初中數(shù)學(xué)特殊平行四邊形解答題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練含答案

初中數(shù)學(xué)特殊平行四邊形解答題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練含答案

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題(共15題)

,__…,ZADB=ZABD=-ABDC_

1、如圖，在四邊形3CQ中，AD//BC,NC=90。，2,萬(wàn)交BC

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF1BD,垂足為F,且EF=EC.

(1)求證：四邊形出灰)是菱形；

(2)若AD=4,求出如的面積.

2、如圖，在等腰直角三角形3c中，乙4c8=90。，AC=BC=2^5,邊長(zhǎng)為2的正方形

ZSFG的對(duì)角線交點(diǎn)與點(diǎn)C重合，連接加，BE.

(1)求證：ZACD納BCE；

(2)當(dāng)點(diǎn)O在“BC內(nèi)部，且ZADC=90。時(shí)，設(shè)公與工相交于點(diǎn)M,求期的長(zhǎng);

(3)將正方形DEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點(diǎn)A、D、下三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接

寫(xiě)出題的長(zhǎng).

G

3、如圖（1）,在菱形ABCD中，ZABC=60°，點(diǎn)E在邊CD上（不與點(diǎn)C,D

重合），連結(jié)四，交8〃于點(diǎn)少.

（1）如圖（2）,若點(diǎn)"在BC邊上，且龐=CM,連結(jié)AM,EM.求證：三角形

AEM為等邊三角形；

DF_

（2）設(shè)而"，求tanZAFB的值（用x的代數(shù)式表示）；

DF

=x

（3）如圖（3）,若點(diǎn)G在線段BF上，且FG=2BG,連結(jié)AG、CG,BF,

立

四邊形AGCE的面積為S1,“BG的面積為S2，求應(yīng)的最大值.

%

trcBMCBC

<S1）（B2）<H3>

4、如圖，在4ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分ZBAC,

CE1AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE

（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形

（2）線段AB,BF,AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論

5、在矩形ABCD^,AB=\,BC=a，點(diǎn)、￡是邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將△曲E沿

幺后翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'.

(1)如圖，設(shè)BE=X,BC=6在點(diǎn)E從5點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)的過(guò)程中.

①座'+3最小值是,此時(shí)x=

②點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

(2)如圖，設(shè)BS=5a,當(dāng)點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕落在矩形3C。的邊上時(shí)，求。的值.

6、如圖，矩形力靦的對(duì)角線然、8〃相交于點(diǎn)0,BE//AC,AEHBD.

(1)求證：四邊形A0BE是菱形；

(2)若乙4。8=60。，AC=4,求菱形加切的面積.

7、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)G在射線OD上，且GD=3OD,

過(guò)點(diǎn)G作GS〃⑵交射線0C于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作OE的垂線，與過(guò)點(diǎn)G作OG的垂線

交于點(diǎn)P,得到矩形OEFG.射線AD交線段GF于點(diǎn)H,將AGZW沿直線AH折疊,

BD_

得到當(dāng)點(diǎn)M在矩形OEFG的邊上時(shí)，AC=.

8、如圖，已知/△/阿中，/ABC=90°，先把△48。繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至

&DBE后,再把△ABC沿射線平移至XFEG,DF、FG相交于點(diǎn)H.

（1）判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）連結(jié)Q7,求證：四邊形CBEG是正方形.

9、已知四邊形48（小為凸四邊形，點(diǎn)"、N、P、0分別為43、BC、CD、DA±

的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），下列說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）

①對(duì)于任意凸四邊形ABCD,一定存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形MNPO是平行四邊形；

②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；

③如果四邊形ABCD為任意矩形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形；

④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形.

10、如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,DH±AB于點(diǎn)H,

連OH接，求證：ZDHO=ZDCO.

11、如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)￡為BC邊上任意一點(diǎn)(點(diǎn)￡不與6、C重合),

點(diǎn)/在線段/后上，過(guò)點(diǎn)下的直線分別交、CD于點(diǎn)、M、N.

(1)求證：MN=AE

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸為中點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，連接正方形的對(duì)角線BD、MN與

BD交于點(diǎn)G,連接跖.求證：BF=FG.

12、對(duì)于平面直角坐標(biāo)系》。y中的圖形"，N,給出如下定義：如果點(diǎn)P為圖形M上

任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為圖形N上任意一點(diǎn)，那么稱(chēng)線段尸。長(zhǎng)度的最小值為圖形M,/V的

“近距離”，記作.(MM),特別地，當(dāng)圖形"與圖形1存在公共點(diǎn)時(shí)，圖形"，"的

“近距離”為0.若圖形M,/V的“近距離”小于或等于1,則稱(chēng)圖形M,N互

為“可及圖形”

若圖形"為邊長(zhǎng)等于2的正方形ABCD,其對(duì)角線的交點(diǎn)記為正方形的中心G.

(1)當(dāng)正方形48⑦的頂點(diǎn)分別為：*(T1),B(TT),C(LT),Q(L1)

①如果點(diǎn)笛切，尸(3,4),那么?㈤正方形加8)=

d(F,正方形=

②如果直線y=x+&與正方形ABCD互為“可及圖形”，求的取值范圍;

(2)將(1)中正方形沿x軸方向平移，設(shè)直線y=-x+6與X軸交于點(diǎn)M，與y軸

交于點(diǎn)N,如果正方形46切和NMNO互為“可及圖形”，直接寫(xiě)出正方形中心G的

橫坐標(biāo)m的取值范圍.

13、如圖，四邊形98是菱形，對(duì)角線AC,皿相交于點(diǎn)0,^BOC=LCEB.

(1)求證：四邊形。履C是矩形；

(2)若乙4夙7=120。，3=6,求矩形。烈。的周長(zhǎng).

14、在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點(diǎn)0,N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC

邊上，且8"=6,P為對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM-PN的最大值.

BMC

15、如圖，DB是口498的對(duì)角線.

(1)尺規(guī)作圖(請(qǐng)用28鉛筆)：作線段8D的垂直平分線EF,交AB,DB,QC分

別于E,O,F,連接DE,BF(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

(2)試判斷四邊形。廢序的形狀并說(shuō)明理由.

============參考答案============

一、解答題

1、(1)見(jiàn)解析；(2)4道

【分析】

(1)先利用角平分線判定定理證得N1=N2,再由已知角的等量關(guān)系推出ZZ5D=Z1,并

可得ABHDE,則可證明四邊形斯屈D是平行四邊形，最后由=得AB=AD,

即可證得結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)可得DE=BE=AD=4,再根據(jù)角的等量關(guān)系求出N2=30。，則可利用

三角函數(shù)求得CD=DE8$30。=2上,此題得解.

【詳解】

(1)證明：如圖，

ECJ.DC,

又EFA.BD,且EF=EC,

???DE為的角平分線，

Z.Z1=Z2,

4DB='/BDC

???2,

：.乙4Z）3=N1,

?.?ZADB=ZABD9

：.乙血）=N1,

???ABUDE,

又?/AD//BC,

???四邊形曲即是平行四邊形，

丁ZADB=ZABD,

?，.AB=AD,

四邊形應(yīng)陽(yáng)。是菱形.

（2）解：由（1）得四邊形加直）是菱形,

DE=BE=AD=4,

?/AD//BC,ZC=90°,

ZADC=90°,

又Z1=Z2=Z24D5,

.?.Z2=30°,

CD=DEcQs300=2y/3,

.$皿=；履如<x4x2/=4的

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2、(1)見(jiàn)詳解；(2)1^；(3)如T或如+1

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得ZACD=ABCE,AC=BC,CD;

CE,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

(2)先求出DC二貶,AD=3也,再證明4AM的KMG,進(jìn)而即可求解；

(3)分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM±AE,②當(dāng)點(diǎn)￡在

線段AD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM±AD,分別求解，即可.

【詳解】

解：(1)在等腰直角三角形3c中，AC=BC,4以=90。，在正方形DEFGdp,

CD=CE,ZDCE=90°,

AZDCE-ZBCD=ZACB-ZBCD,即：ZACD=ZBCE,

/.VACD^VBCE；

(2)?；正方形DMG的邊長(zhǎng)為2,

：.DC=GC=24-&=及,

'：ZADC=90°,

：.AD=耐汽可=3(

VZGDE=ZADC=90°,

.*.ZADM=ZCDE=45°,

AZADM=ZCGM=45°，即：AD//CG,

AD_AM372_AM

：.詬一西，即：~2y/5-AM,

3

/.AM=2

(3)①當(dāng)點(diǎn)〃在線段AE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM±AE,如圖,

???正方形加尸G的邊長(zhǎng)為2,

：.CM=^=2-2=1,AI/=力2扃一一如,

，AD=AM-DM二V19-1；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM±AD，如圖,

同理可得：CM=Z7#=24-2=1,AM=力"-J2向-P=如,

AD=AM+DM=V19+1.

綜上所述：AM=V19-1或719+1

B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理，相似三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理，畫(huà)出圖形，添加合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵.

s/3+y/3x19

3、(1)證明見(jiàn)解析；(2)3-3x；(3)7

【分析】

(1)如圖，連接4C證明都為等邊三角形，可得=再證明

從而可得答案；

(2)如圖，記公出。交于點(diǎn)。，設(shè))=a，0F=8,四邊形為菱形，乙姆C=60。,表示

Q4=—OB=—(a---=-----=x—=---

3'利用BFa+2b'則b1-x'再利用三角函數(shù)的定義可得答案;

(3)如圖，設(shè)由=想證明皿旗加州,$皿=了再表示S3=S2=*，SS=F，結(jié)

n

7S=%V_弋_巳4?%

合菱形的軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得："3-表示S/可得S23X尸可得

4%+%

—=—―-——=-3,+3x+4,

"2

3〃再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】

證明：（1）如圖，連接血

?.,菱形ABCD中，ZABC=60°,

\AB=BC=CD=AD,?ABC?ADCBAD=7BCD1201EBAC=?CAD?ACB60?,

\都為等邊三角形，

AC=AD,

QDE=CM,?ACM?ADE60?,

\VACM^VADE,

\AM=AE,1MAC7EAD,

\?MAC?CAE7CAE7RAD60?,

.?.△4度是等邊三角形

(2)如圖，記交于點(diǎn)。，

設(shè)3=氏。9=瓦四邊形.8為菱形，ZZ5C=60°,

\ACABD,OB=OD=a+b,?ABO30?,

\OA=^-OB=^-(a+by

Q-=X,

BFa+2b

1a+2b二1+竺

xaa

b_\1a_2x

凄一區(qū).展則g-匚?

vtan?j4F5

b3

需蕓=聾

(3)如圖，設(shè)瑞國(guó)=%

???四邊形如CO是平行四邊形,

\VDFE^BFAf

n

=/,

S\1BFA

,:FG=2BG,

,用U3G=&=不7,凡IGF

根據(jù)菱形的軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：&C/=57'

Q瞿嚼f

'SpAFD=x4=2,

XX

...nnn,2nAn,n

4?+〃

\員5——=-3x2+3x+4,

3x2

隊(duì)

Qa=-3＜。，所以W有最大值，

311119

x=f/2\=5-3?-3?-4=-

當(dāng)2?(3)2時(shí)，最大值為：424

【點(diǎn)睛】

本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角

形的判定與性質(zhì)，列二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活運(yùn)用以

上知識(shí)解題是解本題的關(guān)鍵.

*.BF=-(AB-AC),,w

4、(1)見(jiàn)解析；(2)2、,理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)G,證明^ASG=^AEC,得E為中點(diǎn)，通過(guò)中位線證明DE

〃AB,結(jié)合BF=DE,證明BDEF是平行四邊形

1

(2)通過(guò)BDEF為平行四邊形，證得BF=DE=2BG,再根據(jù)^ASG=^AEC,得AC=AG,

BF=^(AB-AC)

用AB-AG=BG,可證

【詳解】

(1)證明：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)G

VAE±CE

ZAEG=ZAEC=90'

在&4EG和HiAEC

'Z.GAE=Z.CAE

<AE=AE

ZAEG=ZAEC

：.txAEG=LAEC

.\GE=EC

VBD=CD

ADE為ACGS的中位線

ADE//AB

VDE=BF

...四邊形BDEF是平行四邊形

(2)BF=-2(，AB-AC)

理由如下：

：四邊形BDEF是平行四邊形

/.BF=DE

VD,E分別是BC,GC的中點(diǎn)

1_

ABF=DE=2BG

,/AAEG=tiAEC

.*.AG=AC

工工

BF=2(AB-AG)=2(AB-AC).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的證明，中位線的性質(zhì)，全等三角形的證明等綜合性內(nèi)容，作好

適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵.

也2=5&也

5、（1）①2,7；②號(hào)"；（2）或a~~

【分析】

（1）①由題意，當(dāng)點(diǎn)歹恰好在直線〃'上時(shí)，鹿'+辦有最小值，然后求出答案即可;

②先證明點(diǎn)歹在以A為圓心，1為半徑的圓上，再求出ZBAB'=2ZBAC=t20°,然后根據(jù)

弧長(zhǎng)公式，即可求出答案；

（2）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)夕落在AD邊上時(shí)，四邊形的E夕為正方形，然后求出答案;

②當(dāng)點(diǎn)￡落在W邊上時(shí)，證明利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】

解：（1）①連接B'C,如圖1,

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=\,ZAB'E=AB,

'：四邊形ABCD是矩形，

ZAB'E=ZB=90°,

：.B'E±AB'；

當(dāng)點(diǎn)歲恰好在直線〃'上時(shí)，謖'+C?有最小值,

AB'+B'C=AC=〃序+犯2=#+（我2=2,

AB=-AC

：.2,B'C=1,

：.ZACB=3Q°,AB'=B'C,

：.ABAC=90°-30°=60°,AE=CE,

：.^EAC=Z.ACB=30°,

/.Za4E=30°,

BE=^AB=J^

：.33；

皂

故答案為：2,3；

②當(dāng)點(diǎn)￡從8到點(diǎn)C的過(guò)程中，AB'=\,

???點(diǎn)夕在以A為圓心，1為半徑的圓上，

由①知，44C=6。。，

ZBAB'=2ZBAC=120°,

儂’1_2

...點(diǎn)9的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：一玩一一胃；

2

yjr

故答案為：3；

（2）當(dāng)點(diǎn)夕落在皿邊上時(shí)（如圖），四邊形9為正方形,

B'D

/.BE=AB=\,

I"I

5

Ct——

解得3；

當(dāng)占

----1，、、、夕落在CD邊上時(shí)（如圖），

由折疊得B'E=BE=a,AB=AB=1

CE=-a…r-

5,BD=-a?

由△（?酩-△D8為得,

2_____

CE_DB'I

57~

a=±—

解得3,

a>0,

°二吏

3,

a="、a=吏

3或3;

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、含30度

直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握所學(xué)

的知識(shí)，正確進(jìn)行分析題意是解題的關(guān)鍵.

6、(1)證明過(guò)程見(jiàn)解答；(2)2g

【分析】

(1)根據(jù)應(yīng)'〃，AE//BD,可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形

的性質(zhì)，可以得到OA=OB,由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；

(2)根據(jù)ZAOB=60°,AC=4：,可以求得菱形/磔邊OA上的高，然后根據(jù)菱形

的面積=底x高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)證明：:BE//AC,AE//BD,

四邊形AOBE是平行四邊形，

四邊形ABCD是矩形，

1_工

/.AC=BD,OA=OC=2AC,OB=OD=2BD,

/.OA=OB,

/.四邊形AOBE是菱形；

(2)解：作跖_(tái)L處于點(diǎn)F,

四邊形ABCD是矩形，AC=4,

/.AC=BD=4,OA=OC=2AC,OB=OD=2BD,

OA=OB=2,

VZAOB=60°

2x避=4

:.BF=OB?sin乙AOB=2,

/.菱形AOBE的面積是：OA*BF=2x^3=2g.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面

積=底x高或者是對(duì)角線乘積的一半.

7、血或2

【分析】

由菱形和平行線的性質(zhì)得出ZABD=ZCBD=ZADB=ZDGE=ZCDB=ZHDG,由折疊的性質(zhì)得

DG=DM,GH=MH,ZHDG=ZHDM,分兩種情況討論：①若點(diǎn)M在EF上；②

若點(diǎn)M在0E上；由銳角三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理解答即可.

【詳解】

解：???四邊形ABCD是菱形，

/.ZABD=ZCBD=ZADB=ZCDB,AC±BD,

VGE//CD,

.,.ZDGE=ZCDB,

/.ZABD=ZCBD=ZADB=ZCDB=ZDGE=ZHDG,

由折疊的性質(zhì)得：DG=DM,GH=MH,ZHDG=ZHDM,

①若點(diǎn)M在EF上，如圖1所示:

設(shè)BD=20B=20D=2b,AC=2OA=2OC=2kb,

.*.DG=DM=30D=3b,OG=DG+OD=3b+b=4b,

OA_kb_

VtanZADB=歷一了~=k,

OE_GH_MH

：.OG~~DG~~DM=k,

.,.0E=k0G=4kb,GH=HM=3kb,

FH=0E-GH=4kb-3kb=kb,

過(guò)點(diǎn)D作DN±EF于點(diǎn)N,

VZFHM+ZFMH=ZFMH+ZDMN,

：.ZFHM=ZDMN,

'：ZF=ZDNM=90°,

.,.△MFH^ADNM,

FH_MHkb_3kb

：.,即礪廠拓

/.MN=b,

VDM2=DN2+MN2,

A(3b)2=(4kb)2+b2,

解得：k=E,或k=-5(不合題意舍去)，

OAV2

Z.0D=~2,

BD_20D_0D

：.AC--204~~0A~；

②若點(diǎn)M在OE上，如圖2所示:

設(shè)ZGDH=ZADO=ZABO=ZODC=a,OD=x,

則DG=3x,0G=4x,

VZM0G=ZDGH=90°,

/.GH=DG*tana=3x*tana,

OC=OD?tanQ二x?tana,

由折疊性質(zhì)知，DG=DM=3x,GM±DH,

???ZOGM+ZMGH=ZMGH+ZGHD=900,

：.ZOGM=ZGHD,

/.△OGM^AGHD,

OM_OG

~GD^GH9

GDOG_3x-4/_4x

0M=GH3x?tanatana,

由勾股定理得，OD2+0M2=DM2,

.X、(』=(3X)2

??tana,

解得：tana=0

...為=應(yīng)

BD_20D_0D_y/2

：.~^~~2OA~~0A~~2

BD0

綜上所述，而的值為：血或下，

V2

故答案為：血或2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形與矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握折疊的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

8、(1)FGA.ED,理由詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)及平移的性質(zhì)可得到ZDEB+ZGFE=90°,可得出結(jié)論；

(2)由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得BE=CB,CG〃BE,從而可證明四邊形CBEG是矩形,

再結(jié)合CB=BE可證明四邊形CBEG是正方形.

【詳解】

(1)FG1.ED.

理由如下：

VAABC繞點(diǎn)、8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△〃施后，

AZDEB=4ACB,

,：把△ABC沿射線平移至△FEG,

：.乙GFEA,

VZABC=90°,

AZA+ZACB=90°

/.4DEB+4GFE=90°,

AZFHE=90°,

，F(xiàn)G，ED；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得ZGEF=90°,ZCBE=90°,CG//EB,CB=BE,

'：CG//EB,

：./BCG=4CBE=9Q°,

AZBCG=90°,

/.四邊形BCGE是矩形，

,?CB=BE,

...四邊形CBEG是正方形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即旋轉(zhuǎn)或平移前后，

對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊都相等.

9、④

【分析】

根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可.

【詳解】

解：①對(duì)于任意凸四邊形/交9,當(dāng)點(diǎn)"、N、P、0分別為A5、BC、CD、DA

上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形肱懷。是平行四邊形，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；

②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形，

故原說(shuō)法錯(cuò)誤；

③如果四邊形ABCD為任意矩形，不一定存在一個(gè)四邊形為正方形，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；

④如果四邊形力比?為任意菱形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形，原說(shuō)法正確.

故答案是：④.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查四邊形綜合，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，是解

題的關(guān)鍵.

10、證明見(jiàn)解析.

【詳解】

試題分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得OD=OB,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半可得OH=OB,然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出ZOHB=ZOBH,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等求出ZOB

H=ZODC,然后根據(jù)等角的余角相等證明即可.

試題解析：???四邊形ABCD是菱形，

.*.OD=OB,ZCOD=90°,

VDH1AB,

.*.OH=2BD=OB,

/.ZOHB=ZOBH,

又VAB/7CD,

ZOBH=ZODC,

在RtACOD中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtADHB中，ZDHO+ZOHB=90°,

/.ZDHO=ZDCO.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì).

11、(1)見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解

【分析】

(1)作輔助線，構(gòu)建平行四邊形PMND,再證明△ABEDAP,即可得出結(jié)論；

(2)連接AG,EG、CG,構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明AG=EG=CG,再

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得ZAGE=90°，在燈△ABE和Rt△AGE中，利用直角

11

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=2AE,FG=2AE,則BF=FG.

【詳解】

證明：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D悴PD〃MN交.AB千P,則/APD=ZAMN,

'：正方形ABCD,

：.AB=AD,AB//DC,/DAB=4B=90°

，四邊形PMND是平行四邊形且PD=MN,

VZB=90°,

二N物￡+ABEA=90°,

?.?初V，于產(chǎn)，

/BAE+/AMN=90°,

：./BEA=ZAMN=AAPD,

又YAB=AD,4B=4DAP=90°,

.*.△ABEDAP(AAS),

：.AE=PD=MN.

(2)如圖，連接AG,EG、CG,

由正方形的軸對(duì)稱(chēng)性XABG9ACBG,

/.AG=CG,AGAB=AGCB,

YMV_L熊于9，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，

Z.AG=EG,

：.EG=CG,4GEC=/GCE,

：./GAB=ZGEC,

由圖可知乙GEB+4GEC=180°,

：.ZGEB+ZGAB=180°,

又Y四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°,ZABE=90°,

AZAGE=90°,

在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE為斜邊，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，

BF=2AE,FG=2AE,

：.BF=FG.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形，在有中點(diǎn)和直角三角形的前提條件下，

可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來(lái)證明兩條線段相等.

12、(1)①2,.②—2-<2+-J2-(2)4-陽(yáng)48+V^或

【分析】

(1)①根據(jù)近距離的定義，直接求解即可；②設(shè)直線^=犬+力與x軸、y軸的交點(diǎn)

分別是H,4，線段施的中點(diǎn)為0,連接陽(yáng)，則AQ就是直線V=x+6與正方形ABCD

的近距離，當(dāng)AQ=1時(shí)，列出關(guān)于b的方程，進(jìn)而即可求解；

(2)分兩種情況：①設(shè)在直線丁=-*+6上存在一點(diǎn)Pkx,-x+6)與正方形

A，B，C，D)的近距離為1,即D'P=\,延長(zhǎng)/'〃'交直線y=-x+6于點(diǎn)7,過(guò)點(diǎn)

尸作"J.7,可得x-(勿+l)=-x+6T=2,從而求出加的值；②若正方形繆

和NMW9可及的點(diǎn)在邊上時(shí)，此時(shí)正方形力版的邊長(zhǎng)與的近距離為1,則點(diǎn)G

與〃干的距離為2,進(jìn)而求出m的范圍即可.

【詳解】

解：(1)①:正方形4BC0,小此MTT),CUT,01。"(°’/，?、?

AD//x軸,

.?.點(diǎn)4°’力與力〃的最近距離為：即“，正方形題切=￡

如圖，連接DF,由圖可知：點(diǎn)F與正方形ABCD的最近距離就是DF的長(zhǎng)，

...DF=「-I)?+(4-a=上,即：一(凡正方形/衣⑺^而.

故答案是：L呵

②如圖，設(shè)直線了=x+8與X軸、夕軸的交點(diǎn)分別是〃，4,線段斷的中點(diǎn)為0,

連接AQ,則AQ就是直線""A與正方形ABCD的近距離，

〃z6\zO6

x(-Iz)x(

i2

--

。z22x

x(z)

2

+[--1)=1廠

當(dāng)40=1時(shí)，I2J12J,解得：b=2+42,,

同理，當(dāng)直線＞=x+8與y軸交于負(fù)半軸時(shí)，線'=入+6與正方形ABCD的近距離為1時(shí),

b=-2-^2,

直線y=x+3與正方形ABC?；椤翱杉皥D形”，b的取值范圍為:

—2-X3工2+?

(2)如圖，設(shè)在直線y=-x+6上存在一點(diǎn)p(X,-x+6)與正方形A‘B'C'D'

的近距離為1,即〃'尸=1,延長(zhǎng)交直線y=-x+6于點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)尸作分，

VZPTD'=ZNMO=45°,，'尸_LMN,

：.&。尸7是等腰直角三角形，

在

,：G(m,0),

近5一吏

x-(m+1)=-x+6-1=2,解得：m=4-0,x=2,

當(dāng)正方形A‘B'C'D'移至點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，存在一點(diǎn)G，與點(diǎn)G關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

,?M(6,0),

:.G'(8+0，0),

當(dāng)4-應(yīng)工切M8+0時(shí)，正方