多元函數(shù)積分學(xué)期末復(fù)習(xí)(考點(diǎn))

一、二重積分二、三重積分三、曲線積分多元函數(shù)積分學(xué)四、曲面積分一、二重積分的概念和性質(zhì)

1．定義：

2．幾何意義：

表示曲頂柱體的體積性質(zhì)：線性性質(zhì)；可加性；

單調(diào)性；

若估值性質(zhì)：中值定理：則至少存在一點(diǎn),使得設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)域上連續(xù),則積分中值定理二、二重積分的計(jì)算方法

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算（1）X-型區(qū)域：

.(2)過任一x∈[a,b],作垂直于

x軸的直線穿過D的內(nèi)部從D的下邊界曲線穿入—內(nèi)層積分的下限從D的上邊界曲線穿出—內(nèi)層積分的上限(1)確定積分區(qū)域D在x軸上的投影[a,b]定限步驟：（2）Y-型區(qū)域：

2．利用極坐標(biāo)計(jì)算

(2)從D的邊界曲線

穿入,從

穿出(1)確定D夾在哪兩條射線之間，定出定限步驟：過極點(diǎn)作一極角為的射線常見計(jì)算類型1.選擇積分順序原則：①能積分，②少分塊解原式＝

解：2.交換積分順序根據(jù)給出的積分上下限定出積分區(qū)域3.利用對稱性簡化計(jì)算要兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用（1）若D關(guān)于x

軸對稱，則當(dāng)f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)，當(dāng)f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)，（2）若D關(guān)于y

軸對稱，則當(dāng)f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)，例.

將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。1）4）4.極坐標(biāo)系下二重積分的定限2）3）分析由于被積函數(shù)中含有絕對值,所以應(yīng)首先在給定的積分區(qū)域內(nèi),求出的解析表達(dá)式，即去掉絕對值。5.其它三、三重積分的計(jì)算方法

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算

“坐標(biāo)面投影”法

確定在xoy面上的投影區(qū)域D(1)定限步驟：作垂直于xoy面的直線，從曲面穿入，從曲面穿出，(2)三、三重積分的計(jì)算方法（坐標(biāo)面投影法）

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算

(1)投影求積分域

在xOy

面上的投影區(qū)域Dxy;(2)定限x

yzOS2S1Dxy

z1(x,y)z2(穿越法)步驟：其中

為三個(gè)坐標(biāo)例.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面解:1o投影消去z2o定限yOx–112o定限2．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算計(jì)算方法：三重積分的投影方法結(jié)合二重積分的極坐標(biāo)運(yùn)算其中

為由例2.計(jì)算三重積分所圍解:及平面柱面成半圓柱體.OxyDxy：解：

1、體積四、幾何應(yīng)用

若曲面方程為：曲面S的面積為2、曲面面積解：

例.計(jì)算雙曲拋物面被柱面解:

曲面在

xOy

面上投影為則所截出的面積A.注：常用二次曲面旋轉(zhuǎn)拋物面:錐面:球面橢球面橢圓拋物面:柱面:(方程中缺少某一變量)(1)對光滑曲線弧第十一章曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分(化為定積分計(jì)算）則定限1.基本計(jì)算方法?對有向光滑弧二、對坐標(biāo)的曲線積分(化為定積分)?對有向光滑弧解2.利用格林公式（必要時(shí)可作輔助線）3.利用積分與路徑無關(guān)（取折線）例解LyxOLyxO例、解

設(shè)則三、對面積的曲面積分(化為二重積分）四、對坐標(biāo)的曲面積分

???1、基本計(jì)算方法(化為二重積分)：一代、二投、三定號上正下負(fù)前正后負(fù)右正左負(fù)小結(jié):要點(diǎn)為：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)將積分曲面投影到與面積元素（如dxdy）同名的坐標(biāo)面上（如xoy

面）由曲面的側(cè)確定二重積分的正負(fù)號一代、二投、三定號曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正注:積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，再講結(jié)果相加曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)代: