5.3.2 極值與最值（精講）

5.3.2極值與最值（精講）考點(diǎn)一函數(shù)的極值【例】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)和極值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】答案見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，得；令，得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點(diǎn)為，極小值為，沒有極大值點(diǎn)和極大值.（2）因?yàn)?，所以，令，得或；令，得或；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點(diǎn)為，極小值為，極大值點(diǎn)為，極大值為.（3）因?yàn)?，所以，令，得或；令，得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點(diǎn)為，極小值為，極大值點(diǎn)為，極大值為.（4）因?yàn)?，所以，令，得；令，得或；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點(diǎn)為，極小值為，極大值點(diǎn)為，極大值為.【一隅三反】1．（2023·全國·高二課堂例題）求函數(shù)的極值．【答案】極大值為；極小值為．【解析】由題意可知，的定義域?yàn)?所以．令，則，解得，或．當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表所示；x2＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為．2．（2023春·四川樂山·高二?？计谥校┣蠛瘮?shù)的極值.【答案】極小值為，無極大值.【解析】由可得其定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，在上遞增，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故的極小值為，無極大值.3．（2023·全國·高二課堂例題）求函數(shù)的極大值和極小值．【答案】極大值為4；極小值為0．【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，令，解得或，當(dāng)x變化時(shí)，和的變化情況如下表所示：x0200遞減0遞增4遞減所以有極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為；有極小值點(diǎn)，對應(yīng)的極小值為.4．（2023秋·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求的極值.【答案】(1)答案見解析(2)極大值為，極小值為．【解析】（1）由題意得，，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；所以的單調(diào)遞增區(qū)間：，，單調(diào)遞減區(qū)間；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取到極大值為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取到極小值為．考點(diǎn)二由極值求參數(shù)【例21】（2023秋·陜西）若函數(shù)在處取得極小值，則（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】A【解析】由題意可得，則，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，則在，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極小值，此時(shí).故選：A【例22】（2023秋·江蘇無錫）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以函?shù)定義域?yàn)椋?，由題意，方程，即有兩個(gè)不相等的正根，設(shè)為，則，解得，即的取值范圍為，故選：A.【一隅三反】1．（2023·貴州遵義）函數(shù)在處取得極值0，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】A【解析】，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以.故選：A2．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處有極值0，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【答案】D【解析】，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，則．故選：D3．（2023秋·黑龍江哈爾濱）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，所以在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，則有且，，即，，所以，即，則，故選：BC.4．（2023秋·四川廣安）已知函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,函數(shù)在上存在極值，在該區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn).即,,單調(diào)遞減,設(shè)，單調(diào)遞增;單調(diào)遞減;,,.故選:B.5．（2023春·北京海淀·高二清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求、的值：(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令，若函數(shù)的極小值小于，求的取值范圍．【答案】(1)、(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(3)【解析】（1）因?yàn)?，所以，又函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即，解得.（2）由（1）可得定義域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）因?yàn)槎x域?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不符合題意；對于方程，當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)則時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根、，不妨設(shè)，則且所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時(shí)在處取得極大值，在處取得極小值，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.考點(diǎn)三極值解決函數(shù)零點(diǎn)【例3】（2023秋·云南）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，令，即，則，所以函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于曲線和在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，故的取值范圍為.故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·北京）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則整數(shù)的取值可以是．【答案】2，（大于等于2的整數(shù)即可，答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令可得，令，則，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；可得的極小值為，極大值為；作出函數(shù)的圖象如下圖所示：若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即與在同一坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，解得；又因?yàn)槿≌麛?shù)，且，所以整數(shù)的取值可以是2.故答案為：2（大于等于2的整數(shù)即可，答案不唯一）2．（2023·湖南）函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】．【解析】解法一（分類討論法）：（要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，常常需要研究函數(shù)的單調(diào)性），令，則或，（我們需要討論與0和1的大小關(guān)系）當(dāng)時(shí)，，其中，有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)只需，即，則；（當(dāng)時(shí)，我們需要討論與1的大小關(guān)系）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，．解法二（半分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合）：原題即關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，（著眼于方程左右兩邊可以看作是類對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)，其圖像我們是清楚的，故進(jìn)行半分離、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合處理）即函數(shù)，的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，其中，和的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，和的圖像有一個(gè)交點(diǎn)不合題意；（當(dāng)時(shí)，我們需要討論與1的大小關(guān)系）當(dāng)時(shí)，，和的圖像有一個(gè)公共點(diǎn)（易知為切點(diǎn)），不合題意；當(dāng)時(shí)，和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)（即將上圖中紅色部分右移）；當(dāng)時(shí)，和的圖像沒有公共點(diǎn)（即將上圖中紅色部分左移）．綜上所述，．解法三（全分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合）：原題即關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，只需研究函數(shù)的值域，先研究它的單調(diào)性：，只需研究取值的正負(fù)，，只需研究取值的正負(fù)，，而，則在遞減，在遞增，又，故，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，故單調(diào)遞增，又，則在為負(fù)，在遞減，在為正，在遞增，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．故答案為：(1,0)3．（2023秋·安徽亳州）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值(2)若函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【答案】(1)極大值，無極小值(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，無極小值.（2），，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，所以最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不成立，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，且，解得：，且，解得：，綜上可知，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)四不含參函數(shù)的最值【例41】（2023春·湖北黃岡·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1），則，而，故在點(diǎn)處的切線方程為（2），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，最大值為，而，，故最小值為0.【例42】（2023秋·四川內(nèi)江）已知函數(shù).(1)求的最值；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)最小值為，無最大值(2)【解析】（1）由已知可得，的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.所以，的最小值為，無最大值.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在處的斜率，則，所以，，整理可得，.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一解.所以，的解為，切點(diǎn)，此時(shí)斜率為，切線方程為，整理可得，切線方程為.【一隅三反】1．（2023秋·重慶渝中）已知函數(shù)在處的切線斜率為2.(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【解析】（1）因?yàn)?，所以，由題得，故.（2）由（1）得，則，在上單調(diào)遞增，故最小值為，最大值為.2．（2023秋·甘肅張掖）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)最大值為，最小值為．【解析】（1）解：函數(shù)定義域?yàn)?，則，令，解得或，令，解得．所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：由（1）可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．可得：時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．又，，，，則，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值．【答案】(1)2(2)．【解析】（1）由，得，，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故，．（2）當(dāng)時(shí)，，由、在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減可得：在上單調(diào)遞增，而，，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，在上的最大值為．考點(diǎn)五函數(shù)的最值求參數(shù)【例5】（2023秋·陜西漢中）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，令，得，令，是，或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，故.令，得，解得，，所以，所以要使在上存在最大值，則有,解得.故選：B.【一隅三反】1．（2023春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)，的最小值為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】，，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以的最小值為，令，解得.故選：C2．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是.【答案】【解析】，令得，時(shí)，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，即且，則且，解得，故答案為：.3．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值；(3)若函數(shù)在上的最小值是，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)極大值為，極小值為；(3)【解析】（1）由得，令，得或，令，得，故的增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由（1）可知的極大值為，極小值為；（3）函數(shù)在上的最小值是，故，由可知是的一個(gè)解，故，解得或，由于的增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，故要使得函數(shù)在上的最小值是，只需，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)六含參函數(shù)的最值【例6】（2023·云南昭通·高二?？计谥校┖瘮?shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，若，可得在上單調(diào)遞增，無最小值；若時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以在處取得極小值，也是最小值，所以極小值點(diǎn)應(yīng)該在內(nèi)，所以，所以.故選：B.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題意得，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值也是最大值，故，故選：C．2．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，求a的值．【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，