八年級數(shù)學(xué)全等三角形(培優(yōu)、數(shù)學(xué)競賽)

八年級培優(yōu)班數(shù)學(xué)全等三角形復(fù)習(xí)題

1.如圖1,已知在等邊AABC中，BD=CE,AD與BE相交于P,則NAPE的度數(shù)是

2.如圖2,點(diǎn)E在AB上，AC=AD,BC=BD,圖中有對全等三角形。

3.如圖3,OA=OB,OC=OD,ZO=60°,ZC=25°,則/BED等于度。

4.如圖4所示的2X2方格中，連接AB、AC,則/1+N2=度。

5.如圖5,下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結(jié)論，推出一個正確的命題。

()

①AE=AD；②AB=AC；③OB=OC；④NB=NC。

6.如圖6,在△ABC中，/BAC=90°,延長BA到點(diǎn)D,使AD='AB,點(diǎn)E、F分別為邊BC、

2

AC的中點(diǎn)。

(1)求證：DF=BE；

(2)過點(diǎn)A作AG〃BC,交DF于點(diǎn)G,求證：AG=DG?

7.如圖7,在四邊形ABCD中，對角線AC平分/BAD,AB>AD,下列結(jié)論正確的是()

A.AB-AD>CB-CDB.AB-AD=CB-CD

C.AB-AD<CB-CDD.AB-AD與CB-CD的大小關(guān)系不確定

圖7圖8

9.如圖9,在aABC中，AC=BC=5,ZACB=80°,0為aABC中一點(diǎn)，ZOAB=10°，ZOBA

=30°,則線段AO的長是

c

圖9圖10

10.如圖10,己知BD、CE分別是AABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP=

AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB。求證：

(1)AP=AQ；

(2)APlAQo

11.如圖11,在AABC中，ZC=60°,AOBC,又△ABC'、ABCA',

△CAB'都是AABC形外的等邊三角形，而點(diǎn)D在AC上，且BC=DC。

(1)證明：ZkCBD四△B'DC；

(2)證明：ZXAC'D四ZXDB'A；

12.如圖12,在aABC中，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，若4ADB絲EDBgEDC,則/C的度數(shù)

13.如圖13,已知4ABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和4ABC全等的圖形

是o

14.如圖14,在AABC中，AD±BC,CE1AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于H點(diǎn)，請你添

加一個適當(dāng)?shù)臈l件:,使△AEHdCEB。

圖16

15.如圖15,在aABC中，已知AB=AC,要使AD=AE,需要添加的一個條件是。

16.有一腰長為5cm,底邊長為4cm的等腰三角形紙片，沿著底邊上的中線將紙片剪開，得到兩個

全等的直角三角形紙片，用這兩個直角三角形紙片拼成的平面圖形中有.個不同的四邊形。

17.如圖16,Z\ABF和AADC是AABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若Nl：Z2：Z3=28：

5：3,則Na的度數(shù)為。

18.如圖17,已知CELAD于E,BFLAD于F,你能說明△BDF和aCDE全

等嗎？

若能，請你說明理由；若不能，在不用增加輔助線的情況下，請?zhí)砑悠渲?/p>

一個適當(dāng)?shù)臈l件，這個條件是__________________________,來說明這

兩個三角形全等，并寫出證明過程。

19.如圖19,在aABC中，AB=AC,過點(diǎn)A作GE〃BC,

角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H,它們的延長線分別交GE圖17

于點(diǎn)E、G?試在圖中找出3對全等三角形，并對其中一

對全等三角形給出證明。

B

圖19

20.如圖20,在△AFD和ABEC中，點(diǎn)A、E、F、C在同一直

線上，有下面四個論斷：①AD=CB；②AE=CF；③NB=ND；

④AD〃BC。請用其中有一個作為條件，余下的一個作為結(jié)論，

編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程。

圖20

21.如圖21一①，小明剪了一個等腰梯形ABCD,

其中AD〃BC,AB=DC；又剪了一個等邊△EFG,

同桌的小華拿過來拼成如圖②的形狀，她發(fā)現(xiàn)AD

與FG恰好完全重合，于是她用透明膠帶將梯形

ABCD與4EFG粘在一起，并沿EB、EC剪下。

小華得到的4EBC是什么三角形？請你作出判斷

并說明理由。

AD

22.如圖22,在AABC與4DEF中，給出以下六個條件：①八A

AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；@ZA=ZD；⑤/B=N/\/\

F；⑥/A=/D,以其中三個條件作為已知，不能判斷4ABC/\/\

與aDEF全等的是()B"----QE"-----

A.①⑤②B.(D@③C.④⑥①D.②③④

23.如圖23(1),在AABC中，D、E分別是AB、AC的中圖22

點(diǎn)，將4ADE沿線段DE向下折疊，得到圖23(2),下列關(guān)于圖23(2)的四個結(jié)論中，不一定成

立的是()

A.點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)B,ZB+Zl+ZC=180°

C.ZkDBA是等腰三角D.DE〃BC

圖23圖24

24.如圖24,已知MB=ND,NMBA=/NDC,下列不能判定aABM^4CDN的條件是（）

A.ZM=ZNB.AB=CDC.AM=CND.AM〃CN

25.如圖25,在aABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，BD=BE?

（1）請你再添加一個條件，使得△BEA^^BDC,并給出證明，你

添加的條件是：。并給出證明。

（2）根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形：

（只要求寫出一對全等三角形，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用

其他字母，不必寫出證明過程）。

圖25

26.如圖26,在aABC中，NABC=45°,AD_LBC于D點(diǎn)，E在AD

上，且DE=CD,求證：BE=AC。

圖26

27.已知：如圖27,給出下列三個式子：?EC=BD：②NBDA=NCEA；

③AB=AC；請將其中的兩個式子作為題設(shè)，一個式子作為結(jié)論，構(gòu)成一個

真命題（收發(fā)室形式：如果……，那么……），并給出證明。

力圖27

28.如圖28,在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,已

知/ADC=NBCD,AD=BC,求證：AO=BOo

D

圖28

29.如圖29,在AABC和4DEF中，B、E、C、F在同一直

線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設(shè)，余下一

個作為結(jié)論，寫一個真命題，并加以證明。

①AB=DE；②AC=DF；③NABC=NDEF；④BE=CF。

圖29

30.如圖30,己知aABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB

上，且aDEF也是等邊三角形。

(1)除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想

是正確的；

(2)你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化想到得到？寫出變化過程。

圖30

31.如圖31,點(diǎn)B在AE上，ZCAB=ZDAB,要使△ABCgZ\ABD,可補(bǔ)充的一個條件是:

_____________________________________(寫一個即可)。

32.如圖32,AC交BD于點(diǎn)O,請你從下面三項(xiàng)中選出兩個作為條件,

另一個為結(jié)論，寫出一個真命題，并加以證明。

①OA=OC；②OB=OD；③AB〃DC。

33.如圖33,要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無

法直接度量A、B兩點(diǎn)間的距離。請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)

計(jì)一測量方案。

（1）畫出測量圖案；

（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；

（3）設(shè)計(jì)AB的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）。

34.如圖34,在AABC中，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E,DE

=FE,AE=CE,AB與CF有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論。

圖34

35.如圖35,0P是ZAOC和NBOD的平分線，OA=OC,OB=OD?

求證：AB=CDo

36.如圖36,已知AB=AC,

（1）若CE=BD,求證：GE=GD；

（2）若DE=mBD（m為正數(shù)），試猜想GE與GD有何關(guān)系。（只寫結(jié)論，不證明）

37.復(fù)習(xí)“全等三角形”知識時，都是布置了一道作業(yè)題：

“如圖37（1）,已知在4ABC中，AB=AC,P^AABC

內(nèi)任意一點(diǎn)，將AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ,使NQAP=

ZBAC,連接BQ、CP,則BQ=CP。”

小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過圖（2）的分析，證明了

△ABQ絲ZXACP,從而證得BQ=CP,之后，他將點(diǎn)P移到

等腰三角形ABC之外，原題中其他條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=

CP”仍然成立，請你就圖（2）給出證明。

38.文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命

題時，畫出圖形，寫出“已知”“求證”（如圖38）,她們對各自所作的

輔助線描述如下：

文文：”過點(diǎn)A作BC的中垂線AD,垂足為D”；

彬彬：“作AABC的角平分線AD”。

數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后說：“彬彬的作法是正確的，而

文文的作法需要訂正

（1）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里；

（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程。

39.將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖39（1）擺放在一起,它們的較短直角邊長為3。

圖39

（1）將4ECD沿直線/向左平移到圖（2）的位置，使E點(diǎn)落在AB上，則CC'=；

（2）將4ECD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，使點(diǎn)E落在AB上，則4ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的

度數(shù)=:

(3)將4ECD沿直線翻折到圖(4)的位置，ED'與AB相交于E求證：AF=FD'。

40.已知：點(diǎn)O至AABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC。

(1)如圖40(1),若點(diǎn)O在邊BC上，求證：AB=AC；

(2)如圖(2),若點(diǎn)O在AABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；

(3)若點(diǎn)O在aABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示。

圖40

41.下列條件中，能判定兩個直角三角形全等的是()

A.兩個銳角相等B.兩條邊對應(yīng)相等

C.一條邊與一個銳角對應(yīng)相等D.斜邊與一個銳角對應(yīng)相等

42.如圖43,AD是AABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DEJLDF,則()

A.BE+CF>EFB.BE+CF=EF

C.BE+CFVEFD.BE+CF與EF的大小關(guān)系不確定

43.如圖44,在AABC中，E、D分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，BD、CE交于F,AF的延長線交

BC于H點(diǎn)，若N1=N2,AE=AD,則圖中的全等三角形共有()對。

A.3B.5C.6D.7

44.如圖45,將aABC繞著C點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°,B點(diǎn)落在B'點(diǎn)位置，A點(diǎn)落在A'

點(diǎn)位置，若ACLA'B',則NBAC=。

45.如圖46,在矩形ABCD中，AB=8,BC=4。將矩形ABCD沿AC折疊，則重疊部分4AFC

46.如圖47,設(shè)正aABC的邊長為2,M是AB邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上的任意一點(diǎn)，PA+

PM的最大值和最小值分別記為s和t,則/一「=。

47.如圖48,D為等邊aABC內(nèi)一點(diǎn)，DB=DA,BF=AB,/DBF=/DBC,則NBFD的度

數(shù)為______

48.如圖49,在AABC和△A'B'C'中，CD、

C'D'分別是NACB、A'C'B'的角平分線，

且CD=C'D',AB=A'B',NADC=NA'

D'C'。你能判斷AABC與△A'B'C'全等

嗎？如果能，請給出證明；如果不能，請說

明理由。

圖49

49.如圖50,AABC是正三角形，△ABG的三條邊AB、

B￡、CA交AABC各邊于&、C3>A?、A3、B2>B3,已知A2c3

=C2B；!=B2A3,且2AA請你證明:AIB」CA。

提示：如圖過A3作A3M〃C|A1，過B3作B3M〃AB。連結(jié)C?M、A2MO

△MB3c2為正三角形。四邊形MC2c3A2是平行四邊形

有MA22+AjM2—A2Aj2

A3M_LA2M

A1B1_LCiAio

E

50.如圖51,點(diǎn)C在線段AB上，DA±AB,EB1AB,FC±AB,且DA

=BC,EB=AC,FC=AB,NAFB=51°,求/DFE的度數(shù)。

提示：連結(jié)AE、BD

△ABE^AFCAAABD^ACFB

△AEFZ\BDF都等腰直角三角形。

51.如圖52,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,NABC=NAED=90°,

求五邊形ABCDE的面積。

提示：旋轉(zhuǎn)4AED至4ABF處。4ACF且Z\ACD

52.如圖53,在RtZXABC中，ZACB=90°,CDJ_AB于D,AE平

分NBAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上的一點(diǎn)，且BF=CE。

求證：FKZ/ABo

提示：過E作EG_LAB于G。

△CKF^AEGB

ZCFK=ZB

53.已知aXYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(NZ=90°),它的3個項(xiàng)點(diǎn)分別在等腰

RtAABC(NC=90°)的三邊上。求aABC直角邊長的最大可能值。

解：

(1)如圖1,頂點(diǎn)Z在斜邊上?取XY的中點(diǎn)M,連CM,ZM.CZ,并作邊AB上的高CN,則CZ《CM+MZ=}?工y+/工了

=xy=V2.XCN&CZ,所以CN<72.CA=V2CN<2,

(2)如圖2,頂點(diǎn)Z在直角邊CA(或CB)上，由對稱性.不妨設(shè)Z在CA上.設(shè)CX=z,CZ=?并過丫作YHJ_CA于H.

易證△ZYH&ZXXZC,得HZ=CX=jr,〃y=CZ="又4AHy為等腰直角三角形，則AH="設(shè)AC=&,則2y+x

=8,即r—b—2y.在Rt^CXZ中，曠+(6_2y>2=11即5y?-4勿+y一1=0.因?yàn)閥為實(shí)數(shù)，則d=166*-20(62-

1)=20—4〃)0,6<行.當(dāng)b=&■時.曠=緡',才=宜,綜合(1)、(2)知，6的最大值為用.

00

Y~B

2X

圖1

圖2

注：其中An/—dac,為韋達(dá)定理：當(dāng)A>0時，一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時,

一元二次方程有一個實(shí)數(shù)根；￥△<(),一元二次方程無實(shí)數(shù)根。

54.如圖54,AA'、BB'、CC'交于點(diǎn)O,且AA'=BB'=CC'=1,

NAOC'=NBOA'=NCOB'=60°。求證：

(I)SAAOC+SABOA+S&COB<--;

4

(2)SAAOC，、SABOA,、SACOB中至少有一個不大于——o

16

證明：(1)延長C'C至D,取CD=C'O,延長BB'至E,取B'E=BO。

則4ODE為正三角形

在ED上取EF=OA',連接B'F、CF。

則△EBKZWBA',△CDF^AC，0A

SAEOD=~~

4

SAAOC+S/ABOA+SACOBV

1

oX-

a-C/u>

(2)假設(shè)SAAOC^―--、S^BOA>~~~、S4

1616

z\1

〃-

vn_4/)>

z~、4

△COB>——z\1

16cn〃J>-

v_/4

記OA=a,OB=6,OC=c，則根據(jù)余

弦定理求面積公式，有:三式相乘

a(l-c)sin60°百

>一abc{\-?)(1-8)(1-c)>

2136

/?(1—a)sin60°>

而0<a(l-a)<"+=；，故

216有

c(l-/?)sin60°>一

216