知，二維彈性力學(xué)問題的應(yīng)力函數(shù)為雙調(diào)和函數(shù)，即滿足微分方程式：。當(dāng)裂紋表面滿足邊界條件，，時，有Williams無窮級數(shù)的應(yīng)力函數(shù)[6,7]：(11)其中：(12)在(12)式中：為偶函數(shù)部分，相當(dāng)于Ⅰ型裂紋里對稱加載；為奇函數(shù)部分，相當(dāng)于Ⅱ型裂紋里反對稱加載。應(yīng)用復(fù)應(yīng)力強(qiáng)度因子公式：(13)注意到(12)式中的Cj=-Cj/2=-Cn以及Dj=-Dj/2=-Dn，因此有，Cj/2-C1和Dj/2-D1故有：(14)即：(15)因此，要計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ、KⅡ，則先要求解(12)式。為此，需要由邊界條件建立含有Ci、Di的線性方程組，求解此方程組以確定系數(shù)C1、D1。由彈性力學(xué)可知，彈性力學(xué)問題的解必須滿足平衡條件和邊界條件。這里，在邊界上取2m個配置點(diǎn)，對于每一個配置點(diǎn)i可以提出兩個邊界條件：(16)在(16)式中：，分別為含裂紋體的應(yīng)力函數(shù)及其法向偏導(dǎo)數(shù)；，分別為非裂紋體的應(yīng)力函數(shù)及其法向偏導(dǎo)數(shù)。因此，對于2m個配置點(diǎn)便可以建立4m個類似的邊界條件，由4m個方程式組成線性方程組。解此線性方程組即可求得4m個未知量的值。采用邊界配置法就是將(11)式或(12)式截?cái)?，然后由邊界上?m個配置點(diǎn)處4m個邊界條件去確定其中的4m個待定常數(shù)Cj、Dj，把問題歸結(jié)于求解4m個線性方程組，用計(jì)算機(jī)及程序計(jì)算很方便。3有限元法隨著有限元法的發(fā)展，有限元在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用越來越普及。近些年，計(jì)算機(jī)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，很多大型通用軟件，如ANSYS、ADINA以及MSC/Nastran等都具有計(jì)算各算各種斷裂參數(shù)的功能，因此利用有限元計(jì)算斷裂力學(xué)中的應(yīng)力強(qiáng)度因子也得到廣泛的應(yīng)用。構(gòu)件中的裂紋可以抽象為二維或三維模型，如圖1所示。求解斷裂力學(xué)問題的步驟包括先進(jìn)行彈性或彈塑性靜力分析，然后用特殊的后處理命令或宏命令計(jì)算所需的斷裂參數(shù)。在有限元中主要采用1/4法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。根據(jù)縣彈性斷裂理論，裂紋尖端的位移場可以表示為[7]：(17)在(17)式中：u、v和w為對應(yīng)于裂紋尖端局部坐標(biāo)的位移；r和θ是計(jì)算點(diǎn)在局部柱坐標(biāo)的坐標(biāo)值；G是剪切模量,v是泊松比；對于平面應(yīng)力，而對于平面應(yīng)變。、和分別為Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子；0(r)是高階無窮小量。根據(jù)公式(17),如果裂紋表面(θ=±180°)某一點(diǎn)垂直于裂紋平面的位移已知，可以導(dǎo)出對稱裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式：圖1裂紋的二維和三維模型(18)對于非對稱裂紋體,其應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式為：(19)在(19)式中：Δu、Δv和Δw分別為兩個裂紋面之間的相對位移。由于裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變是奇異的,因此在進(jìn)行有限單元建?；騿卧W(wǎng)格劃分時,必須先在裂紋尖端位置定義應(yīng)變奇異點(diǎn),而且圍繞裂紋定點(diǎn)的有限單元是二項(xiàng)式的奇異單元,它是把單元邊上的中間點(diǎn)放到1/4邊處。圖2所示為ANSYS的2-D和3-D模型中所采用的奇異單元。圖2裂紋尖端的奇異單元應(yīng)用有限元方法計(jì)算裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子,關(guān)鍵是要建立一個能夠反映裂紋體特征的共線(共面)的裂紋幾何模型,并確定裂紋尖端的局部坐標(biāo)。在劃分裂紋尖端附近的幾何體時,必須選用具有奇異特征的單元。在完成靜力學(xué)計(jì)算后,才能計(jì)算裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]中的計(jì)算結(jié)果表明，應(yīng)用有限元分析軟件計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂力學(xué)求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子非常相近，因此，利用有限元計(jì)算材料的斷裂強(qiáng)度因子是可行的。4光彈性法由于光彈性法可以確定光彈性模型在裂紋尖端附近的應(yīng)力變化規(guī)律，因此提供了用實(shí)驗(yàn)方法確定裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子K的基礎(chǔ)[11]。利用透光材料制成含裂紋的試件，用激光光源照射，由于實(shí)時全息干涉原理，在照片上可以看到一組以裂紋尖端為中心的明暗交替的條紋?？梢宰C明：條紋中光的強(qiáng)度和試件的主應(yīng)力、間的關(guān)系如下：(20)在(20)式中：是材料的應(yīng)力—光學(xué)常數(shù)；是光的波長；是光波振幅；是光的強(qiáng)度。因?yàn)槌霈F(xiàn)暗條紋的條件是，即：也就是：(21)引進(jìn)常量m，它與條紋序數(shù)N的關(guān)系為：，因此：(22)對于張開型裂紋，在裂紋延長線上()，由裂紋尖端應(yīng)力分量的表達(dá)式可看出xy=0，因?yàn)樵诹鸭y上的剪應(yīng)力為0，所以σx和σy就是主應(yīng)力σ1和σ2。因此，由裂紋尖端應(yīng)力分量的表達(dá)式可得：(23)由于(23)式是在雙向應(yīng)力σ作用下導(dǎo)出來的，為了得到單項(xiàng)拉伸下的應(yīng)力場公式，可在x方向疊加一套應(yīng)力，，，但這并不改變裂紋尖端的奇異性和KⅠ值，這套應(yīng)力在裂紋內(nèi)產(chǎn)生一個均勻的應(yīng)力場，故x方向的合力為：則單向拉伸時x軸上的應(yīng)力為：(24)(25)將(25)式代入到(22)之中得：(26)在遠(yuǎn)離裂紋處，只有在y方向的均勻拉應(yīng)力，這時σ1+σ2=σy=σ,該處的m用表示，代入到(22)式得：(27)聯(lián)立(26)式和(27)式得：(28)由于一般KⅠ的表達(dá)式為：(29)將(29)式代入(28)式得：(30)由可得：(31)聯(lián)立(28)式和(31)式，得：(32)其中，N為裂紋線上距裂紋頂端為r的干涉條紋序數(shù)，N*為遠(yuǎn)離裂紋其應(yīng)力等于均勻拉應(yīng)力處的條紋序數(shù)。按(32)式可以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系中將實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫出，它是一條直線，其斜率就是Y。將Y值代入到式即可得到KⅠ值。實(shí)時全息條紋法只能得到二維問題的裂紋尖端數(shù)值解，對于三維裂紋問題則不可行。5近幾年求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的新進(jìn)展近幾年來求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的新方法主要有廣義參數(shù)有限元法[12]、利用G*積分理論求解[13]、單元初始應(yīng)力法[14]，區(qū)間分析方法[15]、擴(kuò)展有限元法[16]、蒙特卡羅方法[17]、樣條虛邊界元法[18]、無網(wǎng)格—直接位移法[19]、半解析有限元法[20]等。廣義參數(shù)有限元法建立了裂尖處應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算的W單元。利用修正的Williams級數(shù)建立裂尖附近奇異域的整體位移場，使得計(jì)算模型中含有與應(yīng)力強(qiáng)度因子直接相關(guān)的參數(shù)，便于直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而避免了奇異單元需要外推計(jì)算且人為選擇直線和計(jì)算點(diǎn)帶來的計(jì)算誤差和種種不便，不僅便于應(yīng)用，而且計(jì)算精度較高。直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的擴(kuò)展有限元法以常規(guī)有限元法為基礎(chǔ),利用單位分解法思想,通過在近似位移表達(dá)式中增加能夠反映裂紋面的不連續(xù)函數(shù)及反映裂尖局部特性的裂尖漸進(jìn)位移場函數(shù),間接體現(xiàn)裂紋面的存在,從而無需使裂紋面與有限元網(wǎng)格一致,無需在裂尖布置高密度網(wǎng)格,也不需要后處理就可以直接計(jì)算出應(yīng)力強(qiáng)度因子,并且大大簡化了前后處理工作。應(yīng)用區(qū)間分析方法對具有不確定參數(shù)的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行估計(jì)。該方法以區(qū)間數(shù)學(xué)為基礎(chǔ),將不確定參數(shù)描述為區(qū)間變量;再利用Taylor級數(shù)展開通過區(qū)間運(yùn)算得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的區(qū)間范圍,從而為工程設(shè)計(jì)提供可信的數(shù)據(jù)。區(qū)間分析方法優(yōu)于傳統(tǒng)的概率分析方法的是:它不需要預(yù)先知道關(guān)于不確定參數(shù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息,并且具有計(jì)算方法簡便、實(shí)用和精度高的特點(diǎn)。運(yùn)用蒙特卡羅方法求解線性代數(shù)方程組時，僅僅是求得解得一個分量Xi，而與其它分量無關(guān)。這條性質(zhì)跟我們邊界配置法所需要的相一致。因?yàn)?，邊界配置法最后就是得到一個線性方程組，而且為了求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，就只是需要求出其中一個解的分量。運(yùn)用蒙特卡羅方法求解由邊界配置法得出的線性方程組，即求出的應(yīng)力強(qiáng)度因子。采用差分方程求解的蒙特卡羅方法采用的游動網(wǎng)格為規(guī)則網(wǎng)格，對于不規(guī)則的幾何邊界問題，由于邊界的近似處理，計(jì)算精度受到了很大的影響。采用不規(guī)則游動網(wǎng)格的蒙特卡羅方法，改善了蒙特卡羅方法求解復(fù)雜邊界問題的精度，大大的擴(kuò)寬了蒙特卡羅方法的應(yīng)用。采用基于Kelvin基本解的樣條虛邊界元法，結(jié)合位移外推法，給出了斷裂問題應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法通過對兩個典型斷裂問題的分析，對邊界子段與虛邊界元的劃分、小單元的采用以及擬合點(diǎn)位置的確定等關(guān)鍵問題展開了討論，獲得了相關(guān)計(jì)算參數(shù)的選取規(guī)律，為該法在斷裂問題的進(jìn)一步應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的無網(wǎng)格法一般均采用J積分方法,但由于該方法為間接求解,降低了求解精度與求解效率。文中采用無網(wǎng)格—伽遼金方法,選取帶有擴(kuò)展基的奇異基函數(shù),以精確計(jì)算裂紋尖端位移場,并借鑒有限元法中計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的直接位移法,提出一種計(jì)算含裂結(jié)構(gòu)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的新方法,即無網(wǎng)格—直接位移法。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,該方法具有簡捷、高效的特點(diǎn),可以準(zhǔn)確計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。半解析有限元法，從彈性力學(xué)哈密頓理論出發(fā)，在裂紋尖端構(gòu)造了一個解析的超級單元，該單元能夠準(zhǔn)確描述平面裂紋尖端場，將該超級單元與普通有限單元相結(jié)合可求解任意幾何形狀和載荷的平面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算問題。該方法將解析法與有限元法相結(jié)合，各取所長，發(fā)揮各自的優(yōu)勢。6結(jié)語(1)數(shù)學(xué)分析法中的復(fù)變函數(shù)法一般只能解決彈性平面問題，且比較簡單方便，但對于較為復(fù)雜的三維問題則無法用復(fù)變函數(shù)去求解。此外，對于積分變換法，同樣也只能較為方便的去求解彈性平面中的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，故數(shù)學(xué)分析法有著其本質(zhì)的局限性。(2)邊界配置法其本質(zhì)是根據(jù)邊界上的配置點(diǎn)建立線性方程組，以滿足平衡條件和邊界條件，最后由計(jì)算機(jī)程序求解線性方程組，但其結(jié)果的精度與邊界配置點(diǎn)的選取相關(guān)，且需要有編程的基礎(chǔ)才能較為方便快捷的計(jì)算出應(yīng)力強(qiáng)度因子。(3)有限元法是目前用的較為普遍的一種計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法，該方法能夠解決平面和三維的各種裂紋情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并且還能復(fù)合裂紋的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，且計(jì)算結(jié)果的精度也比較高。因此，該方法在今后將會得到越來越廣泛地應(yīng)用，但利用有限元計(jì)算強(qiáng)度因子的建模過程很繁瑣，它需要將裂紋尖端附近的網(wǎng)格劃分的十分密集，工作量很大。(4)光彈性法屬于實(shí)驗(yàn)分析的一種方法，因此，用光彈性法首先需要有實(shí)驗(yàn)儀器上的支持。此外，光彈性法中的實(shí)時全息條紋法只能得到二維問題的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解，無法解決三維裂紋問題。現(xiàn)在通過三維光彈性凍結(jié)技術(shù)通過切片后在偏振光場中觀察到裂紋尖端附近應(yīng)力場的最大剪應(yīng)力條紋，可以估算出KⅠ。(5)對于應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算還有其它的一些計(jì)算方法，如柔度標(biāo)定法、權(quán)函數(shù)法以及無網(wǎng)格直接位移法等，針對不同的問題應(yīng)該選擇合適、簡便的方法去求解，因?yàn)槊糠N計(jì)算方法都有著其各自的局限性或缺點(diǎn)?？傊?，隨著斷裂理論的不斷發(fā)展，應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法將越來越成熟，計(jì)算三維空間復(fù)雜裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因也得到一定的發(fā)展，也是今后發(fā)展的重要方向。參考文獻(xiàn)：[1]雷振德.解讀應(yīng)力強(qiáng)度因子[J].武鋼職工大學(xué)學(xué)報(bào),2000,11(1):68~76.[2]尹雙增.斷裂、損傷理論及應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社,1992.[3]崔德渝,張行.求解正交各向異性含內(nèi)部裂紋板應(yīng)力強(qiáng)度因子的復(fù)變函數(shù)—分區(qū)廣義變分解法[J].航空學(xué)報(bào),1991,12(1):87~94.[4]陳宜周.利用特定復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算裂紋端的應(yīng)力強(qiáng)度因子[J].江蘇工學(xué)院學(xué)報(bào),1986,7(3):1~6.[5]李炳鋒,董世方.應(yīng)力強(qiáng)度因子的積分變換與數(shù)值求解法的比較[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,18(4):26~28.[6]熊先仁,袁去惑,楊菊梅等.應(yīng)力強(qiáng)度因子的邊界配置法程序及工程應(yīng)用[J].江西科學(xué),1996,14(2):106~113.[7]徐德福,羅景文.用邊界配置法計(jì)算正交各向異性材料單邊裂紋試件的應(yīng)力強(qiáng)度因子[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),1982,(2):283~291.[8]陳家權(quán),