固體物理課件

§1.2晶格的周期性

1.晶格周期性的描述——原胞和基矢晶格共同特點(diǎn)——周期性，可以用原胞和基矢來描述

原胞

——一個(gè)晶格中最小重復(fù)單元基矢

——原胞的邊矢量——三維晶格的重復(fù)單元是平行六面體——重復(fù)單元的邊長(zhǎng)矢量單胞

——為了反映晶格的對(duì)稱性，常取最小重復(fù)單元的幾倍作為重復(fù)單元單胞的邊在晶軸方向，邊長(zhǎng)等于該方向上的一個(gè)周期

——代表單胞三個(gè)邊的矢量稱為單胞的基矢單胞基矢一些情況下，單胞就是原胞一些情況下，單胞不是原胞簡(jiǎn)單立方晶格—單胞是原胞面心立方晶格—單胞不是原胞面心立方晶格原胞基矢原胞的體積單胞基矢單胞的體積1)簡(jiǎn)單立方晶格

——原胞為簡(jiǎn)單立方晶格的立方單元基矢原胞體積——原胞中只包含一個(gè)原子2.簡(jiǎn)單晶格

——

由完全等價(jià)的一種原子構(gòu)成的晶格2)面心立方晶格

立方體的頂點(diǎn)到三個(gè)近鄰的面心引三個(gè)基矢——原胞中只包含一個(gè)原子基矢原胞體積3)體心立方晶格由立方體的中心到三個(gè)頂點(diǎn)引三個(gè)基矢——原胞中只包含一個(gè)原子基矢原胞體積3.復(fù)式晶格

——復(fù)式格子包含兩種或兩種以上的等價(jià)原子1)不同原子或離子構(gòu)成的晶體NaCl、CsCl、ZnS等

2)相同原子但幾何位置不等價(jià)的原子構(gòu)成的晶體金剛石結(jié)構(gòu)的C、Si、Ge六角密排結(jié)構(gòu)Be、Mg、Zn3)復(fù)式格子的特點(diǎn)：不同等價(jià)原子各自構(gòu)成相同的簡(jiǎn)單晶格（子晶格），復(fù)式格子由它們的子晶格相套而成NaCl晶格——Na+和Cl－各有一個(gè)相同的面心立方晶格

——CsCl結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方的子晶格彼此沿立方體空間對(duì)角線位移1／2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成CsCl的復(fù)式晶格立方系的ZnS——S和Zn分別組成面心立方結(jié)構(gòu)的子晶格沿空間對(duì)角線位移1／4的長(zhǎng)度套構(gòu)而成ZnS的復(fù)式晶格鈦酸鋇（BaTiO3）的復(fù)式晶格BaTiO3的晶格

——由Ba、Ti和OI、OII、OIII各自組成的簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)子晶格（共5個(gè)）套構(gòu)而成4）復(fù)式格子的原胞

——相應(yīng)簡(jiǎn)單晶格的原胞，一個(gè)原胞中包含各種等價(jià)原子各一個(gè)鈦酸鋇原胞可以取作簡(jiǎn)單立方體包含：3個(gè)不等價(jià)的O原子1個(gè)Ba原子1個(gè)Ti原子——共五個(gè)原子六角密排晶格的原胞基矢選取——一個(gè)原胞中包含A層和B層原子各一個(gè)——共兩個(gè)原子4.晶格周期性的描述——布拉菲格子

簡(jiǎn)單晶格，任一原子A的位矢復(fù)式晶格：任一原子A的位矢原胞中各種等價(jià)原子之間的相對(duì)位移——金剛石晶格對(duì)角線位移——碳1位置——碳2位置可以用表示一個(gè)空間格子——一組l1，l2，l3的取值可以囊括所有的格點(diǎn)——布拉菲格子由確定的空間格子——晶體可以看作是在布拉菲格子（Lattice）的每一個(gè)格點(diǎn)上放上一組原子（Basis

基元）構(gòu)成的簡(jiǎn)單晶格——基元是一個(gè)原子復(fù)式晶格——基元是一個(gè)以上原子§1.3晶向晶面和它們的標(biāo)志

布拉菲格子的特點(diǎn)——所有格點(diǎn)周圍的情況都是一樣的——在布拉菲格子中作一簇平行的直線，這些平行直線可以將所有的格點(diǎn)包括無遺——晶體的晶列平行直線——晶列——在一個(gè)平面里，相鄰晶列之間的距離相等——每一簇晶列定義了一個(gè)方向——晶向

晶向的標(biāo)志取某一原子為原點(diǎn)O，原胞的三個(gè)基矢——沿晶向到最近的一個(gè)格點(diǎn)的位矢，即為晶向——一組互質(zhì)整數(shù)晶向指數(shù)——對(duì)于單胞，也有類似的晶向指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)

簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志

立方邊OA的晶向立方邊共有6個(gè)不同的晶向面對(duì)角線OB的晶向——面對(duì)角線晶向共有12個(gè)

體對(duì)角線OC的晶向體對(duì)角線晶向共有？個(gè)——由于立方晶格的對(duì)稱性，以上3組晶向是等效的，表示為

晶面的標(biāo)志

晶體的晶面——與晶列相似，在布菲伐格子中作一簇相互平行、等間距的平面，即可以將所有的格點(diǎn)包括無遺——這些相互平行的平面稱為晶體的晶面同一個(gè)格子，兩組不同的晶面族取某一原子為原點(diǎn)O，原胞的三個(gè)基矢為坐標(biāo)系的三個(gè)軸，不一定相互正交——晶格中一族的晶面不僅平行，并且等距——一族晶面必包含了所有格點(diǎn)而無遺漏如何區(qū)分不同的晶面？晶面的方向：密勒指數(shù)3.將此結(jié)果以(hkl)表示，即為此平面的密勒指數(shù)(1/31/41/2)=(436)(320)確定某平面在坐標(biāo)系3個(gè)軸上的截點(diǎn)，并以晶格常數(shù)為單位測(cè)得相應(yīng)的截距2.取第一個(gè)面截距的倒數(shù)，然后約簡(jiǎn)為3個(gè)沒有公約數(shù)的整數(shù)，即將其化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比立方晶格的幾種主要晶面標(biāo)記

面等效的晶面數(shù)分別為：6個(gè)表示為面等效的晶面數(shù)分別為：12個(gè)表示為面等效的晶面數(shù)分別為：8個(gè)表示為——符號(hào)相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面時(shí)才有意義,在晶體內(nèi)部這些面都是等效的六方結(jié)構(gòu)中，為了能充分體現(xiàn)六方晶系的六重對(duì)稱性，常常用4個(gè)坐標(biāo)指數(shù)表示晶面，被稱為密勒指數(shù)（hkil）其中h+k=-i,此時(shí)選取4個(gè)晶軸a1,a2,a3,c，也可表示為（hkl）如果某族晶面與某一基矢沒有相交，截距是無窮大，例如:密勒指數(shù)為：如果晶面與某一晶軸的負(fù)方向相交，則相應(yīng)指數(shù)上加負(fù)號(hào)，如晶面間距：相鄰兩層平行晶面之間的距離面密度：晶面上質(zhì)點(diǎn)的密度晶體中重要的面指數(shù)都是簡(jiǎn)單的，如立方晶格中一個(gè)晶面的密勒指數(shù)與晶面法線的晶向指數(shù)相同為什么要研究倒空間（reciprocalspace)?一個(gè)物理問題，既可以在正(實(shí)，坐標(biāo))空間描寫，也可以在倒(動(dòng)量)空間描寫為什么選擇不同的表象？*適當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)表象，可使問題簡(jiǎn)化容易處理*比如電子在均勻空間運(yùn)動(dòng)，雖然坐標(biāo)一直變化，但k守衡

正（坐標(biāo)）空間的格矢（R）描寫周期性，同樣在倒（動(dòng)量）空間，倒格矢K也是描寫周期性。這兩個(gè)空間是等價(jià)的，只是存在一個(gè)變換（傅里葉變換）1-4倒格子§1.4倒格子

——晶格具有周期性，一些物理量（勢(shì)能、基態(tài)電荷密度）也具有周期性基態(tài)電荷密度電荷密度是以為周期的三維周期函數(shù)將基態(tài)電荷密度做傅立葉變換為傅立葉展開系數(shù)同樣即（n為整數(shù)）若倒格子基矢bj確定，則整個(gè)倒格子空間點(diǎn)陣也確定；Kh具有平移對(duì)稱性。正格矢量有上式成立的條件是定義倒格矢量是正交關(guān)系！即

與

和

正交！看和確定的平面，即

矢量垂直于該平面則有與平行可設(shè)利用正交關(guān)系有：可得：表示什么含義？以它們?yōu)榛笜?gòu)成一個(gè)倒格子，倒格子每個(gè)格點(diǎn)的位置倒格子基矢倒格子原胞體積與正格子原胞體積的關(guān)系：二維倒格子ab二維倒格子二維正格子簡(jiǎn)立方晶格的倒格子仍然是簡(jiǎn)立方格子ijk正格子倒格子面心立方晶格的倒格子是體心立方格子ijk正格子倒格子該體心立方格子的晶格常數(shù)是多少？體心立方晶格的倒格子是面心立方格子ijk正格子倒格子晶體結(jié)構(gòu)正倒格子對(duì)應(yīng)關(guān)系正格子倒格子1.1.2.與晶體中的原子位置相對(duì)應(yīng)2.與晶體中的晶面族相對(duì)應(yīng)3.是與真實(shí)空間相聯(lián)系的傅里葉空間（K空間）中點(diǎn)的周期性排列3.是真實(shí)空間中點(diǎn)的周期性排列5.量綱為[長(zhǎng)度]5.量綱為[長(zhǎng)度]-14.W-S原胞4.布里淵區(qū)2）正格子中一簇晶面和正交

——可以證明與晶面族正交晶面方程3）倒格子矢量為晶面的法線方向各晶面到原點(diǎn)的距離面間距§1.5晶體的宏觀對(duì)稱性

——晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對(duì)稱性對(duì)稱性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)介電常數(shù)表示為二階張量電位移可以證明對(duì)于立方對(duì)稱的晶體介電常數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)量——六角對(duì)稱晶體，將坐標(biāo)軸取在六角軸和垂直于六角軸的平面內(nèi)介電常數(shù)具有如下形式平行軸（六角軸）的分量垂直于六角軸平面的分量——由于六角晶體的各向異性，具有光的雙折射現(xiàn)象——立方晶體的光學(xué)性質(zhì)則是各向同性的——原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表現(xiàn)出不同的宏觀對(duì)稱性概括晶體宏觀對(duì)稱性的方法是考察晶體在正交變換的不變性——三維情況下，正交變換的表示——其中矩陣是正交矩陣晶體的宏觀對(duì)稱性的描述——繞z軸轉(zhuǎn)

角的正交矩陣——中心反演的正交矩陣——空間轉(zhuǎn)動(dòng)，矩陣行列式等于＋1——空間轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演，矩陣行列式等于－1對(duì)稱操作——一個(gè)物體在某一個(gè)正交變換下保持不變1立方體的對(duì)稱操作

1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)——9個(gè)對(duì)稱操作——物體的對(duì)稱操作越多，其對(duì)稱性越高——共有6個(gè)對(duì)稱操作（無）2)繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)——8個(gè)對(duì)稱操作（無）3)繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)4)

正交變換——1個(gè)對(duì)稱操作——立方體的對(duì)稱操作共有48個(gè)5)以上24個(gè)對(duì)稱操作加中心反演仍是對(duì)稱操作2正四面體的對(duì)稱操作

四個(gè)原子位于正四面體的四個(gè)頂角上，正四面體的對(duì)稱操作包含在立方體操作之中

——金剛石晶格——共有3個(gè)對(duì)稱操作1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)——8個(gè)對(duì)稱操作2)繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)3)

正交變換——1個(gè)對(duì)稱操作——6個(gè)對(duì)稱操作4)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演——6個(gè)對(duì)稱操作5)繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)加上中心反演——正四面體對(duì)稱操作共有24個(gè)3正六面柱的對(duì)稱操作

1)繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)——5個(gè)——3個(gè)3)繞相對(duì)面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)

——3個(gè)4)

正交變換5)以上12個(gè)對(duì)稱操作加中心反演仍是對(duì)稱操作——正六面柱的對(duì)稱操作有24個(gè)2)繞對(duì)棱中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)

——1個(gè)“對(duì)稱素”——簡(jiǎn)潔明了地概括一個(gè)物體的對(duì)稱性對(duì)稱素——一個(gè)物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)－反演軸一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)加上中心反演的聯(lián)合操作，以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時(shí)——該軸為物體n重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為4對(duì)稱素一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，以及其倍數(shù)不變時(shí)——該軸為物體n重旋轉(zhuǎn)軸，計(jì)為面對(duì)角線為2重軸，計(jì)為2

立方體立方軸為4重軸，計(jì)為4同時(shí)也是4重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為同時(shí)也是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為體對(duì)角線軸為3重軸，計(jì)為3同時(shí)也是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為

正四面體體對(duì)角線軸是3重軸——不是3重旋轉(zhuǎn)－反演軸

立方軸是4重旋轉(zhuǎn)－反演軸——不是4重軸面對(duì)角線是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸——不是2重軸

對(duì)稱素的含義——先繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，再作中心反演A’’點(diǎn)實(shí)際上是A點(diǎn)在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像，表明對(duì)稱素存在一個(gè)對(duì)稱面M——用表示一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱操作群——對(duì)稱素為鏡面5群的概念——群代表一組“元素”的集合，G

{E,A,B,C,D……}

這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，滿足下列性質(zhì)1)

集合G中任意兩個(gè)元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素

——若A,BG,則AB=CG.

叫作群的封閉性2)

存在單位元素E,使得所有元素滿足：AE=A3)對(duì)于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E4)

元素間的“乘法運(yùn)算”滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C正實(shí)數(shù)群——所有正實(shí)數(shù)(0除外)的集合，以普通乘法為運(yùn)算法則整數(shù)群——所有整數(shù)的集合，以加法為運(yùn)算法則——一個(gè)物體全部對(duì)稱操作的集合滿足上述群的定義運(yùn)算法則——連續(xù)操作單位元素

——不動(dòng)操作任意元素的逆元素

——繞轉(zhuǎn)軸角度

，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度－

；中心反演的逆操作仍是中心反演；連續(xù)進(jìn)行A和B操作

——相當(dāng)于C操作A操作——繞OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)

/2——S點(diǎn)轉(zhuǎn)到T’點(diǎn)B操作——繞OC軸轉(zhuǎn)動(dòng)/2——T’點(diǎn)轉(zhuǎn)到S’點(diǎn)S’上述操作中S和O沒動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到S’點(diǎn)

——相當(dāng)于一個(gè)操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動(dòng)2

/3表示為——群的封閉性可以證明——滿足結(jié)合律S’6立方對(duì)稱晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明—1

——X，Y，Z軸分量

——X，Y，Z軸為立方體的三個(gè)立方軸方向假設(shè)電場(chǎng)沿Y軸方向?qū)⒕w和電場(chǎng)同時(shí)繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)

/2轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)施

——電場(chǎng)沒變

——同時(shí)是一個(gè)對(duì)稱操作，晶體轉(zhuǎn)動(dòng)前后沒有任何差別應(yīng)有將晶體和電場(chǎng)同時(shí)繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)

/2假設(shè)電場(chǎng)沿Z軸方向所以

——再取電場(chǎng)方向沿[111]方向——繞[111]軸轉(zhuǎn)動(dòng)2

/3晶體經(jīng)歷的一個(gè)對(duì)稱操作————正四面體晶體上述結(jié)論亦然成立——介電常數(shù)的論證和推導(dǎo)也適合于一切具有二階張量形式的宏觀性質(zhì)：如導(dǎo)電率、熱導(dǎo)率……等立方對(duì)稱晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明—2

設(shè)對(duì)稱操作對(duì)應(yīng)的正交變換且有介電常數(shù)——在坐標(biāo)變換下A為對(duì)稱變換——對(duì)于立方晶體，選取對(duì)稱操作A為繞Z軸旋轉(zhuǎn)

/2代入進(jìn)一步選擇其它的對(duì)稱操作，最后得到對(duì)于n階張量形式的物理量，系數(shù)用n階張量表示在坐標(biāo)變換下如果A為對(duì)稱操作——這樣可以簡(jiǎn)化n階張量§1.6點(diǎn)群

——晶體中原子的周期性排列形成晶體一定的宏觀對(duì)稱性——經(jīng)歷一個(gè)對(duì)稱操作晶體不變，相應(yīng)的布拉伐格子不變描述晶體周期性的布拉伐格子——不同的形式原子排列形成的宏觀對(duì)稱性，對(duì)稱操作也具有一定的限制B點(diǎn)轉(zhuǎn)到B’點(diǎn)——B’點(diǎn)必有一個(gè)格點(diǎn)——繞通過A的轉(zhuǎn)軸的任意對(duì)稱操作，轉(zhuǎn)過角度

A和B兩點(diǎn)等價(jià)——以通過B點(diǎn)的軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過A點(diǎn)轉(zhuǎn)到A’點(diǎn)——A’點(diǎn)必有一個(gè)格點(diǎn)

設(shè)想有一個(gè)對(duì)稱軸垂直于平面，平面內(nèi)晶面的格點(diǎn)可以用來描述且有—n為整數(shù)

晶體點(diǎn)群的構(gòu)成——任何晶體的宏觀對(duì)稱性只能有以下十種對(duì)稱素——長(zhǎng)方形、正三角形、正方形和正六邊形可以在平面內(nèi)周期性重復(fù)排列

十種對(duì)稱素——正五邊形及其它正n邊形則不能作周期性重復(fù)排列點(diǎn)群——以10種對(duì)稱素為基礎(chǔ)組成的對(duì)稱操作群——由對(duì)稱素組合成群時(shí)，對(duì)稱軸的數(shù)目對(duì)稱軸之間的夾角將受到嚴(yán)格的限制兩個(gè)2重軸之間的夾角只能是——如果存在一個(gè)n重軸和與之垂直的二重軸，就一定存在n個(gè)與之垂直的二重軸——連續(xù)進(jìn)行操作AB軸上一點(diǎn)N回到原處，軸2轉(zhuǎn)到2’’的位置2個(gè)二重軸2和2’繞軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)計(jì)為A繞軸2’的轉(zhuǎn)動(dòng)計(jì)為BA和B均為對(duì)稱操作——是對(duì)稱操作——C的操作則是繞NN’軸轉(zhuǎn)過角度2

理論證明由10種對(duì)稱素只能組成32種不同的點(diǎn)群——晶體的宏觀對(duì)稱只有32個(gè)不同類型

——不動(dòng)操作，只含一個(gè)元素，表示沒有任何對(duì)稱性的晶體只包含一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群——4個(gè)

——下標(biāo)表示是幾重旋轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)群雙面群包含一個(gè)n重旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)與之對(duì)應(yīng)的二重軸的點(diǎn)群

——4個(gè)

群只包含旋轉(zhuǎn)反演軸的點(diǎn)群。其中共2個(gè)

群群加上通過n重軸及兩根二重軸角平分線的反演面，共2個(gè)

群群加上中心反演

群群加上反演面

群群加上與n重軸垂直的反演面，共4個(gè)

群群加上含有n重軸的反演面，共4個(gè)

群——正四面體點(diǎn)群,含有24個(gè)對(duì)稱操作

群——立方點(diǎn)群的24個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)操作

群——正四面體點(diǎn)群的12個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)操作

群群加上中心反演

群——立方點(diǎn)群,含有48個(gè)對(duì)稱操作

晶體的宏觀對(duì)稱只有32個(gè)不同類型§1.7晶格的對(duì)稱性

——32種點(diǎn)群描述的晶體對(duì)稱性——對(duì)應(yīng)的只有14種布拉伐格子——分為7個(gè)晶系——單胞的三個(gè)基矢沿晶體的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ面的法向，在一般情況下，它們構(gòu)成斜坐標(biāo)系三個(gè)晶軸之間的夾角

7大晶系的形成

14種布拉伐原胞

1)簡(jiǎn)單三斜2)簡(jiǎn)單單斜3)底心單斜4)簡(jiǎn)單正交5)底心正交6)體心正交7)面心正交8)三角

9)簡(jiǎn)單四方（四角）10)體心四方（四角）

11)六角

12)簡(jiǎn)立方13)體心立方14)面心立方

晶系單胞基矢的特性布拉伐格子所屬點(diǎn)群三斜晶系簡(jiǎn)單三斜單斜晶系簡(jiǎn)單單斜底心單斜

七大晶系的布拉伐格子、晶胞和所屬點(diǎn)群正交晶系簡(jiǎn)單正交底心正交體心正交面心正交三角晶系三角四方晶系簡(jiǎn)單四方體心四方六角晶系六角立方晶系簡(jiǎn)單立方體心立方面心立方7大晶系的形成和轉(zhuǎn)化§1.8晶體表面的幾何結(jié)構(gòu)

——晶體總是存在著表面，認(rèn)識(shí)晶體表面的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步研究晶體表面的性質(zhì)——

垂直于晶體表面的方向?yàn)閆軸，X和Y軸在晶體表面上——

晶體在Z軸方向上的周期性被破壞而在XY平面內(nèi)仍然保持著周期性用二維布拉伐格子來表征晶體表面的空間周期性

二維布拉伐格子——其中