《隨機事件的概率》

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.§1.2隨機事件的概率概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！編輯ppt

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小非常有意義，例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小，確定保險金額.了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置效勞人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度等.編輯ppt一．概率的統(tǒng)計性定義1.頻率：設在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A出現(xiàn)了m次，那么稱為事件A在這n

次試驗中出現(xiàn)的頻率，m

稱為頻數(shù)．易見，頻率具有如下的性質(zhì)：編輯ppt

盡管在一次試驗中可能出現(xiàn)這種結果,也可能出現(xiàn)那種結果.但在大量重復試驗中,一個事件的頻率將逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)p(0≤p≤1)，是一種客觀的內(nèi)在屬性，顯然p越大,事件發(fā)生的可能性也越大;反之亦然．p

以數(shù)量的形式反映了事件發(fā)生的可能性的大?。覀儼裵

叫做事件的概率．(2)概率的統(tǒng)計性定義:在大量重復試驗中，事件A頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)p附近，那么稱該常數(shù)p為事件A的概率．記為:P(A)=p編輯pptP(A)的性質(zhì)：概率的統(tǒng)計性定義形象，直觀，但缺乏數(shù)學定義的嚴密性，后面將概率的公理化定義.

下面是古典概率的計算．如：拋硬幣時，A=“正面向上〞，那么P(A)＝0.5編輯ppt1.古典概型定義:假設隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.稱這種試驗為有窮等可能隨機試驗或古典概型隨機試驗,簡稱古典概型.二、古典概型：編輯ppt2、古典概型中事件概率的計算定義2設試驗E是古典概型,其樣本空間Ω由n個樣本點組成,事件A由k個樣本點組成.那么定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.

這種確定概率的方法稱為古典方法.

k

A包含的樣本點數(shù)

P(A)＝

＝

n

Ω

中的樣本點總數(shù)下面通過例子來介紹如何計算古典概率.編輯ppt乘法原理、排列、組合常用工具：根本領件考慮順序時用乘法原理、排列，不考慮順序時用組合。乘法原理：一個過程分為t個階段無重復排列:組合:編輯ppt3、古典概率計算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設排列結果恰好拼成一個英文單詞：SCIENCE問：出現(xiàn)這一結果的概率是多少？編輯ppt拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結果出現(xiàn)的概率為：這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果屢次重復這一抽卡試驗，那么我們所關心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次.解：七個字母的排列總數(shù)為7！編輯ppt這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握疑心這是魔術.具體地說，可以99.9%的把握疑心這是魔術.編輯ppt解：=0.3024允許重復的排列問：錯在何處？例2某城市的號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同.從10個不同數(shù)字中取5個的排列編輯ppt(1)有放回抽樣問:A=“抽取3只球全為紅球〞的概率P(A)是多少？例3

袋中有100只球，其中60只紅球,40只白球,從中任意抽取3只，抽法分別為：(2)無放回抽樣(3)一次取出解：編輯ppt例４

設有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解：令A={恰有k件次品}P(A)=？次品正品……M件次品N-M件正品編輯ppt解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例5.n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋〞(事件A)的概率是多少？(乘法原理)編輯ppt(3)C=某指定的一間房中恰有m人(m≤n).例6.有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N間房的每一間中，求以下事件的概率:(2)B=恰有n間房中各有一人。(1)A=指定的n間房中各有一人.編輯ppt解：一個人可進入任一房間，同一房間可進入多人.由乘法原理n個人分配到N個房間的分法總數(shù)為：所以編輯ppt我們介紹了古典概型.古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應用.是常見的幾種模型.箱中摸球分球入箱隨機取數(shù)分組分配編輯ppt擲兩顆均勻骰子,求出現(xiàn)點數(shù)之和是8的概率.答案：P=5/36

擲一顆骰子,有6個等可能的結果,擲兩顆骰子,有6·6=36個等可能結果.

設X為第一顆骰子擲出的點數(shù),Y為第二顆骰子擲出的點數(shù)。A={X+Y=8},

只有

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)。取數(shù)問題:編輯ppt在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復計數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙〞〔事件A〕的概率是多少？下面的算法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙〞算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只應為:編輯ppt“分球入箱〞問題(分房問題、生日問題)設有n個球，每個都以相同的概率1/N(Nn)落入N個箱子中的每一個中。根據(jù)以下條件，求:事件A={某預先指定的n個箱子中各有一球}

的概率p.生日問題：

有n個人，設每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人的生日互不相同的概率.編輯ppt早在概率論開展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的.

把等可能推廣到無限個樣本點場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.三．幾何概型編輯ppt設事件A是Ω的某個區(qū)域，它的面積為μ(A)，那么向區(qū)域Ω上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為(*)假設樣本空間Ω可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向Ω上隨機投擲一點的含義如前述，那么事件A的概率仍可用(*)式確定,只不過把μ(·)理解為長度或體積即可.編輯ppt例:會面問題。甲乙欲在某一長度為T的時間段內(nèi)會面，二人在該時間段內(nèi)任何時刻到達的可能性相同，約定某人到達后最多等待時間為t．求：A=“二人能會面的概率〞．解：設x,y表示甲乙到達的時刻瞬間,那么(x,y)

落在Ω

內(nèi)任一區(qū)域內(nèi)的概率與面積成正比,所以編輯ppt四．概率的公理化定義公理2

P(Ω)=1

(2)

公理3假設事件A1,A2,…兩兩互不相容，那么有P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…(3)這里事件個數(shù)可以是有限或無限的.公理1

0≤P(A)≤1

(1)

設E是隨機試驗,Ω是它的樣本空間，對于Ω中的每一個事件A，賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果函數(shù)P(A)滿足下述三條公理:編輯pptＡ

性質(zhì)1.對任一事件A

，有

五.概率的性質(zhì)由概率的三條公理,可以推導出概率的假設干性質(zhì).下面我們就來討論概率的一些簡單性質(zhì).編輯ppt

性質(zhì)2

P(φ)=0

即不可能事件的概率為0.因為再利用性質(zhì)1及公理2即得.編輯ppt移項得(1),再由P(B-A)≥0便得(2).由可加性

性質(zhì)3設Ａ、B是兩個事件，若,則有(1)

(2)編輯ppt

又因再由性質(zhì)3便得(1).

性質(zhì)4對任意兩個事件A、B，有

(1)性質(zhì)4可推廣到多個事件的情形編輯ppt例1:將一顆骰子拋擲4次，問至少出一次“6〞點的概率是多少？令事件A={至少出一次“6〞點}A發(fā)生{出1次“6〞點}{出2次“6”點}∪{出3次“6〞點}{出4次“6”點}直接計算A的概率較麻煩,我們先來計算A的對立事件的概率.={4次拋擲中都未出“6”點}編輯ppt4次拋擲中都未出