新課標高中必修數(shù)學二：向量的翻轉(zhuǎn)讓你輕松化解難題

第頁共頁新課標高中必修數(shù)學二：向量的翻轉(zhuǎn)，讓你輕松化解難題讓你輕松化解難題在高中數(shù)學的學習中，向量一直以來都是比較難以掌握的一個概念，其理論性較強，計算方法也相對抽象。而在新課標中，向量的翻轉(zhuǎn)是一個相對比較簡單而實用的概念，通過翻轉(zhuǎn)向量可以輕松地解決一些問題。翻轉(zhuǎn)向量的概念向量是一個具有大小和方向的量，它不僅可以作為數(shù)學研究中的一個重要工具，也是生活中許多物理問題的基礎。而翻轉(zhuǎn)向量的概念就是將向量的方向翻轉(zhuǎn)180度，即將其取反。如下圖所示，向量$\vec{AB}$翻轉(zhuǎn)之后變成了向量$\vec{BA}$。向量的翻轉(zhuǎn)與數(shù)學問題向量的翻轉(zhuǎn)在解決一些數(shù)學問題中是十分方便和實用的。例如在解決幾何問題中，我們有時需要求兩條直線的夾角，而兩條直線的夾角可以通過兩個向量的夾角來求。而有時候兩條直線的夾角比較難以計算，此時我們可以通過翻轉(zhuǎn)其中一個向量來求取兩個向量的夾角，如下圖所示：在圖中，我們要求的是向量$\vec{a}$和向量$\vec$的夾角，但我么需要知道向量$\vec{a}$和$\vec$的方向，而這兩個向量的方向是相對的，如果我們將其中一個向量$\vec$取反，則向量$\vec{a}$與向量$-\vec$的夾角就等于向量$\vec{a}$與向量$\vec$的夾角了。向量的翻轉(zhuǎn)還可以在求兩個向量的和、差或點積時使用。例如，兩個向量的差可以通過翻轉(zhuǎn)其中一個向量再相加來求取，如下圖所示：在圖中，向量$\vec{BA}$可以通過向量$\vec{AB}$翻轉(zhuǎn)180度得到，此時向量$\vec{BA}$即為$-\vec{AB}$，所以向量$\vec{BA}$和向量$\vec{AC}$的和就可以寫成向量$\vec{AB}$和翻轉(zhuǎn)的向量$-\vec{AB}$的和了。除此之外，向量的翻轉(zhuǎn)在幾何圖形的對稱問題中也十分常見，例如平面上的對稱圖形有時需要進行翻轉(zhuǎn)操作，從而得到一個新的圖形，我們可以將這個翻轉(zhuǎn)操作看成對某個向量進行翻轉(zhuǎn)操作。再比如，在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像也可以通過進行翻轉(zhuǎn)操作來獲得。練習題現(xiàn)在，我們來做一個練習題，看看是否能夠熟練地使用向量的翻轉(zhuǎn)。已知向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$，求向量$\vec{c}=\vec{a}-\vec$和向量$\vecn5rkigh=\vec{c}+\vec$。解法：向量$\vec{c}$可以用向量$\vec$翻轉(zhuǎn)再相加的方法來求，即:$$\vec{c}=\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec)$$將向量$\vec$的坐標取相反數(shù)，則$-\vec=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$，所以$\vec{c}=\vec{a}+(-\vec)=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$向量$\vec1vo5vos$可以直接用向量$\vec{c}$和向量$\vec$的和來求，即：$$\vecvmq54nq=\vec{c}+\vec=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\vec{a}$$所以，向量$\vec{c}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$，向量$\vecm4ktxaz=\vec{a}=\begin{pmatrix}-1\\2\e