數(shù)學(xué)物理方程谷超豪版第二章課后答案

第二章熱傳導(dǎo)方程§1熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題得提一均勻細(xì)桿直徑為,假設(shè)它在同一截面上得溫度就是相同得,桿得表面與周?chē)橘|(zhì)發(fā)生熱交換,服從于規(guī)律又假設(shè)桿得密度為,比熱為,熱傳導(dǎo)系數(shù)為,試導(dǎo)出此時(shí)溫度滿(mǎn)足得方程。解:引坐標(biāo)系:以桿得對(duì)稱(chēng)軸為軸,此時(shí)桿為溫度。記桿得截面面積為。由假設(shè),在任意時(shí)刻到內(nèi)流入截面坐標(biāo)為到一小段細(xì)桿得熱量為桿表面與周?chē)橘|(zhì)發(fā)生熱交換,可瞧作一個(gè)“被動(dòng)”得熱源。由假設(shè),在時(shí)刻到在截面為到一小段中產(chǎn)生得熱量為又在時(shí)刻到在截面為到這一小段內(nèi)由于溫度變化所需得熱量為由熱量守恒原理得:消去,再令,得精確得關(guān)系:或其中試直接推導(dǎo)擴(kuò)散過(guò)程所滿(mǎn)足得微分方程。解:在擴(kuò)散介質(zhì)中任取一閉曲面,其包圍得區(qū)域?yàn)?則從時(shí)刻到流入此閉曲面得溶質(zhì),由,其中為擴(kuò)散系數(shù),得濃度由變到所需之溶質(zhì)為兩者應(yīng)該相等,由奧、高公式得:其中叫做孔積系數(shù)=孔隙體積。一般情形。由于得任意性即得方程:3、砼(混凝土)內(nèi)部?jī)?chǔ)藏著熱量,稱(chēng)為水化熱,在它澆筑后逐漸放出,放熱速度與它所儲(chǔ)藏得水化熱成正比。以表示它在單位體積中所儲(chǔ)得熱量,為初始時(shí)刻所儲(chǔ)得熱量,則,其中為常數(shù)。又假設(shè)砼得比熱為,密度為,熱傳導(dǎo)系數(shù)為,求它在澆后溫度滿(mǎn)足得方程。解:可將水化熱視為一熱源。由及得。由假設(shè),放熱速度為它就就是單位時(shí)間所產(chǎn)生得熱量,因此,由原書(shū)71頁(yè),(1、7)式得4、設(shè)一均勻得導(dǎo)線(xiàn)處在周?chē)鸀槌?shù)溫度得介質(zhì)中,試證:在常電流作用下導(dǎo)線(xiàn)得溫度滿(mǎn)足微分方程其中及分別表示導(dǎo)體得電流強(qiáng)度及電阻系數(shù),表示橫截面得周長(zhǎng),表示橫截面面積,而表示導(dǎo)線(xiàn)對(duì)于介質(zhì)得熱交換系數(shù)。解:問(wèn)題可視為有熱源得桿得熱傳導(dǎo)問(wèn)題。因此由原71頁(yè)(1、7)及(1、8)式知方程取形式為其中為單位體積單位時(shí)間所產(chǎn)生得熱量。由常電流所產(chǎn)生得為。因?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度得電阻為,因此電流作功為乘上功熱當(dāng)量得單位長(zhǎng)度產(chǎn)生得熱量為其中0、24為功熱當(dāng)量。因此單位體積時(shí)間所產(chǎn)生得熱量為由常溫度得熱交換所產(chǎn)生得(視為“被動(dòng)”得熱源),從本節(jié)第一題瞧出為其中為細(xì)桿直徑,故有,代入得因熱源可迭加,故有。將所得代入即得所求:5*、設(shè)物體表面得絕對(duì)溫度為,此時(shí)它向外界輻射出去得熱量依斯忒---波耳茲曼(Stefan-Boltzman)定律正比于,即今假設(shè)物體與周?chē)橘|(zhì)之間只有輻射而沒(méi)有熱傳導(dǎo),又假設(shè)物體周?chē)橘|(zhì)得絕對(duì)溫度為已知函數(shù),問(wèn)此時(shí)該物體熱傳§導(dǎo)問(wèn)題得邊界條件應(yīng)如何敘述？解:由假設(shè),邊界只有輻射得熱量交換,輻射出去得熱量為輻射進(jìn)來(lái)得熱量為因此由熱量得傳導(dǎo)定律得邊界條件為:§2混合問(wèn)題得分離變量法用分離變量法求下列定解問(wèn)題得解:解:設(shè)代入方程及邊值得求非零解得對(duì)應(yīng)Ｔ為因此得由初始值得因此故解為２.用分離變量法求解熱傳導(dǎo)方程得混合問(wèn)題解:設(shè)代入方程及邊值得求非零解得n=1,2,……對(duì)應(yīng)Ｔ為故解為由始值得因此所以３.如果有一長(zhǎng)度為得均勻得細(xì)棒,其周?chē)约皟啥颂幘鶆虻鹊綖榻^熱,初始溫度分布為問(wèn)以后時(shí)刻得溫度分布如何？且證明當(dāng)?shù)扔诔?shù)時(shí),恒有。解:即解定解問(wèn)題設(shè)代入方程及邊值得求非零解:當(dāng)時(shí),通解為由邊值得因故相當(dāng)于視為未知數(shù),此為一齊次線(xiàn)性代數(shù)方程組,要非零,必需不同為零,即此齊次線(xiàn)性代數(shù)方程組要有非零解,由代數(shù)知必需有但因?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)之故。因此沒(méi)有非零解。當(dāng)時(shí),通解為由邊值得即可任意,故為一非零解。當(dāng)時(shí),通解為由邊值得因故相當(dāng)于要非零,必需因此必需即這時(shí)對(duì)應(yīng)因取正整數(shù)與負(fù)整數(shù)對(duì)應(yīng)一樣,故可取對(duì)應(yīng)于解T得對(duì)應(yīng)于解T得由迭加性質(zhì),解為由始值得因此所以當(dāng)時(shí),所以4.在區(qū)域中求解如下得定解問(wèn)題其中均為常數(shù),均為已知函數(shù)。[提示:作變量代換]解:按提示,引,則滿(mǎn)足由分離變量法滿(mǎn)足方程及邊值條件得解為再由始值得故因此5.長(zhǎng)度為得均勻細(xì)桿得初始溫度為,端點(diǎn)保持常溫,而在與側(cè)面上,熱量可以發(fā)散到到周?chē)媒橘|(zhì)中去,介質(zhì)得溫度取為,此時(shí)桿上得溫度分布函數(shù)滿(mǎn)足下述定解問(wèn)題:試求出解:引使?jié)M足齊次方程及齊次邊值,代入方程及邊值,計(jì)算后得要滿(mǎn)足:得通解為由邊值又得解之得因此這時(shí)滿(mǎn)足:設(shè)代入方程及邊值條件得求非零解時(shí),才有非零解。這時(shí)通解為由邊值得要,即有非零解,必須即令得它有無(wú)窮可數(shù)多個(gè)正根,設(shè)其為得對(duì)應(yīng)T為因此其中滿(mǎn)足方程再由始值得所以應(yīng)用滿(mǎn)足得方程,計(jì)算可得又所以得最后得其中滿(mǎn)足另一解法:設(shè)使?jié)M足為此取代入邊值得解之得因而這時(shí),滿(mǎn)足按非齊次方程分離變量法,有其中為對(duì)應(yīng)齊次方程得特征函數(shù),由前一解知為即代入方程得由于就是完備正交函數(shù)系,因此可將展成得級(jí)數(shù),即

由正交性得

又

所以

將此級(jí)數(shù)代入等式右端得滿(mǎn)足得方程為

由始值得

有解得方程,其通解為'由

得

即有解

因此

6、半徑為a得半圓形平板,其表面絕熱,在板得圓周邊界上保持常溫,而在直徑邊界上保持常溫,圓板穩(wěn)恒狀態(tài)得溫度分布。解:引入極坐標(biāo),求穩(wěn)恒狀態(tài)得溫度分布化為解定解問(wèn)題

(拉普斯方程在極坐標(biāo)系下形式得推導(dǎo)見(jiàn)第三章習(xí)題3),其中引入得邊界條件為有限時(shí),叫做自然邊界條件。它就是從實(shí)際情況而引入得。再引則滿(mǎn)足

設(shè)代入方程得

乘以再移項(xiàng)得

右邊為r函數(shù),左邊為函數(shù),要恒等必須為一常數(shù)記為,分開(kāi)寫(xiě)出即得

再由齊次邊值得由以前得討論知

對(duì)應(yīng)R滿(mǎn)足方程

這就是尤拉方程,設(shè)代入得

即

為兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)得特解,因此通解為

由自然邊界條件有限知在處要有限,因此必需由迭加性質(zhì)知滿(mǎn)足方程及齊次邊值與自然邊界條件,再由

得

因此所以 §3柯西問(wèn)題1.求下述函數(shù)得富里埃變換:(1)(2)(a>0)(3)(a>0,k為自然數(shù))解:(1)=(柯西定理)=或者=積分得又=故C=所以F[]=2I(P)=(2)=+或===2F[]=因===所以2.證明當(dāng)f(x)在內(nèi)絕對(duì)可積時(shí),F(f)為連續(xù)函數(shù)。證:因?qū)θ魏螌?shí)數(shù)p有即關(guān)于p絕對(duì)一致收斂,因而可以在積分下取極限,故g(p)關(guān)于p為連續(xù)函數(shù)。3.用富里埃變換求解三維熱傳導(dǎo)方程得柯西問(wèn)題:解:令對(duì)問(wèn)題作富里埃變換得解之得因=再由卷積定理得4、證明(3、20)所表示得函數(shù)滿(mǎn)足非齊次方程(3、15)以及初始條件(3、16)。證:要證滿(mǎn)足定解問(wèn)題原書(shū)85頁(yè)上已證解得表達(dá)式中第一項(xiàng)滿(mǎn)足因此只需證第二項(xiàng)滿(mǎn)足如第一項(xiàng),第二項(xiàng)關(guān)于得被積函數(shù)滿(mǎn)足若記第二項(xiàng)為被積函數(shù)為即故有即顯然得證。5.求解熱傳導(dǎo)方程(3、22)得柯西問(wèn)題,已知(2)(3)用延拓法求解半有界直線(xiàn)上熱傳導(dǎo)方程(3、22),假設(shè)解:(1)sinx有界,故==1+x無(wú)界,但表達(dá)式仍收斂,且滿(mǎn)足方程。因此=易驗(yàn)它也滿(mǎn)初始條件。(3)由解得公式知,只需開(kāi)拓使之對(duì)任何x值有意義即可。為此,將積分分為兩個(gè)與,再在第一個(gè)中用來(lái)替換就得由邊界條件得要此式成立,只需即作奇開(kāi)拓,由此得解公式為6.證明函數(shù)對(duì)于變量滿(mǎn)足方程對(duì)于變量滿(mǎn)足方程證:驗(yàn)證即可。因同理所以仿此所以7.證明如果分別就是下列兩個(gè)問(wèn)題得解。則就是定解問(wèn)題得解。證:驗(yàn)證即可。因所以又8.導(dǎo)出下列熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題解得表達(dá)式解:由上題,只需分別求出及得解,然后再相乘迭加即得。但所以9.驗(yàn)證二維熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題解得表達(dá)式為證:由第6題知函數(shù)滿(mǎn)足方程,故只需證明可在積分號(hào)下求導(dǎo)二次即可。為此只需證明在積分號(hào)下求導(dǎo)后所得得積分就是一致收斂得。對(duì)x求導(dǎo)一次得對(duì)有限得即與,下列積分就是絕對(duì)且一致收斂得。因?yàn)閷?duì)充分大得,每個(gè)積分都就是絕對(duì)且一致收斂得。絕對(duì)性可從充分大后被積函數(shù)不變號(hào)瞧出,一致性可從充分性判別法找出優(yōu)函數(shù)來(lái)。如第三個(gè)積分得優(yōu)函數(shù)為且收斂。因,故右端為一致收斂積分得乘積,仍為一致收斂積分。因而為絕對(duì)一致收斂得積分。從而有,對(duì)討論就是類(lèi)似得。從而證明表達(dá)式滿(mǎn)足方程。再證滿(mǎn)足始值。任取一點(diǎn),將寫(xiě)成