第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

§1復(fù)數(shù)§2復(fù)平面上的點(diǎn)集§3復(fù)變函數(shù)§4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、概念：§1復(fù)數(shù)（1）復(fù)數(shù)：或其中是任意實(shí)數(shù)，為虛單位且。

實(shí)部：虛部：（2）純虛數(shù)：即。特別。（3）共軛復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)和稱為互為共軛復(fù)數(shù)。注：復(fù)數(shù)不能比較大小。（4）復(fù)數(shù)相等：實(shí)部和虛部分別相等的兩復(fù)數(shù)。（5）復(fù)數(shù)的運(yùn)算：，

和、差：積：性質(zhì)商：若復(fù)數(shù)滿足，則稱為與的商。記為：。（1）交換律：，（2）結(jié)合律：（3）分配律：（4）例1設(shè)，求Re(z)，Im(z)。例2設(shè)為任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明：例3設(shè)，求與。二、復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)平面：看作平面上坐標(biāo)為的點(diǎn)，軸為實(shí)軸，軸為虛軸，兩軸所在平面，稱為復(fù)平面?！皵?shù)”與“點(diǎn)”一一對(duì)應(yīng)，故今后常稱為“點(diǎn)”。復(fù)數(shù)的向量表示：復(fù)數(shù)可用從原點(diǎn)到點(diǎn)的向量表示，記為。復(fù)數(shù)的模：輻角：實(shí)軸正向到的夾角，稱為的輻角，記作Argz。（0的輻角是什么？）

輻角主值：的全部輻角中，在上的一個(gè)，稱為Argz的主值，記為argz。

復(fù)數(shù)的三角表示：利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系得復(fù)數(shù)的指數(shù)表示：利用Euler公式：得例1證明：例2將化為三角表示和指數(shù)表示。例3將化為三角表示和指數(shù)表示。例4將直線方程化為復(fù)數(shù)表示。例5求下列方程所表示的曲線：（1）（2）注意：三、

復(fù)數(shù)的乘冪與方根1、乘積與商設(shè)，

則結(jié)論：（1）（2）2、冪與方根冪：設(shè)，則的n次冪。

DeMoivre公式：特別時(shí)，方根：求的n次方根，相當(dāng)于求方程：的根。

當(dāng)時(shí)得到n個(gè)相異的根：例1：求與的值。幾何意義：的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。例2:設(shè)及是兩個(gè)復(fù)數(shù),試證1、區(qū)域的概念§2復(fù)平面上的點(diǎn)集鄰域：

的鄰域?yàn)槿バ泥徲颍旱娜バ泥徲驗(yàn)殚_集：G為一平面點(diǎn)集，，若存在的一個(gè)鄰域使，則稱為G的內(nèi)點(diǎn)。若G的每個(gè)點(diǎn)均為它的內(nèi)點(diǎn)，則稱G為開集。區(qū)域：若平面點(diǎn)集D是一個(gè)開集，且是連通的，則稱D為一個(gè)區(qū)域。連通性：平面點(diǎn)集D中任兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，稱D具有連通性。

區(qū)域

區(qū)域

區(qū)域

不是區(qū)域

區(qū)域的邊界={邊界點(diǎn)}閉區(qū)域=區(qū)域+邊界聚點(diǎn)：區(qū)域分類：有界區(qū)域、無界區(qū)域。邊界點(diǎn)：但的任意鄰域內(nèi)均有D的點(diǎn)，則稱為平面點(diǎn)集D的邊界點(diǎn)。2、單連通區(qū)域與多連通區(qū)域單連域：若區(qū)域G內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線（無重點(diǎn)的曲線或約當(dāng)曲線）的內(nèi)部均屬于G，則稱G為連區(qū)域。單連域多連域多連域3、約當(dāng)(Jordan)曲線定義：設(shè)及是兩個(gè)實(shí)函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，則由方程組或由復(fù)數(shù)方程（簡(jiǎn)記為），稱為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線．無重點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為簡(jiǎn)單曲線或Jordon曲線．定義：設(shè)連續(xù)曲線弧AB的參數(shù)方程為任取實(shí)數(shù)列：，將AB弧上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列，用一條折線連接起來，它的長(zhǎng)度如果對(duì)所有的數(shù)列都有上界，則AB弧稱為可求長(zhǎng)的，上確界稱為AB弧的長(zhǎng)度．定義：設(shè)簡(jiǎn)單曲線C的參數(shù)方程為而且不全為零，則稱C為光滑曲線．由有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線．注意：逐段光滑曲線必是可求長(zhǎng)曲線，但簡(jiǎn)單曲線卻不一定可求長(zhǎng)．如曲線定理：（Jordon定理）任一簡(jiǎn)單閉曲線Ｃ將Ｚ平面唯一的分成三個(gè)點(diǎn)集，它們具有以下的性質(zhì)：（１）彼此不相交；（２）是一個(gè)有界區(qū)域（稱為Ｃ的內(nèi)部）；（３）是一個(gè)無界區(qū)域（稱為Ｃ的外部）；（４）若簡(jiǎn)單折線Ｐ的一個(gè)端點(diǎn)屬于，另一個(gè)端點(diǎn)屬于，則Ｐ必與Ｃ有交點(diǎn)．1、復(fù)變函數(shù)單值函數(shù)、多值函數(shù)、定義域§3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)定義：設(shè)G為一復(fù)數(shù)集，若按一確定法則，對(duì)G中每一個(gè)復(fù)數(shù)，有一個(gè)復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱在G上確定了一個(gè)復(fù)變函數(shù)。zw=u+iv例:均為的單值函數(shù).及均為的多值函數(shù)。注意：復(fù)變函數(shù)不像實(shí)變函數(shù)，可以用圖形直觀的表示函數(shù)。映射:復(fù)變函數(shù)給出了從平面上的點(diǎn)集E到平面上的點(diǎn)集F間的一個(gè)對(duì)應(yīng)(映射或變換).點(diǎn)稱為點(diǎn)的象點(diǎn),而點(diǎn)稱為點(diǎn)的原象.定義:對(duì)z平面上任意，有平面上點(diǎn)集F的點(diǎn)，使，則稱把E變?nèi)隖（簡(jiǎn)記為)，或稱是E到F的入變換.定義:如果，且對(duì)任意有使，則稱把E變成F(簡(jiǎn)記為)，或稱是E到F的滿映射.定義:若是點(diǎn)集E到F的滿變換，且對(duì)F中的每一點(diǎn)，在E中有一個(gè)(或至少有兩個(gè))點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，則在F上確定了一個(gè)單值(或多值)函數(shù)，記為，稱之為的反函數(shù)或變換的逆變換。例:設(shè)函數(shù)，試問它將z平面上的下列曲線分別變成w平面上的何種曲線？（１）以原點(diǎn)為心，２為半徑，在第一象限的圓?。唬ǎ玻﹥A角的直線（可看為兩條射線和）。2、復(fù)變函數(shù)的極限極限：設(shè)函數(shù)定義在的去心鄰域內(nèi)。若有一確定的A，使當(dāng)時(shí)有。則稱A為當(dāng)趨于時(shí)的極限，記為。注意：（1）當(dāng)進(jìn)入的充分小的鄰域時(shí)，就落入A的一預(yù)先給定的-鄰域內(nèi)。（2）的路徑和方向是任意的。注：此定理將復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為二元實(shí)變函數(shù)的極限問題。定理1設(shè)則的充要條件是：性質(zhì)3、函數(shù)的連續(xù)性定義：若，則稱函數(shù)在處連續(xù)。若在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱在D內(nèi)連續(xù)。定理2：（1）若，在點(diǎn)連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在處不為0）在點(diǎn)連續(xù)。（2）若在點(diǎn)連續(xù)，而在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。定理3函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)。例1討論的連續(xù)性。例2試證：在原點(diǎn)不連續(xù)。例３設(shè)，則在的某去心鄰域內(nèi)是有界的．類似于數(shù)學(xué)分析提出下列三個(gè)常用定理.定理1:(波爾查諾(Bolzano)-維爾斯特拉斯定理)每一個(gè)有界無窮點(diǎn)集，至少有一個(gè)聚點(diǎn).定理2:(閉套集定理)設(shè)無窮閉集列中至少一個(gè)為有界且，(其中是的直徑)，則必有唯一的點(diǎn)，。定理3:(海涅-波萊爾(Heine-Borel)覆蓋定理）設(shè)有界閉集Ｅ的每一點(diǎn)都是圓的圓心，則這些圓中必有有限個(gè)圓把Ｅ覆蓋．即Ｅ的每一點(diǎn)至少屬于這有限個(gè)圓中的一個(gè)．定理：在有界閉集E上連續(xù)的函數(shù)，具有下列三個(gè)性質(zhì)：（１）在E上有界．即有常數(shù)，使（２）在E上有最大值與最小值．即在E上有兩點(diǎn)與使（３）在E上一致連續(xù)，即任給，有，使對(duì)E上滿足的任意兩點(diǎn)及，均有§4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面：取一個(gè)與復(fù)平面相切于原點(diǎn)的球面，球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合。通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)N，稱N為北極，S為南極。對(duì)于復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)，用一直線把點(diǎn)與北極N連接起來，直線與球面相交于異于N的點(diǎn)P。反之，對(duì)于球面上任何一個(gè)異于N的點(diǎn)P，用一直線把N與P連接起來，這條直線就與復(fù)平面相交于一點(diǎn)。說明：球面上的點(diǎn)，除北極外與復(fù)平面上的點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)，而復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。故球面上的點(diǎn)，除北極外，與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。所以可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)。為了使球面上的點(diǎn)無例外地與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，規(guī)定：復(fù)平面上有