統(tǒng)計(jì)學(xué) 第3版 課件 ch6統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

6統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布6.1總體與樣本6.2樣本統(tǒng)計(jì)量及其分布6.3重要的抽樣分布及

抽樣分布定理2引例1899年，戈塞特（1876-1937）進(jìn)入都柏林A.吉尼斯父子釀酒公司擔(dān)任釀酒化學(xué)技師，主要從事統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)工作。他在工作中發(fā)現(xiàn)，供釀酒的每批麥子質(zhì)量相差很大，而同一批麥子中能抽樣供試驗(yàn)的麥子又很少，每批樣本在不同的溫度下做實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相差很大。這就決定了不同批次和溫度的麥子樣本是不相同的，不能進(jìn)行樣本合并。這樣一來，實(shí)際上取得的麥子樣本，不可能是大樣本，只能是小樣本。他在工作中還發(fā)現(xiàn)，利用小樣本得出的結(jié)果，和正態(tài)分布有較大的差異，特別是兩端尾部的概率，比正態(tài)分布明顯高。31908年，戈塞特以“學(xué)生（Student）”為筆名在《生物計(jì)量學(xué)》雜志發(fā)表了論文《平均數(shù)的規(guī)律誤差》.這篇論文開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論的先河，為研究樣本分布理論奠定了重要基礎(chǔ)。被統(tǒng)計(jì)學(xué)家譽(yù)為統(tǒng)計(jì)推斷理論發(fā)展史上的里程碑。那么總體和樣本是如何聯(lián)系的？大樣本和小樣本下究竟有什么差異？什么是t分布？它和正態(tài)分布有什么不同？它有什么作用？是否還有其他類似作用的分布？引例（續(xù)）4描述統(tǒng)

計(jì)02550Q1Q2Q3Q4￥x=30s2=105統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布是描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)的橋梁推

斷

統(tǒng)

計(jì)總體樣本統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布描述統(tǒng)計(jì)：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)值推斷統(tǒng)計(jì)：利用抽樣分布推斷總體6.1總體與樣本6.1.1統(tǒng)計(jì)推斷中的總體與總體參數(shù)6.1.2統(tǒng)計(jì)推斷中的樣本及其性質(zhì)*6.1.3樣本聯(lián)合分布函數(shù)61.總體是在一定的研究目的下，所要研究事物的全體，它是由客觀存在的、具有某種共同性質(zhì)的眾多個(gè)別事物構(gòu)成的整體。(調(diào)查對象)2.個(gè)體是構(gòu)成總體的個(gè)別事物是個(gè)體。也稱總體單位。個(gè)體是所要研究具體問題的承擔(dān)者。(調(diào)查單位)

6.1.1統(tǒng)計(jì)推斷中的總體與總體參數(shù)7

統(tǒng)計(jì)中真正收集和研究的是標(biāo)志值。總體實(shí)質(zhì)上從實(shí)物抽象到了數(shù)值，這就是數(shù)值總體。實(shí)物總體數(shù)值集合（總體）分布總體組成元素具體對象組成元素重復(fù)數(shù)字組成元素?cái)?shù)字的取值及其概率：分布研究的標(biāo)志數(shù)字的取值和重復(fù)的頻率6.1.1統(tǒng)計(jì)推斷中的總體與總體參數(shù)（續(xù)）

雖然總體中的個(gè)體可能很多，但個(gè)體在所關(guān)注標(biāo)志（變量）上的可能取值只是有限個(gè)（如離散變量），因?yàn)橹貜?fù)取值很多，可將全部可能的取值及其概率用總體分布來描述。

于是，研究總體全部取值就轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)的總體分布了。8【例】研究上市公司經(jīng)營狀況時(shí)，關(guān)注“是否被證監(jiān)會(huì)特別處理（即是否ST公司）”這一標(biāo)志。該標(biāo)志只能取兩個(gè)值：ST和非ST。我們要關(guān)注的就是總體中ST和非ST的上市公司的頻數(shù)或頻率（屬兩點(diǎn)分布）6.1.1統(tǒng)計(jì)推斷中的總體與總體參數(shù)（續(xù)）9

如果所研究標(biāo)志沒有重復(fù)取值（如連續(xù)變量），總體在單點(diǎn)上概率為0，此時(shí)關(guān)注單個(gè)取值是無意義的，通常感興趣的是標(biāo)志在不同區(qū)間上取值的密集程度?！纠砍鼍屏浚ㄓ肵表示）的取值是連續(xù)的，可以將其劃分為若干連續(xù)的小區(qū)間，計(jì)算出酒量X在區(qū)間上取值的頻次或頻率。（屬于正態(tài)分布）6.1.1統(tǒng)計(jì)推斷中的總體與總體參數(shù)（續(xù)）10

6.1.1統(tǒng)計(jì)推斷中的總體與總體參數(shù)（續(xù)）11總體指標(biāo)也稱為總體參數(shù)，反映總體分布的某一數(shù)量特征。如總體均值、總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差、總體成數(shù)，總體分位數(shù)等。一旦研究目的明確后，總體參數(shù)具有唯一確定性。總體參數(shù)通常都是未知的，需要通過樣本數(shù)據(jù)去推斷?？傮w參數(shù)126.1.2統(tǒng)計(jì)推斷中的樣本及其性質(zhì)

132.簡單隨機(jī)樣本的特性如果樣本具有下列兩個(gè)性質(zhì)，則稱之為簡單隨機(jī)樣本。（1）樣本點(diǎn)之間相互獨(dú)立

樣本是一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，每個(gè)樣本點(diǎn)的取值互不影響。從總體中抽取樣本的方法有兩種：

重復(fù)抽樣：每次抽取樣本點(diǎn)都在總體所有個(gè)體中進(jìn)行，每次抽樣的結(jié)果都不受以前抽樣的影響，也不會(huì)影響到以后抽樣的結(jié)果，因此樣本點(diǎn)相互獨(dú)立。

不重復(fù)抽樣：每次抽樣后，下次抽樣只能在剩余的個(gè)體中選擇，因此樣本點(diǎn)之間不獨(dú)立。但由于實(shí)際中總體容量很大，可近似為無窮。當(dāng)總體容量無窮時(shí)，每次抽取樣本點(diǎn)時(shí)，以前抽樣的結(jié)果不會(huì)影響后面抽樣的結(jié)果，因此可以認(rèn)為樣本點(diǎn)之間近似滿足相互獨(dú)立。14（2）樣本點(diǎn)與總體同分布由于每一個(gè)體都有均等被抽中的概率，因而樣本取總體各種取值的概率即樣本分布與總體分布相同。2.簡單隨機(jī)樣本的特性（續(xù)）常常將上述兩個(gè)性質(zhì)一同簡稱為“樣本獨(dú)立同分布(independentidenticaldistribution，縮寫為i.i.d)”。15*6.1.3樣本聯(lián)合分布函數(shù)

166.1.3樣本聯(lián)合分布函數(shù)（續(xù)）

(6.1)

(6.2)

17(6.1)和(6.2)形式相同，但是含義有所不同，其中(6.2)在很多情況下等于0，要特別注意體會(huì)。樣本的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)反映了樣本的分布狀況，它是導(dǎo)出抽樣分布的基礎(chǔ)。6.1.3樣本聯(lián)合分布函數(shù)（續(xù)）18

【例6.1】19

【例6.2】6.2樣本統(tǒng)計(jì)量及其分布6.2.1統(tǒng)計(jì)量的定義6.2.2常用統(tǒng)計(jì)量6.2.3抽樣分布的概念6.2.1統(tǒng)計(jì)量的定義21總體參數(shù)未知總體其他信息未知總體分布未知抽樣得到隨機(jī)樣本樣本統(tǒng)計(jì)量T=T(X1,X2,…Xn)兩個(gè)要點(diǎn)：1、是樣本的函數(shù)2、不含未知的總體參數(shù).抽樣分布就是樣本統(tǒng)計(jì)量的分布！樣本X1,X2,…Xn抽樣和構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的過程利用統(tǒng)計(jì)量推斷總體信息22

6.2.1統(tǒng)計(jì)量的定義6.2.2常用統(tǒng)計(jì)量23

24

6.2.2常用統(tǒng)計(jì)量（續(xù)）樣本偏度（Skew）和樣本峰度（Kurt）分別是根據(jù)基于樣本3階、4階中心距計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量。計(jì)算公式為：25由此式計(jì)算的樣本峰度，等于0、大于0、小于0分別表示樣本頻數(shù)分布為正態(tài)分布、尖頂分布、平頂分布。6.2.2常用統(tǒng)計(jì)量（續(xù)）26

6.2.2常用統(tǒng)計(jì)量（續(xù)）27

6.2.2常用統(tǒng)計(jì)量（續(xù)）6.2.3抽樣分布的概念28統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。抽樣分布和統(tǒng)計(jì)推斷有著密切的聯(lián)系。統(tǒng)計(jì)量明確以后，必須要知道其抽樣分布才能在統(tǒng)計(jì)推斷中使用。因?yàn)橹挥兄懒私y(tǒng)計(jì)量的分布，才能利用概率論對總體的特征進(jìn)行推斷，并得到相應(yīng)的推斷置信度。所以在統(tǒng)計(jì)推斷中，一項(xiàng)重要的工作就是尋找統(tǒng)計(jì)量和導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布或漸近抽樣分布?！纠?-3】29

【例6-4】30

6.3重要的抽樣分布及抽樣分布定理

32

33卡方分布是一種不對稱偏峰分布，卡方分布的自由度決定了分布的形狀。隨著自由度的增大，卡方分布的期望和方差隨之增大，分布曲線的最高點(diǎn)也逐漸下降并向右移動(dòng)，趨于對稱。

34

例——自由度？

若X1，X2，…，Xn是簡單隨機(jī)樣本，下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的自由度應(yīng)是多少？

2分布的上側(cè)分位數(shù)附表A-3中給出了自由度n≤45的

2分布的上側(cè)α

分位數(shù)值。如對于查表得通過EXCEL查

2分布的上側(cè)分位數(shù)，函數(shù)為CHIINV。反之，已知卡方分位數(shù)查右尾概率，函數(shù)為CHIDIST

38

39【例6-5】

40【例6-5】解

416.3.2t分布42圖6-2密度函數(shù)曲線t分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，都是對稱分布均在(-∞,+∞)上取值但相比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,t分布曲線低峰厚尾t分布密度曲線

432.t

分布的性質(zhì)特征（2）t

分布的自由度t分布的自由度是由生成t分布的分母即卡方變量的自由度而來。t分布的形狀和自由度有較大關(guān)系。自由度越小，分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的區(qū)別越明顯，t分布“比較平”，而自由度增大，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布逐漸接近。442.t

分布的性質(zhì)特征（續(xù)）

45【例6-6】

46【例6-6】解（續(xù)）

設(shè)T～t(n)，若對（0<<1）,若t

(n)滿足：則稱t

(n)為t(n)的上側(cè)

分位數(shù)。t

分布的上側(cè)分位數(shù)由于對稱性，下側(cè)

分位數(shù)為：

t1-

(n)=-t

(n)

t分布上側(cè)分位數(shù)可以通過書后附表A-2查得。當(dāng)n≥30時(shí)，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)近似相等。如：查表得通過EXCEL查左側(cè)、雙尾t分位數(shù)，函數(shù)分別為T.INV和T.INV.2T反之，已知t分位數(shù)查對應(yīng)的左尾、雙尾、右尾概率，函數(shù)分別為T.DIST，T.DIST.2T，T.DIST.RT。

496.3.3F分布50圖6-2F分布密度函數(shù)曲線F分布的密度曲線

51

52

53

F分布的分位數(shù)F分位點(diǎn)左尾、右尾的分位數(shù)，函數(shù)分別為F.INV，F(xiàn).INV.RT利用EXCEL得F分布的分位點(diǎn)反之，已知分位點(diǎn)查左尾、右尾概率，函數(shù)分別為F.DIST，F(xiàn).DIST.RT。

因?yàn)閯t.【附】證即故命題得證【附】t分布與F分布的關(guān)系若T~t(n)，則T2~F(1，n)由T和F的定義可證:其中X~N(0,1),Y~2(n),X與Y獨(dú)立

576.3.4抽樣分布定理用途與條件

58【例6-8】59

【例6-8】解

60【例6-8】解（續(xù)）

61【