專題08圓的對稱性（4個知識點6種題型1個易錯考點2種中考考法）（原卷版）

專題08圓的對稱性（4個知識點6種題型1個易錯考點2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：圓的對稱性知識點2：圓心角、弧、弦的關(guān)系知識點3：垂徑定理知識點4：垂徑定理的應(yīng)用【方法二】實例探索法題型1：圓的旋轉(zhuǎn)不變性題型2：圓的軸對稱與中心對稱題型3：圓心角、弧、弦的關(guān)系題型4：垂徑定理題型5：垂徑定理的應(yīng)用題型6：分類討論【方法三】差異對比法易錯點：沒有進行分類討論導(dǎo)致錯誤【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1:垂徑定理考法2：圓心角、弧、弦的關(guān)系【方法五】成果評定法【學(xué)習目標】1.理解圓的對稱性；2.掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應(yīng)相等，及其它們在解題中的應(yīng)用．3.掌握垂徑定理及其推論；4.利用垂徑定理及其推論進行簡單的計算和證明.【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：圓的對稱性（1）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心（2）圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。知識點2：圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等注意：（1）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（2）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．知識點3：垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．知識點4：垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【方法二】實例探索法題型1：圓的旋轉(zhuǎn)不變性【例1】如圖所示，三圓同心于O，AB=4cm，CD⊥AB于O，則圖中陰影部分的面積為cm2．【變式1】生活中處處有數(shù)學(xué)，下列原理運用錯誤的是（）A．建筑工人砌墻時拉的參照線是運用“兩點之間線段最短”的原理 B．修理損壞的椅子腿時斜釘?shù)哪緱l是運用“三角形穩(wěn)定性”的原理 C．測量跳遠的成績是運用“垂線段最短”的原理 D．將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”原理【變式2】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為．題型2：圓的軸對稱與中心對稱【例2】下列關(guān)于圖形對稱性的命題，正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 B．正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 D．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形【變式1】世界上因為有了圓的圖案，萬物顯得更富有生機，以下圖形（如圖）都有圓，它們看上去是多么美麗與和諧，這正是因為圓具有軸對稱性．（1）圖中三個圖形中是軸對稱圖形的有；（分別用三個圖的序號填空）（2）請你再畫出與上面圖案不重復(fù)的兩個與圓相關(guān)的軸對稱圖案．【變式2】下面是由半徑相同的圓組成的花瓣，觀察圖形，回答下列問題：（1）是軸對稱圖形的有，是中心對稱圖形的有（分別用圖形的代碼填空）．（2）若“花瓣”在圓中是均勻分布的，試根據(jù)（1）小題的結(jié)果總結(jié)“花瓣”的個數(shù)與花瓣圖形的對稱性（軸對稱或中心對稱）之間的規(guī)律．【變式3】畫一畫：世界上因為有了圓的圖案，萬物才顯得富有生機，以下來自現(xiàn)實生活的圖中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性．（1）請問圖中三個圖形中是軸對稱圖形的有，是中心對稱圖形的有（分別用三個圖的代號a、b、c填空）．（2）請你在圖d、e兩個圓中，按要求分別畫出與a、b、c圖案不重復(fù)的圖案（草圖）（用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能準確些，美觀些）．d是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；e既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．題型3：圓心角、弧、弦的關(guān)系【例3】（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖，C是的中點，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．10【變式1】（2022秋?淮陰區(qū)月考）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且AD＝CB，求證：AB＝CD．【變式2】（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．【變式3】如圖，∠AOB=90°，CD是的三等分點，連接AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn)．求證：AE=BF=CD．題型4：垂徑定理【例4】．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長為．【變式1】（2022秋?高郵市期中）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【變式2】（2022秋?大豐區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（）A．5 B．4 C．3 D．2題型5：垂徑定理的應(yīng)用【例5】（2022秋?如皋市校級月考）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為m．【變式1】（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．【變式2】（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【變式3】（2022秋?泰州月考）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【變式4】不過圓心的直線l交⊙O于C、D兩點，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三個圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(OA＝OB除外)(不再標注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；(3)請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．題型6：分類討論【例6】（2022秋?吳江區(qū)校級月考）已知⊙O的半徑為2，弦，弦，則∠BOC的度數(shù)為．【方法三】差異對比法易錯點：沒有進行分類討論導(dǎo)致錯誤【變式】已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【變式】在⊙O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_________．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1:垂徑定理1．（2020?南通）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為cm．2．（2022?鹽城）證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條弧．考法2：圓心角、弧、弦的關(guān)系3．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點，OC交AB于點D．若AB＝8cm，CD＝2cm，則⊙O的半徑為cm．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，則度數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，A、B、C是⊙O上的點，，垂足為點D，若＝5，＝8，則的長為（

）．A．5 B．4 C．3 D．23．（2022秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習）如圖，在半徑為5的中，弦，點C是弦的一動點，若長為整數(shù)，則滿足條件的點C有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體的最大深度，則截面圓中弦的長為（

）

A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市第一中學(xué)?？茧A段練習）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論一定正確的個數(shù)有（）①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，以為弦作，并使直角頂點C在內(nèi)，點在外，若，的半徑為7，，則的長為（

）A． B． C． D．127．（2019秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，的圓心坐標是，半徑為3，函數(shù)的圖像被截得的弦的長為，則a的值是（）A．4 B． C． D．8．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）將半徑為5的如圖折疊，折痕長為8，C為折疊后的中點，則長為（

）A．2 B． C．1 D．9．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．10．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．二、填空題11．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．12．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，的半徑為4，，是的弦，且，，，則和之間的距離為．13．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點是這段弧所在圓的圓心，，點是的中點，，且，則這段彎路所在圓的半徑為m．14．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，交x軸于，兩點，交y軸于C，兩點，點S是上一動點，N是的中點，則線段的最小值是．15．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校聯(lián)考階段練習）已知⊙的直徑為26cm，AB、CD是⊙的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，則、之間的距離為cm．16．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）在半徑為4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，則AB與CD之間的距離是cm．17．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，，，，則與之間的距離為cm．18．（2022春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是半圓的直徑，，是半圓上的點，連接，，，且，，設(shè)，則與之間的函數(shù)表達式為．三、解答題19．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，、、、是上的四點，.求證：．20．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知在半圓中，，，，求的長．21．（2022秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點．(1)求證：；(2)若，，求圓環(huán)的面積．22．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖所示，是的一條弦，，垂足為，交于點C、D．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的半徑長；23．（2020秋·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之間的距離為7．（1）求證：弧AD=弧BC．（2）求圖中陰影部分的面積．24．（2021秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）如圖，在半徑為2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，點C是上的一個動點（不與點A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．(1)當BC＝2時，求線段OD的長和∠BOD的度數(shù)；(2)在△DOE中，是否存在