八年級(jí)因式分解奧數(shù)

八年級(jí)奧數(shù)專題

第一講：勾股定理及應(yīng)用--李

第二講：實(shí)數(shù)的性質(zhì)-……李

第三講：二次根式（1）

第四講：二次根式（2）

第五講：一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

第六講：待定系數(shù)法-----李

第七講：一次函數(shù)的應(yīng)用-

第八講：二元一次方程組和不定方程

第九講：三元一次方程組與不定方程組

第十講：二元一次方程組的應(yīng)用

第十一講：等腰三角形與等邊三角形……張瓊方

第十二講：線段的垂直平分線

第十二講.角平分線

第十而講;一元一后不等式與一元一次不等式組

第十五講：一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用（1）

第十六講：一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用（2）方案設(shè)計(jì)

羅

第十七講：因式分解（1）

第十八講：因式分解（2）

第十九講：因式分解（3）

第二十講：因式分解（4）

第二十一講：因式分解（5）劉

第二十二講：分式

第二十三講：分式的運(yùn)算

第二十四講：含字母系數(shù)的方程和分式方程

第二十五講：分式方程的應(yīng)用

第二十六講：平行四邊形性質(zhì)與判定…楊潔

第二十七講：矩形

第二十八講：菱形

第二十九講：正方形

第三十講：三角形的中位線

第三十一講：梯形

第三十二講：梯形的中位線---張皓

第一講勾股定理及應(yīng)用

出喉

1、勾股定理及逆定理：aABC中ZC=RtZ<^>a2+b2=c2

2、勾股定理及逆定理的應(yīng)用

①作已知線段a的后，V3,后……倍

②計(jì)算圖形的長度，面積，并用計(jì)算方法解幾何題

③證明線段的平方關(guān)系等。

3勾股數(shù)的定義：如果三個(gè)正整數(shù)a,b,c滿足等式a2+b?=c2,那么這三個(gè)正整數(shù)

a,b,c叫做一組勾股數(shù).

4勾股數(shù)的推算公式

a）羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數(shù)學(xué)家1789——1853）

任取兩個(gè)正整數(shù)m和n（m>n）,那么mJ?,2mn,m'+n?是一組勾股數(shù)。

b）如果k是大于1的奇數(shù)，那么k,J,S是一組勾股數(shù)。

22

c）如果k是大于2的偶數(shù)，那么k,修J7，圖2+］是一組勾股數(shù)。

d）如果a,b,c是勾股數(shù)，那么na,nb,nc（n是正整數(shù)）也是勾股數(shù)。

5、熟悉勾股數(shù)可提高計(jì)算速度，順利地判定直角三角形。簡單的勾股數(shù)有：3,

4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41。

F1

附屬用相於

【例1】.折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知，AB=8cm，

BC=10cm,求CF和EC.

【例2】.如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積

分別用S1、S、S3表示，則不難證明S=S2+S3.

(1)如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分

別用$、S2、S3表示，那么多、S、S3之間有什么關(guān)系？(不必證明)

(2)如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積

分別用Si、S2、S3表示，請你確定S1、8、S3之間的關(guān)系并加以證明；

(3)若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正多邊形，其面積分別用

Si、S2

【鞏固】.在直線1上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)。已知斜放置的三個(gè)正

方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是a、S2、S3、

S”，求S1+S2+S3+S4的值：

[例3].如圖，A城氣象臺(tái)測得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每

小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)

是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？

⑵若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長時(shí)間？

【鞏固】.《中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上

的行駛速度不得超過70千米/時(shí)”.一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛

（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，?測得該車從北偏西60的

A點(diǎn)行駛到北偏西30。的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1.5f北

秒.一嚴(yán)

（1）試求該車從A點(diǎn)到B的平均速度；--------爐---

（2）試說明該車是否超過限速.\:

：i0

削3指啊篋嵬靄

【例1】.四邊形ABCD中NDAB=60°,ZB=ZD=RtZ,BC=1,CD=2

求對(duì)角線AC的長

【例2].已知：正方形ABCD的邊長為1,正方形EFGH內(nèi)接于ABCD,AE=a,AF

2

=b,一且SEFGH=—

3

求：卜-4的值

（2001年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽，初二）

助|嘛迎局繪司

l.^AABC的三邊abc滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求4ABC的面積。

2.如圖，已知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條

直線/”12,/3上，且/”辦之間的距離為2,氏b之間的距離為3,則AC的長是

3.已知：如圖，△/8C中，NG=90°,〃為4?的中點(diǎn)，E、尸分別在力。、BC上,

RDE1DF.求證：AE+BFME戶.

4.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)

暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米

B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就

會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30。方向往C移動(dòng),

且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.

(1)該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請說明理由.

(2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？

(3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？“/C

5.Rt^ABC中，ZABC=90°,ZC=60°,BC=2,D是AC的中點(diǎn)，從D作

DELAC與CB的延長線交于點(diǎn)E,以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF,連結(jié)DF,

則DF的長是o（2002年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽，初二試題）

八年級(jí)試題（A卷）

（時(shí)間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（每小題4分，共32分）

1.若A=J（蘇+2015）4,則A的算術(shù)平方根是（）

A.（m2+2015）4B.（m2+2015）2C.m2+2015D.m+2015

2.已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且|3a+〃一iq+Ja+3匕一24=0,則此三

角形的周長是（）

A.13B.17C.13或17D.14或16

3.將一副三角板如下圖疊放在一起，則N1的度數(shù)是（）

A.1O50B.110°C.1150D.12O0

4.如圖，在3X4的正方形網(wǎng)格中，已有3個(gè)方格涂色，若再選擇一個(gè)方格涂色,

且使得4個(gè)涂色的方格組成軸對(duì)稱圖形，可選擇的方格共有（）

5.已知J35+2015是整數(shù),若n是正整數(shù)，則n的最小值是（）

A.31B.59C.65D.124

6.某超市購進(jìn)50千克的散裝糖果，決定包裝后出售，方式一：1.5千克/盒，包裝

成本1.2元/個(gè)；方式二：1千克/盒，包裝盒成本1元/個(gè).根據(jù)需要1千克裝的糖

果數(shù)量不能少于L5千克裝的一半，且糖果全部包裝完，那么包裝盒的總成本最

低是（_）

A.43.4元B.43.1元C.42.8元

D.42.5元

7.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且BO=DO,點(diǎn)P在4

BCD內(nèi)部，下列說法：@SAAOD=SAAOB；（2）BC+CD>PB+PD；③AC+BD

>AB+CD；④AC+BD>AD>CD,其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

A

8.如圖，等邊三角形ABC邊長為6,點(diǎn)P從B點(diǎn)開始在BC上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)C停止，以AP為邊在直線BC的同側(cè)作等邊三角形APQ,得到點(diǎn)Q,則

點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長()

A.6B.3V3C.4V2D.—

2

二、填空題：(每小題5分，共40分)

9.化簡：(%-2015)2-(x+2015)2=.

10.已知正n邊形的一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的5倍，則n=.

11.如圖，AABC是格點(diǎn)三角形，點(diǎn)D是異于點(diǎn)A的一個(gè)格點(diǎn)，則使ADBC和

△ABC全等的D點(diǎn)共有個(gè).

13.如圖，等邊三角形的邊長為1,現(xiàn)將其各邊n(n>2)等分，并以相鄰分點(diǎn)為頂

點(diǎn)向外作小等邊三角形，再將相鄰分點(diǎn)之間的線段去掉，得到一個(gè)鋸齒圖形，當(dāng)

n=k時(shí)，鋸齒圖形的周長為,(用含k的代數(shù)式表示).

14.將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)排成一列，要求第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),

且其中任意三個(gè)相鄰的數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，這樣的排列方

法共有種.

15.對(duì)于實(shí)數(shù)m、n,定義運(yùn)算mXn=m(l-n),下面是關(guān)于這種運(yùn)算的幾個(gè)結(jié)論：

①2派3=?4；②若mXn=O,則n=0；③mXn=(1-n)④若m+n=l,則

(mXn)-(nXn)=O.其中正確的是.

16.如圖，已知點(diǎn)A(l,1),點(diǎn)B(7,3),點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB的值

最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

y.

?B

A/

Px

三、解答題（10+12+12+14=48分）

a

17.若x-y=—,xy=-2,求（2x-3）（2y+3）的值.

18.如圖，4ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)，且CD<BC,BD

的垂直平分線交AC于E,過點(diǎn)E作EF〃BC交AB于F.

(1)求證：4AEF為等邊三角形；

AF

(2)若BC=3CD,求生的值.

A

19.某數(shù)學(xué)俱樂部組織60名會(huì)員租車進(jìn)行自駕游，共有兩種車型可供選擇，A型

車共有8個(gè)座位，B型車有4個(gè)座位，要求租用的車不能空座，也不能超載.

(1)共有多少種不同的租車方案？

(2)若A型車的租金是400元/天，B型車的租金是260元/天，請?jiān)O(shè)計(jì)最劃算

的租車方案，并說明理由.

20.已知：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，如圖1,在AABC中，Z

CAB=90°,D是BC的中點(diǎn)，連接AD,則AD=CD=BD.

圖1

(1)如圖2,過點(diǎn)D作DELAB于E,以E為邊作等邊三角形AEF,以DF為

邊作等邊三角形DFG,連接AG,求證：AG平分/FAB.

F

(2)如圖3,過點(diǎn)C作CHLAF于H,連接DH,求證：DH=FG.

12345678

cBADBCDA

101/2

910111213141516