第13章-軸對稱-幾何綜合題專題練習題(教師版)

人教版八年級數(shù)學上冊第十三章軸對稱幾何綜合題專題練習題專題(1)等腰三角形的性質(zhì)與全等三角形綜合1.如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，BD＝CE.求證：AD＝AE.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD＝AE.2.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD，BE是兩腰上的中線，求證：CD＝BE.證明：∵CD，BE是兩腰上的中線，∴AD＝AE.在△ADC和△AEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AE，,∠A＝∠A，,AC＝AB，))∴△ADC≌△AEB(SAS).∴CD＝BE.3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的延長線上的點，且BE＝CF.求證：DE＝DF.證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠DAF.又∵BE＝CF，∴AB＋BE＝AC＋CF.即AE＝AF.在△ADE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF(SAS).∴DE＝DF.4.已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求證：(1)∠1＝∠2；(2)OA⊥BC.證明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.(2)∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.在△ABO和△ACO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABO＝∠ACO，,OB＝OC，))∴△ABO≌△ACO(SAS).∴∠BAO＝∠CAO.∴AO平分∠BAC.∵△ABC是等腰三角形，∴OA⊥BC.5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點，且BE＝CD，CF＝BD.(1)試說明：△BDE與△CFD全等的理由；(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度數(shù).解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CD，,∠B＝∠C，,BD＝CF，))∴△BDE≌△CFD(SAS).(2)∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝70°.∵△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF.∵∠EDC＝∠B＋∠BED，∴∠EDF＝∠B＝70°.6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.(1)△AEF與△CEB全等嗎？請說明理由；(2)說明AF＝2BD的理由.解：(1)全等.理由：∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠BEC＝90°.∴∠EAF＝∠ECB，∠AEF＝∠BEC.又∵BE＝EF，∴△AEF≌△CEB(AAS).(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AF＝2CD.7.已知，如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，BD＝CF，CD＝BE，G為EF的中點，問：(1)△BDE與△CFD全等嗎？請說明理由；(2)判斷DG與EF的位置關系，并說明理由.解：(1)△BDE與△CFD全等，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CD，,∠B＝∠C，,BD＝CF，))∴△BDE≌△CFD(SAS).(2)DG⊥EF.理由：∵△BDE≌△CFD，∴DE＝DF.∵G是EF的中點，∴DG⊥EF.8.在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC，BD交于點M.(1)如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC與BD的數(shù)量關系為AC＝BD；②∠AMB的度數(shù)為40°.(2)如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；②求∠AMB的度數(shù).解：(2)①AC＝BD，理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD.∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OA，,∠BOD＝∠AOC，,OD＝OC，))∴△BOD≌△AOC(SAS).∴BD＝AC.②設OA，BD相交于點E.∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC.又∵∠AEM＝∠BEO，∴∠AMB＝∠AOB＝90°.專題(2)角的平分線與線段的垂直平分線1.如圖，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于點F.求證：∠BAF＝∠ACF.證明：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠DAC.∵FE是AD的垂直平分線，∴FA＝FD.∴∠FAD＝∠FDA.∵∠BAF＝∠FAD＋∠BAD，∠ACF＝∠FDA＋∠DAC，∴∠BAF＝∠ACF.2.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD為∠BAC的平分線.求證：點D在線段AB的垂直平分線上.證明：作DE⊥AB于點E，則∠AED＝90°.∵∠C＝90°，∴∠AED＝∠C.∵AD為∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AED＝∠C，,∠EAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△ACD(AAS).∴AE＝AC.∵AB＝2AC，∴AB＝2AE.∴BE＝AE.又∵DE⊥AB，∴DE是線段AB的垂直平分線，即點D在線段AB的垂直平分線上.3.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，點D是BC邊的中點，DE⊥BC，∠ABC的平分線BF交DE于△ABC內(nèi)一點P，連接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度數(shù)；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，請直接寫出m，n滿足的關系式m＋3n＝120.解：∵點D是BC邊的中點，DE⊥BC，∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP.∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°.∴3∠ABP＝96°.∴∠ABP＝32°.4.如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于點P，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E.求證：BD＝CE.證明：連接BP，CP.∵點P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP.∵AP是∠DAC的平分線，PD⊥AB，PE⊥AC，∴DP＝EP.在Rt△BDP和Rt△CEP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BP＝CP，,DP＝EP，))∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL).∴BD＝CE.專題(3)特殊三角形中常見輔助線的作法1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于點E，且BE＝eq\f(1,2)BC.若∠EAB＝20°，則∠BAC＝40°.2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，DE＝2，則BC的長為12.3.如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，則CD＝2.4.如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于點C.若EC＝1，則OF＝2.5.如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于點D，E是AD上一點，且EA＝EC，求證：EB⊥AB.證明：作EF⊥AC于點F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝eq\f(1,2)AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABE和△AFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AF，,∠BAE＝∠FAE，,AE＝AE，))∴△ABE≌△AFE(SAS).∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.6.如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O為AB的中點，OE⊥OF分別交AC，BC于點E，F(xiàn).求證：OE＝OF.證明：連接OC.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點O為AB的中點，∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB.∴OC＝OB，∠COB＝90°.又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.在△EOC和△FOB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOC＝∠FOB，,OC＝OB，,∠OCE＝∠OBF，))∴△EOC≌△FOB(ASA).∴OE＝OF.7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，DE⊥AC于點E，AE＝2，求CE的長.解：連接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，∴∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，∠ADC＝90°.∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.∴AD＝2AE＝4.又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°，∴AC＝2AD＝8.∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.8.如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，BD⊥BC于點B，∠ABD＝30