初中數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)關(guān)系強化練習(xí)1

初中數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)關(guān)系強化練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.如圖，已知矩形A8CZ）中，43=3,AD=4,沿對角線8。折疊使點A落在平面內(nèi)

的點E處，過點E作斯〃CD交8。于點尸，則C到尸的距離是（）

52557

2.如圖，在RfZkABC中，ZACB=90°,AC=3,。是邊AB上一點，連結(jié)C￡）,將

△ACQ沿CQ翻折得到△ECD,連結(jié)BE.若四邊形8CQE是平行四邊形，則8c的長

為（）

A.73B.3C.2GD.3y/2

3.已知在Rt^ABC中，/C=90lsinB=—,則cosA的值為（）

2

A.-B.也C.3D.B

2223

4.如圖，P為NXOY上一點，作P"_LOy于H,對于siMNXOy+cosZ/XOy的大

小，下列說法正確的是（）

H

A.與點尸的位置有關(guān)B.與P4的長度有關(guān)C.與NXOY的大小有關(guān)D.與點P的

位置和/xoy的大小都無關(guān)

3DE

5.如圖，在AABC中，AB=18,BC=15,cosB=-,DE//AB,EFLAB,若一=

6.如圖，在△ABC中，NC=90。，NA=30。.以點B為圓心畫弧，分別交BC、A8于點

M、N,再分別以點M、N為圓心，大于;MN為半徑畫弧，兩弧交于點P,畫射線BP

交AC于點。.若點。到AB的距離為1,則AC的長是（）

A.2B.3C.6D.石+1

7.已知：sin?32+cos2a=1,則銳角a等于()

A.32。B.58"C.68。D.以上結(jié)論都不

對

8./ABC中，ZC=90°,CDLAB于D,下列比值中不等于tanA的是()

BC_CDBDAC

A.-zD.C.D.

ACADCDAB

—*>填空題

j-.isinx+2cosx

9.已知：tanx=2,則nf--------=____.

2sinx-cosx

10.化簡：若夕是銳角，那么Jsin，夕-2sin￡+1=.

11.如圖，A為y軸負(fù)半軸上一點，M.N是函數(shù)y=-9+3的圖像上的兩個動點,

4

S.AM1AN.若MN的最小值為10,則點A的坐標(biāo)為.

12.己知sinaVcosa,則銳角a的取值范圍是.

3

13.若NA是銳角，且cos4=《，則sinA=.

4

14.如圖，在矩形43CO中，8c=6,cosZCAB=-,P為對角線AC上一動點，過

線段BP上的點M作收，交A3邊于點E,交邊于點F,點N為線段E尸的

中點，若四邊形8EP/的面積為18,則線段BN的最大值為

15.已知：sinl50-cosl5=—sin30,sin20-cos20°=—sin40,

22

sin30-cos30==lsin60',請你根據(jù)上式寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

16.如圖，在RtAABC中，ZA=90°,AD_LBC,垂足為D.給出下列四個結(jié)論:

①sina=sinB：②sinp=sinC；③sinB=cosC；④sina=cosp.其中正確的結(jié)論有.

17.計算：

(i)tan453-2sin300+cos230;(2)tanl°-tan890+sin2V+sin2890.

18.如圖，在RtZVIBC中，ZA=90°,AB=4,AC=3,D,E分別是AB,BC邊上

的動點，以2。為直徑的。。交BC于點F.

B

(1)當(dāng)AD=D尸時，求證：ACAD三ACFD；

(2)當(dāng)ACE￡＞是等腰三角形且ADEB是直角三角形時，求AO的長.

19.在HAAC3中，NACB=90'，AC=2BC=4,點尸為A3中點，點。為AC邊上

不與端點重合的一動點，將A4P￡＞沿PO折疊得A￡P(guān)￡＞,點A的對應(yīng)點為點E,若

DE1AB,則AO的長為.

20.如圖，在AABC中，點。是BC的中點，聯(lián)結(jié)AD,AB=AD,BD=4,tanC=-.

4

(1)求AB的長；

(2)求點C到直線AB的距離.

21.已知NA為銳角且sinA=；,則4sin2A—4sinAcosA+cos2A的值是多少。

22.定義：若實數(shù)x,y,滿足x=履，+2,y^ky'+2(&為常數(shù)，物0),則在平面

直角坐標(biāo)系X?！分?，稱點(x,y)為點(X(,7)的*值關(guān)聯(lián)點”.例如，點(3,0)

是點(1,-2)的“1值關(guān)聯(lián)點”.

⑴在(-3,7),(2,3),(-1,4)三點中，點是P(l,-1)的依

值關(guān)聯(lián)點

⑵設(shè)點Q(x,y)是尸(1,-1)的‘%值關(guān)聯(lián)點”，當(dāng)PQ的值最小時，求女的值.

(3)設(shè)兩個不相等的非零實數(shù)如〃滿足點E(源+加〃,2〃2)是點尸(加,〃)的“值關(guān)

聯(lián)點”，當(dāng)點尸到原點0距離最小時，求AOEF的面積.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

過點E作EGLBD,過點F作FHLCD,連接CF,先求出AB：AD：BD=3：4：5,再利

用三角函數(shù)值求出結(jié)果即可.

【詳解】

解：過點E作EGJ_BD,過點F作FH_LCD,連接CF,

由折疊得BE=AB=3,ZEBD=ZABD,

在RTAABD中，BD2=^AB^AD1=次+不=5，

貝ijAB：AD：BD=3：4：5,

34

cosZABD=-,sinZABD=一,

55

VEF//CD,

AZBFE=ZBDC,

VAB//CD,

AZBDC=ZABD,

JZBFE=ZABD=ZEBD,

AEF=BE=3,

工點G為BF的中點,BF=2BG,

在RT^BGE中，

39]8

BG=BEcosZEBG=3x-=-,BF=2BG=—,

555

1o7

ADF=BD-BF=5-y=y,在RTADFH中，

7321

DH=DFcosZBDC=一x—=—,

5525

答案第1頁，共21頁

7428

FH=DFsinZBDC=—x—=——,

5525

2154

HC=DC-DH=3-

2525

在RTaFCH中，

2222

FC=ylFH+HC=1(—)+(—)=2_^/925=2^11,

V2525255

故選A.

【點睛】

本題考查了折疊性質(zhì)、勾股定理及利用三角函數(shù)值求解，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

2.A

【解析】

【分析】

設(shè)83EC相交于點尸，由翻折及題目信息可以推出NAFC=90。，繼而求出N4,運用三

角函數(shù)值解決問題.

【詳解】

如圖：設(shè)B￡>,EC相交于點產(chǎn)

由翻折可知：ZA=ZDEC,CE=CA

-1-ZACB=90°

?-?ZA+ZABC=9Q°

???四邊形3CZ)E是平行四邊形

CF=EF,DE//BC

：.ZEDB=ZABC

答案第2頁，共21頁

/.ZDEC+ZEDB=ZA+ZABC=90°

??.ZAFC=90°

在RsACF中

???AC=CECF=-CE

f2

CF1

...—=sin4=—=sin30。

AC2

ZA=30°

=tanZ.A=tan30°=—

AC3

vAC=3

8c=6

故選A.

【點睛】

本題考查了圖形的翻折，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出NA的度數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

3.C

【解析】

【分析】

先根據(jù)sinB="得到NB的度數(shù)，即可得到NA的度數(shù)，再根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值

2

即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：?「sinB='^,

2

/.ZB=60°,

;ZC=90°,

:.ZA=30°,

.A73

..cosA=——

2

故選C.

【點睛】

本題是特殊角的銳角三角函數(shù)值的基礎(chǔ)應(yīng)用題.

答案第3頁，共21頁

4.D

【解析】

【分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得答案.

【詳解】

PH2。斤2

Vsin2ZXOr+cos2ZXOF=--+^-=1,

PO2PO-

???sin2zxor+cos2zxor的大小與角的大小無關(guān)，與P點的位置都無關(guān).

故選D.

【點睛】

本題主要了考查同角的三角函數(shù)關(guān)系：siMa+cos2a=1.

5.C

【解析】

【分析】

先設(shè)。E=x,然后根據(jù)已知條件分別用x表示AF、BF、BE的長，由。E〃AB可知

DECE

爺=胃，進而可求出x的值和BE的長.

ABCB

【詳解】

解：設(shè)。E=x,則A尸=2x,BF=18-2x,

VEF±AB,

尸8=900,

：.BE=-(18-2x),

3

DE//AB,

.DECE

cF,

Jx15-|(18-2x)

布—15-

Ax=6,

：.BE=-x(18-12)=10,

3

故選：C.

答案第4頁，共21頁

【點睛】

本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，根據(jù)平行線得到相關(guān)線段比例是解題關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】

過點D作DEJ.AB于E,則DE=1,先計算出/ABD=30。，在R/4DBE中，由直角三角形

的性質(zhì)求出BE,利用等腰三角形的性質(zhì)求出AB,最后在R〃ABC中求出AC的長.

【詳解】

解：如圖，

過點D作DEJLAB于E,則DE=1,

vNC=90。，NA=30。，

:.ZABC=60°

由尺規(guī)作圖，知PB是NABC的平分線，

:.ZABD=-ZABC=30°,

2

.-.ZA-ZABD,

:.AD=DB,

AB=2EB,

破=焉=2

在RrZ\DBE中，

3

AB=2y/3,

在R/△ABC中，AC=AB.cos30°=2^x=3,

2

故選：B

【點睛】

本題考查了尺規(guī)作圖，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì).靈活的應(yīng)

用銳角三角函數(shù)的定義求直角三角形的邊和角是解本題的關(guān)鍵.

答案第5頁，共21頁

7.A

【解析】

【詳解】

Vsin2a+cos2a=l,a是銳角，

Aa=32°.

故選A.

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)正切的定義和同角的正切值相同即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如下圖所示

在Rt&4BC中，tanA=—,故A不符合題意；

AC

CD

在RtZ\AC。中，tanA=――,故B不符合題意；

AD

VZA+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°

???ZA=ZBCD

/.tanA=tanZBCD=,故C不符合題意；

AT

tanA聲去，故D符合題意.

AB

故選D.

【點睛】

此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關(guān)鍵.

9.i

3

【解析】

【詳解】

答案第6頁，共21頁

tanx+2

試題解析：分子分母同時除以cosx,原分式可化為:

2tanx-1

2+24

當(dāng)tanx=2時,原式=丁:一-=--

2x2-13

故答案為三4.

10.1一sin/

【解析】

【分析】

根據(jù)"s據(jù)尸-2sin#+l=^(siny^-1)2，再根據(jù)面的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：Jsin?尸一2sin/?+l=^(sin/3~\)=1-sin夕.

故答案為>sin￡.

【點睛】

本題考查了一個銳角的正弦值的性質(zhì)，把原式化成平方式是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

取MN的中點為B,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：A8最小值，由

時，48最小，再通過sinNOC￡>=sinN3C4即可求出4C的長，從而得出A點的坐

標(biāo).

【詳解】

假設(shè)MN中點為點B,連接A8,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得=

???MN?=10

A^min=5

(即定點A到直線產(chǎn)-9+3上動點B的最短距離為5)

4

丁丁=-^工+3的圖象與無、y軸交于。、。兩點，

AC(0,3),0(4,0),

答案第7頁，共21頁

根據(jù)?垂線段最短可得,直線,，=-%+3時鉆=5,如圖所示

在放ACOD中，由勾股定理得：8=5/32+42=5,

AR5

?△A3c中，sincc=——=——

ACAC

Rt^COD中，sina==-

CD5

?54

??=一，

AC5

???AC=—

4

???點A在y軸的負(fù)半軸

???OC=3,

OA=ii

.??點A的縱坐標(biāo)為（0,一日

故答案為：（0,-?

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，以及垂線段最短和三角函數(shù)等知識，得出垂線段A8

長是解決問題的關(guān)鍵.

12.0°<a<45°.

【解析】

【分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性即可求解.

【詳解】

答案第8頁，共21頁

解：由sina<cosa,得

0°<a<45°,

故答案為：0°<a<45°.

【點睛】

同角三角函數(shù)的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

4

13.-##0.8

5

【解析】

【分析】

3

根據(jù)cosA=g,設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達式即可

推出sinA的值.

【詳解】

AC3

解：如圖，在RTAABC中，cosA=——,

設(shè)AC=3a,則AB=5a

BC=y/AB2-AC2=4a

一3c4。4

sinA==—=—

AB5a5

4

故答案為：y.

【點睛】

此題考查了同角三角函數(shù)的知識，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定

義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角

函數(shù)值.

14-7

答案第9頁，共21頁

【解析】

【分析】

4

在AABC中，BC=6,cosNCAB=g求出AC與AB的長，點P在AC上則6WBPW8,由

點N為線段E尸的中點，ZABC-900,貝l」EF=2BN,根據(jù)四邊形BEPF的面積為18,

利用對角線乘積的一半求面積得，PB.BN=18,BN與PB成反比例，PB最小

時，BN最大，當(dāng)PBLAC時，PB最小，求出最小值即可.

【詳解】

4

在AABC中，BC=6,cosZC4B=-,

Vsin2ZCAB+cos2ZCAB=\,

,sinZCAB=y/l-cos2ZCAB=1-43

由正弦函數(shù)定義sin/C4B=K,

；.AC=sinZ.CAB

由勾股定理得AB=VAC2-BC2=A/102-62=8，

點P在AC上則6WBPW8,

???點N為線段EP的中點，由/ABC=90。，

/.EF=2BN,

???四邊形BEPF的面積為18,EFLBP,

SPB,EF=—PBx2BN=PB?BN=18,

PB-BN=18,

BN=—,

PB

當(dāng)PB最小時，BN最大，

當(dāng)PB_LAC時，PB最小，BPSAABC=-AB.BC=-AC.BP

22

…AB.BC8x624

BP最小二----------------

AC105

曳二”

BN最大=巫二1

y

答案第10頁，共21頁

故答案為：?

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)解直角三角形與點到直線距離最短問題，掌握銳角三角函數(shù)及其之

間的關(guān)系，會用銳角三角函數(shù)解直角三角形，掌握垂線段最短，會利用面積或勾股定理求

BP的最小值，解題時要理解BP最小，BN最大是解題關(guān)鍵.

15.sinacosa=—sin2<z

2

【解析】

【分析】

從角度的倍數(shù)關(guān)系方面考慮并總結(jié)寫出結(jié)論.

【詳解】

根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：同一個角正弦與余弦的積等于這個角的2倍的正弦的一半，

規(guī)律為：sincrcosa=—sin2a.

2

故答案為sina-cosa=』sin2a.

2

【點睛】

本題考點：同角三角函數(shù)的關(guān)系.

16.①②③④

【解析】

【分析】

根據(jù)/A=90。，AD1BC,可得/a=/B,Zp=ZC,再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進

行逐項判斷.

【詳解】

VZA=90°,AD±BC,

答案第II頁，共21頁

AZa+Zp=90°,ZB+Zp=90°,ZB+ZC=90°,

AZa=ZB,Zp=ZC,

:.sina=sinB,故①正確；

sinp=sinC,故②正確；

;在RtAABC中sinB=-^^,cosC=-^^,

BCBC

.".sinB=cosC,故③正確；

Vsina=sinB,cosZp=cosC,

.,.sina=cosZp,故④正確；

故答案為①②③④.

【點睛】

本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系.

3

17.(1)-；(2)2.

4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可；

(2)根據(jù)直角三角形中tanA=」一，sidA+cos2A=1,sinA=cosB計算.

tanB

【詳解】

⑴原式=l_2x；+(亭2=1_]+土=|；

⑵原式=tan「x―5—+(sin2l+cos2l)

tanl°''

=1+1

=2.

3

故答案為(1)-；(2)2.

4

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)值的計算.

18.(1)證明見解析；⑵13或3〈

27

【解析】

【分析】

答案第12頁，共21頁

(1)根據(jù)8。是圓的直徑，可以得到/3FZ)=90。，即NOFC=90。，然后利用“HL”證明

△C40g△CFC即可；

(2)因為三角形CED為等腰三角形，故每一條邊都可能是底邊，可以分三類討論，由于

三角形QEB是直角三角形，所以。和尸都可以為直角的頂點，需要分兩類討論；當(dāng)

/叩8=90。時，ZDEB<90°,NCEZ)是鈍角，所以此時只能構(gòu)造EC=E。的等腰三角形，

故取。點使C。平分/ACB,作交8c于E,可以證明力E=￡>C,S.DE//DC,得

到△即可求解；當(dāng)NAED=90。時，若三角形CED為等腰三角形，則

NECD=NEDC=45。,GPEC=DE,利用三角函數(shù)或相似即可求出AD

【詳解】

解：(1)是圓的直徑，

二NDFB=90。,

：.ZDFC=90°,

在RmCAD和R3FCD中，

jCD=CD

[AD=FD，

絲△CTO(HL)；

(2)I?三角形OEB是直角三角形，且NB<90。，

，直角頂點只能是。點和E點，

若NEDB=90°,如圖在AB上取。點使CO平分NAC8,作。交BC于￡,

,.?CO平分NACB,

ZACD=ZECD,

■:ZCAB=ZEDB=90°,

J.AC//DE,

：.NACD=NCDE,

：.ZECD=ZCDE,

：.CE=DE,

此時三角形EC。為E為頂角頂點的等腰三角形，三角形OEB是E為直角頂點的直角三角

形，

設(shè)CE=DE=x,

答案第13頁，共21頁

在直角三角形ABC中3c=JAC虧瀛=5，

/.BE=5-x,

丁DE//AC,

:?△BDESABAC,

.DEBE

^~AC~~BC

.x_5-x

解得x=9

8

CE=—

8

9：DE//AC,

.ADCE

^~AB~~BC

15

：.AD=^_9

~T~~5

若NOE8=90。，如圖所示，NCED=90。,

???△CEO為等腰三角形,

；?NECD=NEDC=45°,BPEC=DC9

設(shè)EC=DC=y,

..“AJ3

?lan/B=-----

AB4

.??tanZ/Bn=DE=—3

BE4

4

???BE=_y,

3

BC=CE+BE=5,

4一

y+§y=5

答案第14頁，共21頁

?15

??丁=亍

：.CE=CD=—

7

VsinZB=—=-5

BC

15

7-

-=2-5

37

5-

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的

關(guān)鍵在于能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想進行分類討論求解.

195-6或出+5

,2?2.

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，延長包＞交A3于尸，由勾股定理可求AB的長，由折疊的性質(zhì)可得

AP=PE=GNA=NE,由銳角三角函數(shù)可求整，可求P尸的長，可得質(zhì)的長，

ABPE

再由銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】

解：如圖，延長即交A3于尸，

答案第15頁，共21頁

B

BC=2,AB=ylAC2+BC-=J16+4=2石,

:點P為AB中點,

AP=>/5,

將AAPD沿P￡>折疊得AEPD,DELAB

\AP=PE=不，ZA=ZE,

、一BCPF

ABPE

2_PF

,,充二忑

.-.PF=1,

\AF=61,

，AF

\、cosA==AC,

ADAB

.x/5-l_4

AD-2非

\AD=

2

如圖，設(shè)OE與43交于F,

???將AAPD沿PO折疊得NEPD,

.,.ZA=ZE,AD-DE,AP=PE=也，

\sinA=sinE=—竺

ABPE

答案第16頁，共21頁

2_PF

：.PF=l,

\AF=>/5+l,

QtanA=tanE,

.BC_DF_PF_\

?.----=-----————.

ACAFEF2

:.EF=2,

2

\DE="+5=AD,

2

故答案為：上更或墾

22

【點睛】

本題考查了翻折變換，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

20.(1)1;(2)日

【解析】

【分析】

(1)過點A作3。，垂足為點H根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出再根據(jù)tanC=!，求

出A”,利用勾股定理即可求出AB；

(2)過點C作CGJ_54,交A4的延長線于點G,根據(jù)sin8=±g=段即可求出答案.

ABBC

【詳解】

解：(1)???過點A作垂足為點H.

AB=ADf

BH=HD=^BD=2.

點。是5c的中點,

BD=CD.

BD=4,

CD=4.

HC=HD+CD=6.

.AH1.3

tcinC=—,??-----=一,??AH=—

4HC42

答案第17頁，共21頁

:AB=>JBH2+AH2>

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì),勾股定理以及銳角的三角比，熟練掌握銳角的三角比是解題的

關(guān)鍵.

21.--73

4

【解析】

【分析】

答案第18頁，共21頁

先求出NA的度數(shù)，再求出cosA的值，最后代入計算即可.

【詳解】

「NA為銳角，且sinA=g

.-.ZA=30°

.?.cosA=cos30°=—

2

/.4sin2A-4.sinAcosA+cos2A=4x(—)2—4x—x+(走?)2=——yfi.

22224

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

22.(1)(-3,7)

(2)1

(3)當(dāng)點尸到原點O距離最小時，△OEF的面積為20

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)"值關(guān)聯(lián)點''的定義代入驗證即可；

(2)根據(jù)7值關(guān)聯(lián)點”的定義可求出點。在直線y=-"4上，則當(dāng)PQ與直線y=-x+4

垂直時，點。到點尸距離最小，設(shè)直線y=-x+4與x軸，y軸交點為8,A,分別過點P,

。作x軸，