必修第二冊立體幾何初步單元測試卷（基礎版）

立體幾何初步單元測試卷（基礎版）

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）

1.已知某圓柱的底面周長為12,高為2,矩形48CO是該圓柱的軸截面，則在此圓

柱側(cè)面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為（

A.2V10B.2V5C.3

2.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH

為截面，長方形4BCO為底面，則四邊形EFG”的形狀為

（）

A.梯形

B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形

D.不確定

3.正四棱臺的上、下底面邊長分別為lew,3cm,側(cè)棱長為2cvn,則棱臺的側(cè)面積為

（）

A.4cm2B.8cm2C.4V3cm2D.Sy/3cm2

4.已知A,B,C為球O的球面上的三個點，0。1為AABC的外接圓.若。01的面

積為4兀，AB=BC=AC=00r,則球。的表面積為（）

A.647rB.48兀C.367rD.327r

5.正方體的全面積是6,它的頂點都在球面上，這個球的體積是（）

A.—itB.?C.37rD.aTC

23

6.如圖，正方體ABCD-AiBiGDi中，若E、F、G分別為棱

BC、JC、ZG的中點,。1、。2分別為四邊形ADD遇I、

41當?shù)摹?的中心，則下列各組中的四個點不在同一個平面

上的是（）

A.A,C,。1，Di

B.D,E,G,F

C.A,E,F,D1

D.G,E,0],。2

7.設/是直線，a、夕是兩個不同的平面，那么下列判斷正確的是（）

A.若l〃a,////?,則a〃/?.B.若〃/a,/1/?,則a1依

C.若al/?,Zia,則〃/0.D.若al/?,l//a,則

8.有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，此圓錐的母線與底面所成角為60。，若此

圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的4倍，則此圓柱的高是其底面半徑的

（）

A.夜倍B.2倍C.2近倍D.3倍

9.已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3,體積為6,則這個球的表面積為

（）

A.167rB.207rC.247rD.327r

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

10.設P表示一個點，a,b表示兩條直線，a,夕表示兩個平面，下列說法中正確的是

()

A.若PGa,Pea,則aua

B.若anb=P,bu0,則au夕

C.若a〃b,aua,PG.b,P&a,則bua

D.若ar)3=b,Pea,Pe0,則Peb

11.如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中,

列命題正確的是（）

A.A尸與CN平行

B.與AN是異面直線

C.A尸與BM是異面直線

D.8N與。E是異面直線

12.若直線a〃平面a,直線a〃直線4則直線6和平面a的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.以上都不對

13.已知直線11平面a,直線mu平面S，下列說法中正確的是（）

A.a//p=>/1mB.//mC.///m=>a1/?D./1m=>a〃夕

第n卷（非選擇題）

三、單空題（本大題共2小題，共10.（）分）

第2頁，共24頁

14.如圖所示，在直三棱柱ABC—481G中，44cB=

90。，44i=2,AC=BC=1,則異面直線與AC

所成角的余弦值是.

15.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩

條直徑；④正六邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是（填序號）.

四、多空題（本大題共1小題，共5.0分）

16.如圖，在正四面體U-4BC中，直線必與8c所成角的大小為；二面角V-

BC—4的余弦值為.

B

五、解答題（本大題共7小題，共84.0分）

17.有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形用

斜二測畫法得到的直觀圖是直角梯形（如圖所示）,

/-A'B'C=45°,D'C1A'D',A'B'=A'D'=1m,

若平均每平方米菜地所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益是300元,

則這塊菜地所產(chǎn)生的總經(jīng)濟效益是多少元？（V2工

1.414,結(jié)果精確到1元）

18.如圖所示，在正方體4孔。一4/6。1中，E,F,G,"分別是BC,CJ,

GA，4〃的中點.

求證：(1)BF〃HD、;

(2)EG〃平面8B1D1D

(3)平面BDF〃平面當D1H

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，4PBe為等邊三角形，點。為8c的中點，AC1

PB,平面PBCJ"平面ABC.

(1)求證：平面PACJL平面PBC；

第4頁，共24頁

(2)已知后為尸。的中點，尸是A8上的點，AF=448.若EF〃平面PAC,求4的

值.

20.如圖，平面P4B1平面ABCD,四邊形ABCO是邊長為4的正方形，乙4PB=

90°,M是C￡＞的中點.

(1)在圖中作出并指明平面P4W和平面P8C的交線/；

(2)求證：AP1BC-,

(3)當4P=2時，求PC與平面ABCO所成角的正切值.

21.在三棱錐P-ABC中，A8為半圓O的直徑，點C在半圓弧歷上，且平面/\4。_1_平

面ABC.

(1)證明：PA1BC-.

(2)若P4=PC=AC=2,求點4到平面PBC的距離.

22.如圖，在四棱錐P-4BCD中，E是PC的中點，底面A8CD為矩形，AB=2,

AD=4,為正三角形，且平面24。，平面ABC￡>,平面ABE與棱尸。交于

點F.

(1)求證：EF//AB-,

(2)求三棱錐P-4EF的體積.

23.如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB1平面SBC,AB1BC,4S=4B.過A作

AFLSB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證：

B

第6頁，共24頁

(1)平面EFG〃平面ABC：

(2)8C_LS4.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查圓柱側(cè)面展開圖中的最短距離問題，是基礎題.

由圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，利用勾股定理求解.

【解答】

解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖，

圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長為12,寬為2,

則在此圓柱側(cè)面上從A到C的最短路徑為線段AC,

AC=V22+62=2V10.

故選：A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查長方體的結(jié)構(gòu)特征以及面面平行的性質(zhì)，屬于基礎題.

根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征以及面面平行的性質(zhì)得到EF〃"G,EH//FG,故為平行四邊

形.

【解答】

解：長方體的前后兩個平行的側(cè)面同時和該截面所在平面相交，則交線平行,

即EF〃GH,

長方體的左右兩個平行的側(cè)面同時和該截面所在的平面相交，則交線平行，

SPEH//FG,

故四邊形EFG/Z為平行四邊形.

故選B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查棱臺的側(cè)面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.

利用已知條件求出斜高，然后求解棱臺的側(cè)面積即可.

【解答】解：正四棱臺的上、下底面邊長分別為low,3cm,側(cè)棱長為2“”,

所以棱臺的斜高為：—^^產(chǎn)=V3cm.

所以棱臺的側(cè)面積是：4x^xV3=8V3cm2.

故選：D.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵.

畫出圖形，利用已知條件求出。Oi，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積.

【解答】

解：由題意可知圖形如圖：。。1的面積為4兀，可得。1/=2,則

lAOr=ABsin60°,^AO^^-AB，

???AB=BC=AC=。。1=2V3.

外接球的半徑為：R=yjAO^+OOl=4.

球O的表面積：4x42x7t=647r.

第8頁，共24頁

故選：A.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查正方體的外接球的體積，考查正方體與球的關(guān)系，注意運用球的直徑即為正

方體的體對角線，考查運算能力，屬于基礎題.

運用正方體的全面積公式，求得棱長，再求出正方體的體對角線長即為球的直徑，得

到半徑，再由球的體積公式計算即可得到.

【解答】

解：由于正方體的頂點都在球面上，

則正方體的體對角線即為球的直徑.

正方體的全面積為6,則設正方體的棱長為a,

即有6a2=6,解得a=1

正方體的體對角線為遮，設球的半徑為R,

則2R=V3,

解得R=更，

2

則有球的體積為V

故選A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查平面的基本性質(zhì)及應用，屬于基礎題.

根據(jù)題意，逐項判斷即可..

【解答】

解：對于4：4C,O1，D1四點共面，因為顯然它們在平面ACD1上；

對于B：D,E,G,F四點不共面，因為不能由這四個點得到平行或相交的兩條直線；

對于C：4瓦此為四點共面，因為直線EF和直線4%平行，平行的兩條直線共面，這

四個點當然共面；

對于。：G,E,0I，02四點共面，因為這四個點顯然都在由4D,BC，4Di，BiG的中點所在

的平面上，

故選8.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，面面垂直

的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于中檔題和易錯題.

由線面平行的性質(zhì)和面面平行的判定，即可判斷A；由線面平行的性質(zhì)定理和面面垂

直的判定定理，即可判斷B；由面面垂直的性質(zhì)和線面的位置關(guān)系，即可判斷C；

由面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)，即可判斷D.

【解答】

解：對于4若l〃a,l//p,則a〃夕或a,￡相交，故A錯；

對于8.若〃/a,11/?,則由線面平行的性質(zhì)定理，得過/的平面yna=m,即有一

m//l,

ml￡,再由面面垂直的判定定理，得a_L￡,故8對；

對于C.若，la,則〃/￡或故C錯；

對于。.若a_L0,l//a,則/可能垂直、斜交或平行于平面處若/平行于a,夕的交

第10頁，共24頁

線，則，〃口，故。錯.

故選艮

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了圓錐的側(cè)面積公式、圓柱的外接球表面積公式、線面角.屬基礎題.

設圓柱的高為〃，底面半徑為〃圓柱的外接球的半徑為R.根據(jù)圓柱的外接球的表面積

是圓錐的側(cè)面積的4倍列等式4TTR2=4磯§)2+產(chǎn)]=4x27n'2,求解即可.

【解答】

解：設圓柱的高為人，底面半徑為r,圓柱的外接球的半徑為R.

則R2=弓)2+r2,

???圓錐的母線與底面所成角為60。.

???圓錐的高為br,母線長l=2r,

二圓錐的側(cè)面積為山丁=271T2,

???4nR2=47r[(§2+r2]=4x2nr2,

化簡得：-=2.

r

故選：B.

9【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查四棱錐的體積，球的表面積，屬基礎題.

易知球心在正四棱錐的高線上，由此列方程求出球的半徑，即可得解.

【解答】

解：正四棱錐的高為3,體積為6,

???底面積為6,正方形邊長為逐，正方形的對角線為J(峋2+(病)2=28,

設球的半徑為凡則R2=(3-R)2+(V3)2-

???R=2,

二球的表面積為4兀/?2=4兀x4=167r.

故選A.

10.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查平面的基本性質(zhì)及應用，屬于基礎題.

根據(jù)平面的基本性質(zhì)，逐一排除，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：當aCia=P時，Pea,P&a,但a<ta,二4錯;

當an/?=P時，a"8錯；

如圖所示，

???a//b,P&b,

■■Pa,

.??由直線a與點P確定唯一平面a,

又a"b,由a與b確定唯一平面y,但y經(jīng)過直線。與點P,

???y與a重合，

bua,故C正確；

兩個平面的公共點必在其交線上，故。正確.

故選CD.

11.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題主要考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎題.

將展開圖還原成正方體后即可求解.

【解答】

第12頁，共24頁

解：將正方體的展開圖還原為正方體4BCD-EFMN,如圖所示,

可得AF與CN是異面直線；與AN平行；AF與是異面直線；BN與DE是異面

直線.

故選CD

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查了空間中線線、線面的關(guān)系，屬于基礎題.

根據(jù)線面平行的判定定理直接判斷即可.

【解答】

解：若直線a〃平面a,直線a〃直線從

則b〃a或bua,

即直線b和平面a的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).

故選AC.

13.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、面面平行的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)以及線面

垂直的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

根據(jù)線與面的位置關(guān)系逐個進行判斷即可.

【解答】

解：11平面a且a〃夕可以得到直線11平面以

又由直線mu平面0,所以有ZJ.ni,故A為真命題；

因為直線1_L平面a且a10,可得直線/平行于平面0或在平面￡內(nèi)，

又由直線mu平面￡,所以直線/與根可以平行，相交，異面，故B為假命題；

因為直線，1平面a且〃"i可得直線m1平面a,

又由直線mu平面夕可得a工出故C為真命題；

由直線11平面a以及，1m可得直線m平行于平面a或在平面a內(nèi)，

又由直線mu平面夕得a與￡可以平行也可以相交，故D為假命題.

故選AC.

14.【答案】漁

6

【解析】

【分析】

本小題主要考查異面直線所成的角，屬于基礎題.

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點4,得到異面直線所成的角，證得

&G1BJ,在直角三角形中再利用三角函數(shù)的定義即可求解余弦值.

【解答】

解：???A^CJ/AC,

???異面直線與AC所成角為NB&G，

Z.ACB=90°,???AC1.BC,AiG_LGB】，

又CjFintiC=Cr,C/i，GCu平面CC/iB,

?-?&C1，平面CGB1B,

又BCiu平面CGaB,

所以4Q1BClt

易求AiB=V6>

???COSNB&Q=呼/邛

故答案為匹.

6

15.【答案】①③

【解析】

【分析】

第14頁，共24頁

本題主要考查線面垂直的判定.

在線面垂直中必須要求是和平面內(nèi)的兩條交線都垂直才可以證明線面垂直.

【解答】

解：因為三角形的任意兩邊是相交的，所以①可知證明線面垂直.

因為梯形的上下兩邊是平行的，此時不相交，所以②不一定能保證線面垂直.

因為圓的任意兩條直徑必相交，所以③可以證明線面垂直.

若直線垂直于正六邊形的兩個對邊，此時兩個對邊是平行的，所以④不一定能保證線

面垂直.

故答案為①③.

16.【答案】｝

1

3

【解析】

【分析】

本題考查異面直線所成角、二面角的余弦值的求法，涉及余弦定理的應用，考查空間

中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思

想，屬于中檔題.

分別取VC、AB、BC、AC的中點。，E,F,G,設正四面體V-4BC的棱長為2,則

DG//VA,且￡>G=1,EG//BC,且EG=1,VE=CE=遮,DE=6從而EG_L

DG,由此能求出直線E4與BC所成角的大??；推導出VF1BC,AFIBC,/UFA是

二面角U-BC-4的平面角，由此能求出二面角U-BC-A的余弦值.

【解答】

解：分別取UC、AB,BC、AC的中點。，E,F,G,連接YE、VF.CE、DE、AF、

EG、DG,

B

設正四面體U-ABC的棱長為2,

則OG〃IM,且DG=1,EG//BC,且EG=1,

VE=CE=V22-I2=V3,DE==V2,

EG2+DG2=DE2,???EG1DG,

???直線3與BC所成角的大小為

???VB=VC=AB=AC=2,尸為BC的中點，

???VF1BC,AF1BC,

NUF4是二面角V-BC-4的平面角，

AF=VF=V22-l2=V3,VA=2,

VF2+AF2-AV2

???cosZ-VFA=--——————

2xVFxAF

3+3-4_1

-2x>^xV3-3，

???二面角V-BC-A的余弦值為g.

故答案為今

17.【答案】解：在直觀圖中，過力'點作A'EIB'C',垂足為E,

則在中，A'B'=lm,^A'B'E=45°,A'E=HE—in.

…2

又四邊形AEC'D'為矩形，AfDr=Im,

???EC'=1m,

BV=2/E+￡(/=(—+1)??.

方法一由此可得原圖形，如圖所示，AD=lm,

AB=2m,BC=(y+l)m,S.AD//BC,AB1BC,

第16頁，共24頁

???這塊菜地的面積為S=gQ4D+BC)?AB=，x(1+1+￥)x2=(2+y)(?n2),

這塊菜地所產(chǎn)生的總經(jīng)濟效益是300S=300x(2+當)2812(元).

方法二可得S直觀圖=源。+B'C).4E=：x(1+1+4)x曰=《+初癥).

又S原郵：SH觀圖--2V為寸，：-S原圖形=(2+y)m2,

???這塊菜地所產(chǎn)生的總經(jīng)濟效益是300x(2+當)*812(A).

【解析】本題主要考查斜二測畫法，屬于中檔題.

結(jié)合題目已給條件求出B'C'長度，

方法一：根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，求出菜地面積即可得出結(jié)論.

方法二：求出直觀圖的面積，即可得到原圖形的面積，即可求解.

18.【答案】證明：(1)如圖所示，取的中點M,連接MH,Mg,

vGA=HM

二四邊形HMC12是平行四邊形,

又?:GF&BM，即MBFCi為平行四邊形，二MCJ/BF,

(2)取B。的中點O,連接E。，久0,

貝IJOE〃7)C,S.OE=DC,

又DiG〃DC且4G=打。，

OE/ZD^KOE=D、G,

二四邊形OEGDi是平行四邊形，

???GE//DrO.

又GEC平面88也。，5。u平面岫。1。，

EG〃平面BBiDiD

(3)由(1)知B/7/HDi，

???BFC平面當。]”,HD、u平面8也”，

BF〃平面

又BD“B[Di，同理可得8D〃平面&D1H,

又BDCBF=B,BD,BFu平面8。尸，

平面BDF〃平面當久”.

【解析】本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、線面平行的判定和面面平行的

判定.

(1)取BBi的中點M,連接MH,MQ,求出HDJ/MC1，又MCI〃BF,即可得證；

(2)取B。的中點0,連接E0,50,推導出四邊形OEGDi是平行四邊形，可得

GE//D.O,然后由線面平行的判定定理即可求證；

(3)由(1)知B/7/HD],得出BF〃平面當。擔，，同理可得BD〃平面當。擔，然后由面

面平行的判定定理可求證.

19.【答案】(1)證明：???△PBC為等邊三角形，點。為BC的中點，.?.P01BC,

\,平面PBC_L平面ABC,平面PBCD平面ABC=BC,P。u平面P8C,

第18頁，共24頁

POJ■平面ABC,

ACu平面ABC,

：.PO1AC,

■■AC1PB,POCPB=P,PBu平面PBC,P。u平面P3C,

ACJL平面PBC,

■■ACu平面PAC,

：.平面PAC1平面PBC.

(2)解：取CO中點G,連結(jié)EG,FG,

???E為PO的中點，EG///PC,

???EGC平面PAC,PCu平面PAC,

：.EG〃平面PAC,

產(chǎn)是AB上的點，AF^AAB,EF〃平面PAC,

且EGOEF=E,EG,EFu平面EFG,

：.平面EFG〃平面PAC,

因為平面P4Cn平面ABC=AC,平面EFGn平面ABC=FG,

FG//AC,

.AFCG1

.."=布=而=7

的值為:.

4

【解析】本題考查面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，線面平行的判定定

理，以及面面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應用，屬于中檔題.

⑴由已知平面PBC1平面ABC,又由APBC為等邊三角形，點。為8C的中點，得到

P01BC,利用面面垂直的性質(zhì)得到P。_L平面ABC,進一步利用線面垂直的性質(zhì)定理

得到P014C,結(jié)合已知的4CJ.PB,利用線面垂直的判定定理得到4C1平面P3C,

繼續(xù)利用面面垂直的判定定理得到結(jié)論的證明；

(2)取CO中點G,連結(jié)EG,FG,得到EG〃PC,利用線面平行的判定定理得到EG〃

平面PAC,進一步利用面面平行的判定定理得到平面EFG//平面PAC,于是得到

FG//AC,則可得到；I的值.

20.【答案】解：(1)如圖，延長AM與8C交于點。，連接P。，

直線PQ即為所求交線/.

(2)因為四邊形ABCD是正方形，

所以4B1BC.

又平面1平面ABCD,平面2480平面ABC。=AB,BCu平面ABCD,

所以BC，平面PAB,

又4Pu平面PAB,

第20頁，共24頁

所以4P1BC.

(3)如圖，過點P作PH1AB于點”，連接CH,

因為平面R4B_L平面ABCD,平面P4Bn平面48CD=AB,PH1AB,PHu平面

PAB,

所以PH平面ABCD

所以NPCH即為PC與平面ABC。所成的角，

在△APB中，44PB=90。，AP=2,AB=4,

所以PB=2W，Z-PAB=60°,

從而PH=V3.BH=3,

在RMBCH中，CH=5,

所以tan4PCH=—=—.

CH5

所以PC與平面ABC。所成角的正切值為g.

【解析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的求法，屬于拔高題.

(1)延長AM與BC交于點0,連接P。，即可得解；

(2)由正方形的性質(zhì)可得ZB1BC,由面面垂直的性質(zhì)可得，BC_L平面PAB,即可得

證；

(3)過點P作PHLAB于點H,連接C”，由面面垂直的性質(zhì)可得PH1平面4BCD則

NPCH即為PC與平面ABC。所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

21.【答案】解：(1)證明：因為A8為半圓。的直徑，點C在半圓弧施上，

所以BC：C,

又平面PAC，平面ABC,

且平面P4Cn平面48c=AC,

而BCu平面ABC,所以BC_L平面PAC,

又因為P4u平面PAC,

所以P41BC.

(2)解法一：取PC的中點為。，連接AO,

因為P4=PC=AC=2,

所以AD_LPC,且4D=V5，

由(1)知BC_L平面PAC,

所以8C_L4。，而PCCBC=C,

所以AD1平面PBC,

所以點A到平面PBC的距離等于4。=V3.

解法二：設點A到平面P8C的距離等于d,BC=h,

由(1)知BC1平面PAC,所以BC1PC,

因為P4=PC=AC=2,

故4PBC的面積為:xPCxBC=h,

△P4C的面積為V5，

因為三棱錐4-PBC與三棱錐B-P4C的體積相等，

所以］x/ixd=1xV3x/i,

所以d=V3>

所以點A到平面P8C的距離等于8.

【解析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點到平面的距離，考查棱錐的體積計

算，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

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(1)推導出BC1AC,由此能證明BC_L平面PAC,進而得PZJLBC.

(2)解法一：取PC的中點為。，連