工程力學-材料力學-第11章動量定理(彭俊文)

第11章

動量定理11.1動量與沖量

1.動量質(zhì)點動量是表征質(zhì)點機械運動強度的一種度量，這個量不但與質(zhì)點的速度有關(guān)，而且也與質(zhì)點的慣性有關(guān)。因此質(zhì)點的動量可由質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積來表示，即。動量是矢量，它的方向與質(zhì)點的速度的方向一致。在計算時，可用其在直角坐標軸上的投影來表示，即（11-1）

質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動量的矢量和稱為質(zhì)點系的動量，即

（11-2）

式中的為質(zhì)點系內(nèi)的質(zhì)點數(shù)，為質(zhì)點系內(nèi)第個質(zhì)點的質(zhì)量，為該質(zhì)點的速度。例11-1三物塊用繩相連如圖11-1所示，其質(zhì)量分別為，如繩的質(zhì)量和變形忽略不計，且。求由此三物塊組成的質(zhì)點系的動量。

圖11-1解：三個物體都可視為質(zhì)點，且它們的速度大小都等于。由（11-2）有

采用其投影式有

其方向為

如質(zhì)點系中任一質(zhì)點的矢徑為，其速度為，代入（11-2），則有

上式中的只與質(zhì)點系的質(zhì)量分布有關(guān)。令為質(zhì)點系的質(zhì)量，定義

（11-3）

為質(zhì)點系的質(zhì)量中心（簡稱質(zhì)心）的矢徑。

將（11-3）代入前一式，得

(11-4)

其中的為質(zhì)點系質(zhì)心C的速度。

式（11-4）表明，質(zhì)點系的動量等于其質(zhì)心的速度與其全部質(zhì)量的乘積。

對于質(zhì)量分布均勻的規(guī)則剛體，質(zhì)心也就是幾何中心，用（11-4）計算剛體的動量是非常方便的。

例11-2在圖11-2中，橢圓規(guī)機構(gòu)由均質(zhì)的曲柄OA，規(guī)尺BD及滑塊B和D組成。已知規(guī)尺長，質(zhì)量為；兩滑塊的質(zhì)量都是；曲柄長，質(zhì)量為，并以勻角速度繞定軸O轉(zhuǎn)動。求當曲柄OA與水平線OD成角度的瞬時，（1）曲柄OA的動量；（2）整個系統(tǒng)的動量。圖11-2

解：（1）曲柄OA的質(zhì)心在它的中點E，所以它的動量大小為

其方向和E點的速度一致，垂直于OA，如圖（b）所示。

（2）整個機構(gòu)分為曲柄OA，規(guī)尺BD，滑塊B和D四部分，系統(tǒng)的動量為各部分動量的矢量和?？上惹蟪龈鞑糠值膭恿亢螅偾笫噶亢汀５且?guī)尺和兩個滑塊構(gòu)成的系統(tǒng)的質(zhì)心在A點，因此可合起來計算，其大小為其方向同A點的速度方向一致，如圖(b)所示。再將求得的動量計算矢量和，可知系統(tǒng)的動量大小為方向同A點和E點的速度方向一致。

2.沖量

力對物體作用的運動效應(yīng)不僅取決于力的大小和方向，而且和該力所作用的時間有關(guān)，因此將力在一段時間間隔內(nèi)的累積效應(yīng)稱為力的沖量。

如果作用力為常力，作用時間為，則力與時間的乘積即為力在時間間隔內(nèi)的沖量，其表達式為

（11-5）

沖量是矢量，其方向同力的方向相同。如果作用力為變力，在無窮小的時間間隔內(nèi)，力可以看作是常量，在內(nèi)的沖量稱為元沖量，即

于是在時間間隔內(nèi)力的沖量為（11-6）

在具體計算時，常采用投影式。沖量在直角坐標軸上的投影為（11-7）

11.2動量定理1.質(zhì)點的動量定理

設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為，作用力的合力為。牛頓第二定律可寫為

（11-8）

即質(zhì)點的動量對時間的一階導數(shù)等于作用在該質(zhì)點上的力，這就是微分形式的質(zhì)點的動量定理。式（11-8）也可寫為（11-9）

即質(zhì)點動量的微分，等于作用與質(zhì)點上的力的元沖量。將（11-9）積分，積分的上、下限取時間由0到，速度由到得(11-10)

即質(zhì)點的動量在任一時間內(nèi)的變化，等于在同一時間內(nèi)作用在該質(zhì)點上的力的沖量，這就是積分形式的質(zhì)點的動量定理。

2.質(zhì)點系的動量定理設(shè)質(zhì)點系有個質(zhì)點，第個質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為；外界物體對該質(zhì)點作用的力表示為，稱為外力，質(zhì)點系內(nèi)其它質(zhì)點對該質(zhì)點的作用力表示為，稱為內(nèi)力。由質(zhì)點的動量定理有對于質(zhì)點系內(nèi)每一個質(zhì)點都可寫出這樣一個方程，將這樣的個方程相加，得

上式中的即質(zhì)點系的動量；為作用于質(zhì)點系上外力的矢量和（外力系的主矢）；由于質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點相互作用的內(nèi)力總是大小相等、方向相反地成對出現(xiàn)，相互抵消，因此內(nèi)力的矢量和（內(nèi)力系的主矢）恒等于零，即于是上式簡化為（11-11）

即質(zhì)點系的動量對時間的一階導數(shù)等于作用在該質(zhì)點系上所有外力的矢量和(外力的主矢)，這就是微分形式的質(zhì)點系動量定理。在具體計算時，常采用其投影式。如投影到直角坐標軸上有（11-12）將（11-11）的兩邊同乘以，并在時間間隔到內(nèi)積分，可得（11-13）

即質(zhì)點系的動量在任一時間間隔內(nèi)的變化，等于在同一時間間隔內(nèi)作用在該質(zhì)點系衫所有外力的沖量的矢量和，這就是積分形式的質(zhì)點系動量定理，又稱沖量定理。

將式（11-13）投影在直角坐標軸上有（11-14）

由質(zhì)點系動量定理可見，質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量。

質(zhì)點系的動量定理不包含內(nèi)力，適于求解質(zhì)點系內(nèi)部相互作用復雜或中間過程復雜的問題，如流體在管道中或葉片上的流動、射流對障礙面的壓力及碰撞問題等。

例11-3設(shè)有一不可壓縮的理想流體，即忽略內(nèi)摩擦力的流體，在變截面管內(nèi)作定常流動，即流體速度在管內(nèi)的分布不隨時間而變，流體的密度為，體積流量即單位時間內(nèi)流經(jīng)管道某截面的流體體積為；求管壁所受的動壓力。

解：取管道中AB和CD任意兩個截面中間的流體為一質(zhì)點系（如圖11-3），設(shè)經(jīng)過時間，ABCD內(nèi)的流體流至abcd位置，則動量的變化等于abcd內(nèi)的流體動量與ABCD內(nèi)的流體動量之差圖11-3

由于流動是定常的，所以公共容積abCD內(nèi)的流體在前后它的動量保持不變，故流體動量的變化等于CDcd內(nèi)的流體動量與ABab內(nèi)的流體動量之差。這兩部分流體的質(zhì)量都等于，因此若以、代表截面AB和CD處的流速，則在時間內(nèi)動量的變化等于上式兩端同除以，有

作用于質(zhì)點系的外力有重力、管壁動反力和截面AB和CD處所受相鄰流體的壓力與。根據(jù)質(zhì)點系的動量定理，可得這就是歐拉方程

則管壁動反力

而流體對管壁的動壓力與大小相等、方向相反。

管壁動反力可分為兩部分。一部分為流體的重力以及截面AB和CD處所受相鄰流體的壓力所引起的反力，以表示；一部分為流體流動時其動量的變化引起的附加反力，以表示。顯然應(yīng)為對于不可壓縮的流體作定常流動時，密度和體積流量均為常量，且有

其中的和分別表示管中任意截面的面積和流速。因此，在已知流速（或流量）及曲管尺寸后，即可求出附加動反力。流體對管壁的附加動壓力的大小等于此附加動反力，但方向相反。在應(yīng)用前面的公式進行具體計算時，應(yīng)取其投影式。例11-4已知液體在直角彎管ABCD中作穩(wěn)定流動（如圖11-4），流量為，密度為，AB端流入截面的直徑為，另一端CD流出截面的直徑為。求液體對管壁的附加動壓力。

解：取ABCD一段液體為研究對象，設(shè)流出、流入的速度大小為和，則

建立圖11-4圖示坐標系，則附加動反力在、軸上的投影為這是管壁對研究對象的反力中的附加動反力，方向如圖；作用在管壁上的附加動壓力的大小與它相等，方向相反。例11-5電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為，如圖11-5所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心到的距離為。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，角速度為。求基礎(chǔ)的支座反力。

圖11-5解：取電動機外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點系，用質(zhì)點系動量定理可不考慮使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的內(nèi)力；對質(zhì)點系進行受力分析如圖11-5。機殼不動，質(zhì)點系的動量就是轉(zhuǎn)子的動量，其大小為

方向如圖

設(shè)時，鉛垂，有。由動量定理微分形式的投影式得將代入上式，解出基礎(chǔ)的反力為

電機不轉(zhuǎn)時，基礎(chǔ)只有向上的反力，可稱為靜反力；電機轉(zhuǎn)動時的基礎(chǔ)反力可稱為動反力。動反力與靜反力的差值是由于系統(tǒng)運動而產(chǎn)生的，可稱為附加的動反力。此例中，由于轉(zhuǎn)子偏心而引起的和方向的附加動反力都是諧變力，將引起電機和基礎(chǔ)的振動。

3.質(zhì)點系動量守恒定律

如果作用于質(zhì)點系的外力的主矢恒等于零，根據(jù)式（11-11）或（11-13），質(zhì)點系的動量保持不變，即=恒矢量

如果作用于質(zhì)點系的外力主矢在某一坐標軸上的投影恒等于零，則根據(jù)式（11-12）或（11-14），質(zhì)點系的動量在該坐標軸上的投影保持不變。例如則

=恒量

以上結(jié)論稱為質(zhì)點系動量守恒定律。

由質(zhì)點系動量定理可知，只有作用于質(zhì)點系上的外力才能改變質(zhì)點系的動量。作用于質(zhì)點系上的內(nèi)力雖不能改變整個系統(tǒng)的動量，卻能改變質(zhì)點系內(nèi)各部分的動量。例如炮彈發(fā)射前，將炮筒和炮彈看成一個質(zhì)點系，此時的質(zhì)點系動量為零；發(fā)射時，彈藥爆炸產(chǎn)生的氣體壓力為內(nèi)力，它使炮彈獲得一個向前的動量，同時也使炮筒獲得一同樣大小的向后的動量。這就是反座現(xiàn)象。

例11-6平臺車質(zhì)量kg，可沿水平軌道運動。平臺車上站有一人，質(zhì)量kg，車與人以共同速度向右運動。如人相對于平臺車以速度m/s向左方跳出，不計平臺車水平方向的阻力及摩擦，問平臺車增加的速度為多少？

解：取平臺車和人為研究對象，在不計阻力和摩擦情況下，系統(tǒng)水平方向不受外力的作用，因此系統(tǒng)沿水平方向動量守恒。人在跳出平臺車前系統(tǒng)的動量在水平方向的投影為設(shè)在人跳離平臺車后的瞬間，平臺車的速度大小為，則平臺車和人的動量在水平方向上的投影分別為

根據(jù)動量守恒條件，有

解得

所以平臺車增加的速度大小為

在應(yīng)用動量守恒方程時，應(yīng)注意方程中所用的速度必須是絕對速度；要確定一個正方向，嚴格按動量投影的正負號去計算。

11.3質(zhì)心運動定理1.質(zhì)量中心設(shè)有個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系，其中任一質(zhì)點的質(zhì)量為，矢徑為，各質(zhì)點的質(zhì)量和是整個質(zhì)點系的質(zhì)量，由式（11-3）即所確定的幾何點稱為質(zhì)點系的質(zhì)量中心（簡稱質(zhì)心）。

在具體計算時，利用上式的投影式，即

（11-15）

質(zhì)心是質(zhì)點系中特定的一個點，質(zhì)點系運動，質(zhì)心一般也在運動。由式（11-4），即可知，

如果把質(zhì)點系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心做為一個質(zhì)點，那么此質(zhì)點的動量就等于質(zhì)點系的動量。若將式（11-15）中各式等號右邊的分子與分母同乘以重力加速度g，就變成重心的坐標公式?？梢?，在均勻重力場內(nèi)，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心重合。但是應(yīng)當注意，質(zhì)心和重心是兩個完全不同的概念。重心是質(zhì)點系各質(zhì)點所受的重力組成的平行力系的中心，物體離開重力場，重心失去意義；質(zhì)心是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個幾何點，與作用力無關(guān)，無論質(zhì)點系是否在重力場中，質(zhì)心總是存在。對于由幾個形狀簡單的剛體組成的質(zhì)點系，可把每個剛體看成一個質(zhì)點，質(zhì)量位于其質(zhì)心處，利用式（11-15）計算整個質(zhì)點系質(zhì)心的位置。

解：設(shè)時OA桿水平，則有。將系統(tǒng)看成是由3個質(zhì)點組成，分別位于OA桿的中點，AB桿的中點和B點。由式（11-15），系統(tǒng)質(zhì)心的坐標為例11-7圖11-6的曲柄滑塊機構(gòu)中，設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動，滑塊B沿軸滑動。若OA=AB=，OA及AB都為均質(zhì)桿，質(zhì)量都為，滑塊B的質(zhì)量為。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡及此系統(tǒng)的動量。圖11-6上式即系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。由上二式消去時間，得即質(zhì)心C的運動軌跡為一橢圓，如圖中虛線所示。應(yīng)該指出，系統(tǒng)的質(zhì)心一般不在某一物體上，而是空間的某一特定點。為求系統(tǒng)的動量，利用式（11-4）的投影式有系統(tǒng)的動量大小為

方向沿質(zhì)心軌跡的切線方向，可用其方向余弦表示。此題也可逐個計算每個剛體的動量，然后在求其矢量和。2.質(zhì)心運動定理

將式（11-4）兩端對時間求一階導數(shù)，并根據(jù)質(zhì)點系的動量定理，則得（11-16）

上式表明：質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點系所受外力的矢量和（外力系的主矢），這就是質(zhì)心運動定理。

在形式上，質(zhì)心運動定理和牛頓第二定律完全相同?？梢?，質(zhì)點系質(zhì)心這個幾何點的運動猶如一個質(zhì)點的運動，該質(zhì)點的質(zhì)量等于整個質(zhì)點系的質(zhì)量，而作用于其上的力等于作用在整個質(zhì)點系上所有外力的矢量和。

在具體計算時，采用投影式，如質(zhì)心運動定理在直角坐標軸和自然軸上的投影分別為（11-17）

（11-18）

質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表達形式，在理論上也有重要意義。運動學中指出平動剛體可抽象為一個點來研究，現(xiàn)在定理告訴我們這個點應(yīng)是質(zhì)心。當質(zhì)點系尤其是剛體作一般運動時，其運動總可分解為隨質(zhì)心的平動和相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，應(yīng)用質(zhì)心運動定理如能求出質(zhì)心的運動，也就確定了質(zhì)點系或剛體的隨質(zhì)心的平動。質(zhì)心運動定理對那些質(zhì)心運動已知的質(zhì)點系特別有用，因為定理中不包括內(nèi)力，可直接去求作用于質(zhì)點系上的未知外力；反之，若已知外力，則可求質(zhì)心的運動規(guī)律

解：取OA桿為分析對象，作用于OA上的外力有O軸處的約束反力、和重力。OA桿均質(zhì)，質(zhì)心位于桿的中點C。C點具有切向加速度和法向加速度。大小分別為，。由質(zhì)心運動定理在、軸上的投影式有例11-8重為、長為的均質(zhì)桿OA繞定軸O轉(zhuǎn)動，設(shè)在圖示瞬時的角速度為，角加速度為，求此時軸O對桿的約束反力。圖11-7解得：例11-9用質(zhì)心運動定理求解例11-5。解：取電動機外殼與轉(zhuǎn)子組成的質(zhì)點系，其受力圖如圖11-5。在選定的坐標系下，定子的質(zhì)心的坐標為，；轉(zhuǎn)子的質(zhì)心的坐標為，，由式（11-15）可知質(zhì)點系的質(zhì)心C的坐標為由，并將上兩式對時間求二階導數(shù)，可得質(zhì)心C的加速度在坐標軸上的投影為

由質(zhì)心運動定理，有解得3.質(zhì)心運動守恒定律

由質(zhì)心運動定理可知，若質(zhì)點系不受外力作用，或作用于質(zhì)點系的所有外力的主矢恒等于零，即，則=常矢量，這表明質(zhì)心處于靜止或作勻速直線運動。

如果所有作用于質(zhì)點系的外力在軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即，則=常量，這表明質(zhì)心的橫坐標不變或質(zhì)心沿軸的運動是均勻的。以上結(jié)論，稱為質(zhì)心運動守恒定律。

對質(zhì)點系在內(nèi)力作用下求位移的問題，應(yīng)用質(zhì)心守恒條件求解很方便。例11-10圖示水平面上放一均質(zhì)三棱柱A，在其斜面上又放一均質(zhì)三棱柱B。兩三棱柱的橫截面均為直角三角形。A的質(zhì)量為B的質(zhì)量