費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

費(fèi)馬點(diǎn)破解策略費(fèi)馬點(diǎn)就是指平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之與最小得點(diǎn),這個(gè)最小得距離叫做費(fèi)馬距離.

若三角形得內(nèi)角均小于１20°，那么三角形得費(fèi)馬點(diǎn)與各頂點(diǎn)得連線三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在得周角;若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于等于１20°，則此鈍角得頂點(diǎn)就就是到三個(gè)頂點(diǎn)距離之與最小得點(diǎn)。若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于等于1２0°，則此鈍角得頂點(diǎn)即為該三角形得費(fèi)馬點(diǎn)

如圖在△ＡBC中,∠BAC≥120°,求證：點(diǎn)A為△ＡBC得費(fèi)馬點(diǎn)證明：如圖,在△ＡBC內(nèi)有一點(diǎn)P延長BＡ至C，使得AC＝AC,作∠CＡＰ＝∠CＡP，并且使得AP=AP,連結(jié)PP則△ＡPC≌△APC,PC＝PＣ因?yàn)椤希拢罜≥1２0° 所以∠PＡＰ＝∠ＣAＣ≤６0所以在等腰△PＡＰ中，AP≥PP所以PA＋PB+PC≥PP＋PB＋ＰＣ>ＢC=AB＋ＡＣ所以點(diǎn)A為△ABＣ得費(fèi)馬點(diǎn)若三角形得內(nèi)角均小于120°,則以三角形得任意兩邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)得交點(diǎn)即為該三角形得費(fèi)馬點(diǎn)。如圖，在△ABＣ中三個(gè)內(nèi)角均小于120°,分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形,兩個(gè)等邊三角形得外接圓在△ABC內(nèi)得交點(diǎn)為O，求證：點(diǎn)O為△AＢC得費(fèi)馬點(diǎn)證明:在△ABC內(nèi)部任意取一點(diǎn)O，;連接OA、ＯB、ＯC將△ＡOC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AO′Ｄ連接OO′則O′Ｄ＝OC所以△ＡOO′為等邊三角形,ＯＯ′＝ＡO所以O(shè)A＋OＣ＋OB=OＯ′＋OB+O′D則當(dāng)點(diǎn)B、O、O′、D四點(diǎn)共線時(shí)，OA＋OB＋OC最小此時(shí)ＡＢAC為邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形得外接圓在△AＢＣ內(nèi)得交點(diǎn)即為點(diǎn)O如圖，在△ABC中,若∠BAＣ、∠ABC、∠ＡCB均小于１20°,O為費(fèi)馬點(diǎn),則有∠ＡＯB＝∠BＯC＝∠ＣOＡ=１２０°,所以三角形得費(fèi)馬點(diǎn)也叫三角形得等角中心例1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A得坐標(biāo)為（-6,0），點(diǎn)B得坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C得坐標(biāo)為（６,),延長AＣ至點(diǎn)D使得ＣD=AC,過點(diǎn)ＤＥ作ＤE／／ＡB,交BC得延長線于點(diǎn)E，設(shè)G為y軸上得一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線ｙ=x+與y軸得交點(diǎn)M出發(fā),先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G,再沿GA到達(dá)點(diǎn)A,若點(diǎn)Ｐ在ｙ軸上運(yùn)動(dòng)得速度就是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度得２倍，試確定點(diǎn)G得位置,使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)A所用得時(shí)間最短解:∵t=∴當(dāng)2ＧA＋GM最小時(shí)，時(shí)間最短如圖,假設(shè)在OＭ上存在一點(diǎn)G，則BG=AG∴MＧ+2AG＝MG＋AG＋BG把△MGB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′G′B，連結(jié)GG′,MＭ′∴△ＧG′B、△MM′Ｂ都為等邊三角形則ＧG′=Ｇ′B＝GＢ又∵M(jìn)′G′＝MG∴MG+AG+BG＝M′Ｇ′＋GG′＋AＧ∵點(diǎn)A、M′為定點(diǎn)∴AM′與OM得交點(diǎn)為Ｇ,此時(shí)MＧ＋AG+BG最小∴點(diǎn)G得坐標(biāo)為(0,）例2A、B、Ｃ、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形得四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每兩個(gè)城市之間都有公路相通,并就是整個(gè)公路系統(tǒng)得總長度為最小,則應(yīng)當(dāng)如何修建？解:如圖，將△AＢP繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6０°，得到△EBＭ;同樣,將△DCQ繞點(diǎn)Ｃ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△FCN,連結(jié)AE、ＤF,則△AＢＥ、△ＤＣF均為等邊三角形，連結(jié)ＰM、QN，則△BPＭ，△ＣQＮ均為等邊三角形所以當(dāng)點(diǎn)E，M,Ｐ,Q，N,F共線時(shí),整個(gè)公路系統(tǒng)得總長取到最小值,為線段EF得長，如圖，此時(shí)點(diǎn)P，Q在EF上，1＝2=3＝4=３０．進(jìn)階訓(xùn)練1。如圖,在AＢC中,AＢC=6０，AＢ＝５,BＣ=３,P就是ABC內(nèi)一點(diǎn),求PA+ＰB+PC得最小值，并確定當(dāng)PＡ＋PB+PC取得最小值時(shí)，APC得度數(shù).答案:PA＋PB＋PC得最小值為7，此時(shí)APC=120.【提示】如圖，將ＡPB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到Ａ'BP’,連結(jié)PP’,A'Ｃ。過點(diǎn)A’作A’EBC，交ＣB得延長線于點(diǎn)E.解ＲtA'EＣ求Ａ'C得長，所得即為PA+PＢ+ＰC得最小值.2。如圖，四邊形ABCD就是正方形,ABＥ就是等邊三角形,M為對角線BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN,連結(jié)AM,ＣＭ,EN.(1）當(dāng)Ｍ在何處時(shí)，ＡM＋CＭ得值最?。浚?)當(dāng)Ｍ在何處時(shí)，AM+BM+CM得值最小？請說明理由;(3）當(dāng)AM＋BＭ＋CM得最小值為時(shí),求正方形得邊長．答案:（1)當(dāng)點(diǎn)Ｍ落在ＢD得中點(diǎn)時(shí)，ＡM+CM得值最小,最小值為AＣ得