復(fù)變函數(shù)第四版習(xí)題課

1一、重點與難點重點：難點：1.復(fù)數(shù)運算和各種表示法2.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念1.復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射的概念2二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運算乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)平面擴充曲線與區(qū)域判別定理極限的計算3

1.復(fù)數(shù)的概念41)兩復(fù)數(shù)的和2)兩復(fù)數(shù)的積3)兩復(fù)數(shù)的商2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算54)共軛復(fù)數(shù)實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)63.復(fù)數(shù)的其它表示法（1）幾何表示法7（2）向量表示法復(fù)數(shù)的模(或絕對值)8模的性質(zhì)三角不等式復(fù)數(shù)的輻角9輻角的主值10（3）三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成稱為復(fù)數(shù)z的指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法利用直角坐標與極坐標的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成114.復(fù)數(shù)的乘冪與方根1)乘積與商兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.則有12

幾何意義復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為13兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.則有142)冪與根(a)n次冪:15

(b)棣莫佛公式165.復(fù)球面與擴充復(fù)平面南極、北極的定義(1)復(fù)球面17球面上的點,除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠點相對應(yīng),記作.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.球面上的每一個點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.復(fù)球面的定義18包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面.不包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.對于復(fù)數(shù)

來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.(2)擴充復(fù)平面的定義196.曲線與區(qū)域（1）鄰域（2）內(nèi)點20如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末G稱為開集.(4)區(qū)域如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(a)D是一個開集；(b)D是連通的,即D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.(3)開集21(5)邊界點、邊界

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點,這樣的P點我們稱為D的邊界點.(7)有界區(qū)域和無界區(qū)域D的所有邊界點組成D的邊界.(6)區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域.

閉區(qū)域

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沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).(8)簡單曲線23(9)光滑曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集.簡單閉曲線的性質(zhì)24(10)單連通域與多連通域復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.

從幾何上看，單連通域就是無洞、無割痕的域.257.復(fù)變函數(shù)的概念(1)復(fù)變函數(shù)的定義26(2)映射的定義27函數(shù)極限的定義注意:

8.復(fù)變函數(shù)的極限28極限計算的定理29與實變函數(shù)的極限運算法則類似.極限運算法則30（1）連續(xù)的定義

9.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性31連續(xù)的充要條件連續(xù)的性質(zhì)32有理整函數(shù)(多項式)有理分式函數(shù)特殊的:在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點也是連續(xù)的.33三、典型例題3435

其幾何意義是三角形任意一邊的長不小于其它兩邊邊長之差的絕對值.3637解38解39解40例6滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解41

是以為焦點,以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因為圖中解解在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.42例7函數(shù)將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)43解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.放映結(jié)束，按Esc退出.44例8解45例9證46兩邊平方,并化簡得下面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.47例10證48兩邊同時平方,49例11解故原方程可寫成50故原方程的根為51例12證利用復(fù)數(shù)