方程的導出定解條件

《數(shù)學物理方程》希爾伯特&柯朗合編巨著：《數(shù)學物理方法》Hilbert的博士宣誓儀式，校長主持：“我莊嚴的要你回答，宣誓是否能使你用真誠的良心承擔如下的許諾和保證：你將勇敢的去捍衛(wèi)真正的科學，將其開拓，為之添彩；既不為厚祿所驅，也不為虛名所趕，只求上帝真理的神輝普照大地，發(fā)揚光大。”Hilbert：我們必須知道，我們必將知道。1.弦振動方程的導出（達朗貝爾）§1方程的導出、定解條件*歷史背景：弦的振動為何能產(chǎn)生動聽的音樂。福州大學數(shù)學與計算機科學學院－江飛:jiangfei0591@163.com*物理模型：給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，其長度為，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動。*理想化假設（抓住本質特征，夠用即可）：還有一種假設是“缺啥補啥”。１.弦是均勻的，并視為一條曲線，線密度為常數(shù)。２.弦在某平面內作微小橫振動。３.弦是柔軟的，在形變時不抵抗彎曲。各質點的張力方向與弦的切線方向一致，且弦的伸長變形與張力的關系服從虎克定律。均勻、柔軟且在平面內小振動的弦，點上張力方向與切線方向一致，且張力大小與伸長形變滿足胡克定律。*物理守恒律（轉化方程等式）：牛頓第二定律：或沖量定理：教材采用*目標函數(shù)：弦上質點相對于平衡位置的位移時刻示意圖（１）取一弦段,它的弧長為考慮到是小振動，故可忽略二階小項，即得這樣，可認為弦在振動過程中并未伸長。由胡克定律知，弦上每點所受的張力大小與時間無關。時刻示意圖下面我們推導弦振動方程，先考慮無外力情況：其中（2）設點處張力為由于弦只在軸的垂直方向作橫振動，所以水平方向的合力為零，即方向與該點的切線方向一致。負號表示與坐標軸方向相反記

由于小振動，故即知負號表示與坐標軸方向相反記

（3）張力在軸方向上的合力為：記

則在時間段中該合力產(chǎn)生的沖量為：在時間段內弦段的受到的沖量為：（4）另一方面，在時刻及時刻弦段的動量分別為故在時間段內弦段的動量變化為（5）由沖量定理，可得（6）化成微分形式：利用N-L公式，可得由的任意性，知被積函數(shù)必須為零，即其中波速（7）有外力情況：假定有垂直于軸方向的外力存在，并設其線密度為，它在時間段內的沖量為于是有無外力的弦振動方程（1D波動方程）：則弦段上的外力為仍有的任意性，知表示單位質量在每點處所受的外力

弦振動方程描述的是弦作微小橫振動時的位移函數(shù)所應滿足的一般性規(guī)律。由于弦的運動還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關系，因此還需要結合實際問題附加某些特定條件。進一步推廣到高維情況：薄膜振動：電磁波、聲波的傳播：2.定解條件偏微分方程（PDE），或稱泛定方程（a）第一類邊界條件（狄利克雷邊界條件）:*初始條件：設弦在初始時刻時的位置和速度為*邊界條件（注意該提法的物理背景）：在前面的推導中，弦的兩端被固定在和兩點，即（b）第二類邊界條件（諾伊曼邊界條件）:設弦的一端處于自由狀態(tài)，即可以在垂直于軸的直線上自由滑動，且未受到垂直方向的外力。由于在邊界右端的張力的垂直方向分量是，于是邊界處應有

也可考慮更一般非零情況。*把泛定方程和定解條件結合起來，就得到了與實際問題相對應的定解問題，比如弦的一端處于固定在伸縮符合胡克定律的彈性支承上，如果支承的初始位置為，那么在端點的

值表示支承的伸長量，于是其中為彈性系數(shù)?？苫癁槠渲?。也可進一步考慮一般非零情況。（c）第三類邊界條件（混合邊界條件）*邊界條件與初始條件總稱為定解條件。黑點受到的張力在垂直方向的分量形成對彈簧的牽引力。注意形狀對于弦振動方程而言，與上述定解條件（以第一類邊界為例）結合后，其定解問題可以描述為：要在區(qū)域上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)，它在區(qū)域中滿足波動方程(1.1)；在軸上的區(qū)間[0,l]上滿足初始條件(1.2)；并在邊界和上滿足邊界條件(1.3)。*階：PDE所含有的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)。比如3.偏微分方程的分類*線性與非線性：為二階PDE。（1）線性方程：方程對于未知函數(shù)及其各階導數(shù)總體來說是線性的。比如（2）非線性方程：（b）完全非線性方程：方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)不是線性的方程。比如（a）擬線性方程：方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)總體來說是線性的方程。比如*齊次性：（b）邊界條件和初始條件也有齊次和非齊次之分。（a）泛定方程的齊次性：以方程為例，函數(shù)與未知函數(shù)無關（自由項），若該項恒為零，則該方程為齊次方程。反之，為非齊次方程。4.定解問題適定性概念*定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。如果一個定解問題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，我們就稱這個問題是適定的。*解的存在性：定解問題的解是否一定存在？*解的唯一性：定解問題的解是否只有一個？*解的穩(wěn)定性：當定解