浙江科技學(xué)院大二理學(xué)專業(yè)線性代數(shù)試卷及答案(一)

浙江科技學(xué)院

20XX-20XX學(xué)年第二學(xué)期末考試試卷B卷

一、填空題（每小題3分，共21分）

1.在六階行列式中，項(xiàng)內(nèi)5a23a32a44a51a66的符號為

2.設(shè)行列式""=〃，則行列式"

“21“21a2\

然

氐

摒3.設(shè)a=(l,2,3),令4=。，,，則A，=

4.設(shè)向量組a，=(a,3,l),=(1,2,1),/=(2,3,1)的秩為2,則“=.

’01061，2、

5.設(shè)矩陣A=1-3-3,已知a=-1是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)

108J

卜2J,

的特征值是.

’1、

6.設(shè)3階方陣A與對角矩陣/=2相似，則,3_5儲+74=______,

I3,

222

7./(X1,X2,X3)=X1-2X2+3X3+4X1X3—6X2X3>貝U該二次型的矩陣

是

二'選擇題(每小題3分，共21分)

3-12

1.設(shè)矩陣A=10-1,A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于(1,2)的元

-214

素是().

(A)-6(B)6(C)2(D)-2

2.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是().

(A)|A|2=1(B)A-1=Ar

(C)|A|必為1(D)A的行(列)向量組是正交單位向量組

3.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式=則必有().

(A)A=0(B)5。。時A=0

(C)AwO時6=C(D)|4］。0時5=C

4.已知3x4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩(A，)為().

(A)1(B)2(C)3(D)4

5.設(shè)%是非齊次方程組AX=8的一個解，囚,見人&,是4*=0的基礎(chǔ)解系，

則().

(A)線性相關(guān)

(B)4”區(qū),%,-一見線性無關(guān)

(C)40外,…%的線性組合是的解

(D)%,?,%,i%的線性組合是"=0的解

6.設(shè)向量組a,4,4線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是().

(A)一&2，。2-%，%一%(B)即。2，％+。1

(C)%%，2%-3a2(D)%，。3,2%+。3

7.設(shè)〃階方陣4,5有共同的特征值，且各有〃個線性無關(guān)的特征向量，則

).

(A)A與8相似(B)A^B,但|4一四=()

(C)A=B(D)A與5不一定相似，但|A|=|3|

三'解答題(共52分)

-1135

135-1

1.(6分)計(jì)算行列式。=的值

35-11

5-113

2.(8分)設(shè)〃階方陣A滿足*一4-3E=O,求證A-2￡可逆并廠

得分

求(A-2E)T.

3.（8分）設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣，若|川=;，求

（2A尸-5T.

4.（10分）用初等變換法解非齊次線性方程組

得分

2Xj+x2-x3+x4=1

4X1+2X2-2X3+X4=2,（要求寫出通解的向量形式）

2x,+x2-x3-x4=1

5.(8分)求向量組%=(1,0,2,11，%=(1,2,0,11,

?3=(2,1,3,0/,%=(1,-1,3,-1/的秩及一個極大無關(guān)組.

‘2-20、

6.（12分）設(shè)A=-21-2，求一個正交矩陣尸，使尸一1女尸=/

得分

、。一20,

為對角陣.

四、證明題（6分）.——

|得分

設(shè)0]=4+3a2+2a3,Pi=2%+4+3a3,63=3al+2a2+%,已知

線性無關(guān)，證明：仇，仇4線性無關(guān).

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20XX-20X學(xué)年第二學(xué)期末考試試卷B卷

考試科目線性代數(shù)B考試方式閉卷完成時限2小時

擬題人工程數(shù)學(xué)組審核人批準(zhǔn)人20X年06月27日

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題(每小題4分，共20分)

4-1r

1.2.人-〃3.642-224.25.16.18

、3-33,

'102、

7.0-2-3

、2-33,

二'選擇題(每小題4分，共20分)

1.(B)2.(C)3.(D)4.(C)5.(C)6.(B)7.(A)

三、解答題(共52分)

1.(6分)解：

弓+。

-135-135-1135

弓+3。43G

135-10480484

D

35-10881600—88

。一G

5-11304162800824

-1135-1135

r+r

4304840484

10246分

00-8800-88

0082400032

2.(8分)解

令A(yù)—2E=B,帶入*-A-3E=O得b2+33-E=O,

=B(B+3E)=E4分

即(A-2￡)(A+￡)=￡,6分

從而A-2E可逆，且

(A-2E)-1=A+E..........................................................................8分

3.(8分)解

因|川=，=0,故A可逆。由得A*=|A|AT,.......2分

2

-1-1-1

|(2A)-5A*|=-A-5x-A4分

22

5分

7分

=-81Ali=-16.8分

4.(10分)

21-1’21-101、

增廣矩陣5=(A,5)=42-212行變換000104

、21-1-11,、00000,

分

x=l-2x,+x

與原方程組同解的方程組為236分

x4=0

令Xi=0,巧,=0=丫2=1,5=0,得到一個特解〃*=(0,1,0,0)'.7分

與其對應(yīng)的齊次線性方程組同解的方程組為［”2=-2%+￡

分別令m=fi］，得基礎(chǔ)解系為

kX37U,

4=(-l,l,0,0)T&=(l，0，l，0)T，.....................9分

‘1/2、’0、

101

則通解n=c需+c^+〃*=q+C,,（C],c：GR）??,10分

220210

、0J

、0）

5.（8分）解

1121、

021-1

解：向量組構(gòu)成矩陣4=3,%，。3，。4）=2分

2033

110一"

<1000、

行變換）010-1

4分

0011

、0000,

所以秩為3,.......................................................................6分

極大無關(guān)組為％,%，4?.......................................................8分

6.（12分）解

2-220

由林后一川=22-12=（2-1）（2+2）（2-4）,

022

=24的特征值為4=1,4=-2,4=4.................................................4分

’2、

當(dāng)4=1時，由齊次線性方程組為（E-A）x=0,解得基礎(chǔ)解系&=1,將

<-2>

C、

其單位化，得叢=g1；...........6分

、-2,

當(dāng)友=-2時，由齊次線性方程組為（-2E-4）x=0,解得基礎(chǔ)解系

Jz=H，將其單位化，得P2=g..................................8分

，2、

當(dāng)4=4時，由齊次線性方程組為（4E-A）x=0,解得基礎(chǔ)解系或=-2

2、

將其單位化，得；

P3=-210分

J,

212、

令尸（〃，）；

=P”2P3=12-2,則P為正交矩陣,11分

2b