專題12.4 因式分解【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

專題12.4因式分解【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用因式分解求值】 1【題型2因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用】 4【題型3利用因式分解確定整除問題】 7【題型4利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 11【題型5利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 15【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】 17【題型7利用因式分解求最值】 19【題型8因式分解在新定義問題中的運(yùn)用】 22【題型9因式分解在閱讀理解中的運(yùn)用】 26【知識點(diǎn)因式分解】定義：把一個多項(xiàng)式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個多項(xiàng)式分解因式。以上公式都可以用來對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。【題型1利用因式分解求值】【例1】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）將2xn-81因式分解后得4x2+92x+32x-3，那么n等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】先求出4x2+92x+32x-3=2x【詳解】解：∵4==16x=又∵將2xn-81因式分解后得∴2xn∴n=4，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，多項(xiàng)式乘法，解題的關(guān)鍵是求出4x【變式1-1】（2023春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)校考期中）把多項(xiàng)式x3+ax分解因式得xx-12【答案】a=-【分析】根據(jù)整式的乘法運(yùn)算將xx-12x+b化為x3+b-12x2【詳解】解：x=x=x∵x3∴x3∴b-12=0∴a=-1【點(diǎn)睛】本題考查分解因式的知識及整式的乘法，正確計(jì)算出整式乘法的式子得出b-12=0【變式1-2】（2023春·八年級單元測試）已知三次四項(xiàng)式2x3-5x2【答案】k=9，2【分析】根據(jù)題意，當(dāng)x=3時，代數(shù)式的值為0，進(jìn)而求得k的值，然后因式分解即可求解．【詳解】解：依題意，三次四項(xiàng)式2x3-5∴x=3時，原式=2×∴k=9，∵2=2=∴另一個因式為2【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，解題時要根據(jù)分組分解法、提公因式法、公式法分解因式，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解，注意分解因式要徹底，直到不能再分解為止．【變式1-3】（2023春·八年級單元測試）若2x2-6y【答案】±7【分析】根據(jù)題意設(shè)多項(xiàng)式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據(jù)cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯(lián)立求出a、b的值，a、b是整數(shù)則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)2x2-6y2+xy+kx+6能分解成：(x＋ay＋c)（即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6時，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=-1或c=6，d=1時，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=6②c=2，d=3時，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=-3或c=3，d=2時，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=3③c=-2，d=-3時，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=-3或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=3④c=-1，d=-6時，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=-1或c=-6，d=-1時，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=6∴c=2，d=3時，c=-2，d=-3時，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，∴整數(shù)k的值是7，-7．故答案為：±7．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，設(shè)成兩個多項(xiàng)式的積的形式是解題的關(guān)鍵，要注意6的所有分解結(jié)果，還需要用a、b進(jìn)行驗(yàn)證，注意不要漏解．【題型2因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用】【例2】（2023春·八年級課時練習(xí)）利用因式分解計(jì)算：(1)-2101(2)32021(3)121×0.13+12.1×0.9-12×1.21；(4)2022【答案】(1)-(2)2×(3)12.1(4)90000【分析】（1）提取-2100（2）提取32020（3）原式變形為1.21×13+1.21×9-1.21×12，然后提取1.21后計(jì)算即可；（4）利用完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：-2==-2（2）解：3==2×3（3）解：121×0.13+12.1×0.9-12×1.21=1.21×13+1.21×9-1.21×12=1.21×=1.21×10=12.1；（4）解：202====90000．【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解進(jìn)行簡便計(jì)算，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計(jì)算：2020×512－2020×492的結(jié)果是．【答案】404000【分析】先提取公因式2020，再根據(jù)平方差公式分解后計(jì)算可得答案．【詳解】2020×512－2020×492=2020×（512－492）=2020×（51+49）×(51-49)=2020×100×2=404000,故答案為：404000．【點(diǎn)睛】此題考查提公因式法，平方差公式，熟練掌握計(jì)算公式及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·八年級單元測試）計(jì)算：（1）(1-122)×(1-132（2）2021【答案】（1）1120；（2）【分析】（1）先根據(jù)平方差公式分解，算出結(jié)果后計(jì)算乘法即可得到答案；（2）利用完全平方公式分解計(jì)算．【詳解】（1）(1-122)×(1-13=(1-=1=1=1120（2）2021=2021=(2021-2020)=1．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解進(jìn)行有理數(shù)的混合計(jì)算，正確掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）利用因式分解計(jì)算：（1）1（2）1+24（3）2【答案】（1）5050；（2）564；（3）7【分析】（1）原式結(jié)合后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）原式第二項(xiàng)分子分母乘以52-1，利用平方差公式化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）原式計(jì)算后，提取公因式，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）=100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050；（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）?…?（532+1）=1+24×52-152-1×（52+1）（54+1）（58+1）?…?=1+564-1=564；（3）2=2=2=7【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【題型3利用因式分解確定整除問題】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）某興趣小組為探究被3整除的數(shù)的規(guī)律，提出了以下問題：（1）在312，465，522，458中不能被3整除的數(shù)是________；（2）一個三位數(shù)abc表示百位、十位、個位上的數(shù)字分別是a、b、c（a，b，c為0－9之間的整數(shù)，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍數(shù)（設(shè)a+b+c=3t，t為正整數(shù)），那么abc能被3（3）若一個能被3整除的兩位正整數(shù)ab（a，b為1－9之間的整數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到一個新數(shù)，新數(shù)減去原數(shù)等于54，求這個正整數(shù)ab．【答案】（1）458；（2）能，見解析；（3）39【分析】（1）把各個數(shù)除以3即可得出結(jié)果；（2）由題意可列出式子abc=100a+10b+c，進(jìn)行整理可得：3(t+33a+3b)（3）根據(jù)題意可得：ba-【詳解】解：（1）312÷3=104，能被3整除；465÷3=155，能被3整除；522÷3=174，能被3整除；458÷3=1522，不能被3故答案為：458；（2）此時abc能被3整除，證明：若a+b+c是3的倍數(shù)，則令a+b+c=3t(t為正整數(shù)），則有abc=100a+10b+c=(a+b+c)+(99a+9b)，=3t+3(33a+3b)，=3(t+33a+3b)，故abc能被3整除；（3）∵ab交換后為ba，由題意得：ba-有(10b+a)-(10a+b)=54，整理得：9(b-a)=54，得：b-a=6，∵a，b為1-9之間的整數(shù)，∴有{a=1b=7，{a=2∵ab能被3整除，∴這個正整數(shù)是39．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，表示出相應(yīng)兩位數(shù)或三位數(shù)．【變式3-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）利用因式分解說明：當(dāng)n為自然數(shù)時，n+72-n-5【答案】見解析【分析】將n+7和n-5分別看做整體，用平方差公式進(jìn)行因式分解，所得的結(jié)果中含有因式24，即可求證．【詳解】解：n+7==12=24n+1∴n+72-n-5【點(diǎn)睛】本題主要考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式a2【變式3-2】（2023春·湖南永州·八年級校聯(lián)考期中）已知432-1可以被10到A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【答案】D【分析】把432-1因式分解即可看出可以被10至20【詳解】432-1====∴可以被10至20之間的17和15兩個整數(shù)整除.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式a2-【變式3-3】（2023·河北衡水·統(tǒng)考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究如下等式：38×32=1216，53×57=3021，71×79=5609，84×86=7224．觀察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘，且積有一定的規(guī)律”．(1)根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律，直接寫出結(jié)果：58×52=___________；752=(2)設(shè)其中一個數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b（a，b>0），①請用含a，b的等式表示這個運(yùn)算規(guī)律，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識證明；②上述等式中，分別將左邊兩個乘數(shù)的十位和個位調(diào)換位置，得到新的兩個兩位數(shù)相乘（如：38×32調(diào)換為83×23）．若分別記新的兩個兩位數(shù)的乘積為m，①中的運(yùn)算結(jié)果為n，求證：m-n能被99整除．【答案】(1)3016；5625(2)①10a+b10a+10-b=100aa+1【分析】（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算，即可求解；（2）①根據(jù)題意可得這兩個兩位數(shù)分別為10a+b，10a+10-b，從而得到這個運(yùn)算規(guī)律為10a+b10a+10-b=100aa+1+b10-b，然后分別計(jì)算等式的左右兩邊，即可；②由①得：n=100a2+100a+10b-b【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：58×52=5×6752故答案為：3016；5625（2）解：①∵其中一個數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b（a，b>0），∴另一個數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為10-b，∴這兩個兩位數(shù)分別為10a+b，10a+10-b，根據(jù)題意得：這個運(yùn)算規(guī)律為10a+b10a+10-b證明：左邊=100=100右邊=100a∴左邊=右邊；②由①得：n=100a∵分別將左邊兩個乘數(shù)的十位和個位調(diào)換位置，得到新的兩個兩位數(shù)相乘，∴新的兩個兩位數(shù)分別為10b+a，1010-b∴m===1000b+100a-100=1000b-100b∴m-n==1000b-100=-99a=-99a∵a，b為正整數(shù)，∴a2∴m-n能被99整除．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型4利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例4】（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲·熱門給出了一種分解因式x4+4的方法：他抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和x22+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4根據(jù)以上方法，把下列各式因式分解：(1)4x(2)a2【答案】(1)2x(2)a-na-4m+n【分析】（1）根據(jù)蘇菲·熱門的做法，將原式配上4x（2）先分組，再利用提公因式法因式分解．【詳解】（1）原式=4==2（2）原式=====a-n【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，理解蘇菲·熱門的做法是正確進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·廣東佛山·八年級專題練習(xí)）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式a2①a2又比如多項(xiàng)式a3②a3仿照以上方法，分解多項(xiàng)式a5-1的結(jié)果是【答案】a-1【分析】直接根據(jù)添項(xiàng)、拆項(xiàng)的方法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：a===a-1故答案為：a-1【點(diǎn)睛】本題考查添項(xiàng)與拆項(xiàng)法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用提公因式法，也考查了學(xué)生的觀察能力和整體思想．【變式4-2】（2023春·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）閱讀與思考在因式分解中，有些多項(xiàng)式看似不能分解，如果添加某項(xiàng)，可以達(dá)到因式分解的效果，此類因式分解的方法稱之為“添項(xiàng)法”．例如：a4參照上述方法，我們可以對a3a任務(wù)：(1)請根據(jù)以上閱讀材料補(bǔ)充完整對a3(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3【答案】(1)a+b(2)a【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上再提取公因式a+b，整理即可；（2）由（1）可知求出a2-ab+b2的值即可求出a3+b3的值．將a2【詳解】（1）a===a+b=a+b（2）∵a===16∴a3【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，代數(shù)式求值．讀懂題干，理解題意，掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？既＃╅喿x理解：添項(xiàng)法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運(yùn)算和因式分解中使用添項(xiàng)法往往會起到意想不到的作用，例如：例1：計(jì)算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據(jù)材料解決下列問題：(1)計(jì)算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個問題，計(jì)算(14+4)(54+4)(94+4)……(494①分解因式：x4+4；②計(jì)算：(1【答案】(1)21024-121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)(2)①根據(jù)配方法在原式的基礎(chǔ)上(+4x2﹣4x2)，轉(zhuǎn)化為完全平方公式，再利用拆項(xiàng)法配方，最后化為兩個因式的積，②根據(jù)x4+4的分解結(jié)果，分別求出當(dāng)x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所對應(yīng)的x4+4個結(jié)果，從而得到一個規(guī)律，再代入求值即可.【詳解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×＝2×(1﹣12＝21024(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝(x2+2)2﹣(2x)2＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，②∵x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)∴x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]?[(x﹣1)2+1]原式＝(02【點(diǎn)睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知識，掌握公式，通過因式分解的變形，找出存在的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.【題型5利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例5】（2023春·八年級課時練習(xí)）閱讀理解，并解答下面的問題：拆項(xiàng)法原理：在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中，常經(jīng)過整理、化簡，通常將幾個同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或相互抵消為零．反過來，在對某些多項(xiàng)式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)（拆項(xiàng)）．例：分解因式：x2＋4x＋解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x＝（x2＋x）＋（3x＋3＝x（x＋1）＋3（x＋1）對每一組分別提取公因式＝（x＋3）（x＋1）繼續(xù)提公因式請類比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋【答案】（x＋2）（x＋3）【分析】根據(jù)題意中的分解因式的方法求解即可．【詳解】解：原式=x2＋2x＋3x＋==x=(x+2)(x+3)．【點(diǎn)睛】題目主要考查多項(xiàng)式乘法及因式分解，理解題中分解因式的方法是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·黑龍江雞西·八年級?？计谀├貌痦?xiàng)法，分解因式：x2﹣6x﹣7；【答案】(x+1)(x－7)【詳解】解：x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9－16=（x－3）2－42=（x－3+4）(x－3－4)=(x+1)(x－7)；【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，理解題中的分解因式方法并能靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）利用拆項(xiàng)法，解決下列問題：(1)分解因式：x2(2)分解因式：a2【答案】(1)x-1(2)a+5b【分析】（1）將5拆解成9-4，再根據(jù)完全平方公式得x-32（2）將-5b2拆解成4b【詳解】（1）原式=x2-6x+9-4=x-3（2）原式=a2+4ab+4b2-9【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題時要注意在變形的過程中不要改變式子的值．【變式5-3】（2023春·八年級單元測試）閱讀理解題：拆項(xiàng)法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，再分組分解，因而有時需要多次實(shí)驗(yàn)才能成功，例如把x3-3x2+4分解因式，這是一個三項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是三次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項(xiàng)拆成1原式==公式：a3+根據(jù)上述論法和解法，（1）因式分解：x3（2）因式分解：x3（3）因式分解：x4【答案】（1）x-1x2+2x+2；（2）x-1x+3【分析】（1）將原式拆成x3-1+（2）將原式拆成x3（3）將原式拆成x4【詳解】解：（1）x==（2）x====（3）x===【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，從題目中得到因式分解的方法，難度不大．【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，則△ABC為三角形．【答案】等腰或直角或等腰直角．【分析】首先提取公因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式，然后分三種情況進(jìn)行討論．【詳解】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)，∴當(dāng)a＝b，則△ABC是等腰三角形；當(dāng)a≠b，則c2＝a2+b2，則△ABC是直角三角形，當(dāng)a＝b，且c2＝a2+b2，則△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC為等腰三角形或直角或等腰直角三角形．故答案為：等腰或直角或等腰直角．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法與平方差公式分解因式，用提公因式法與平方差公式分解因式得到a，b，c的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，注意考慮問題要全面．【變式6-1】（2023春·河南鄭州·八年級校聯(lián)考期中）若△ABC三邊a、b、c滿足a2-ab-ac+bc=0，則△ABC是【答案】等腰【分析】等式左邊因式分解后，利用兩式相乘積為0，兩因式中至少有一個為0即可確定a，b，c的關(guān)系，即可作出判斷．【詳解】∵a2∴aa-c∴a-ba-c∴a-b=0或a-c=0，∴a=b或a=c，∴△ABC是等腰三角形，故答案為：等腰．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法-分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2【答案】見解析【分析】根據(jù)完全平方式將原式變形為a-b2【詳解】解：∵a+b+c=a+b=a∴原式可變形為：a2+aa-b∵a-b2≥0∴a-b=0,a-c=0,b-c=0∴a=b,a=c,b=c∴a=b=c即這個三角形是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，平方非負(fù)性的應(yīng)用，根據(jù)相關(guān)知識點(diǎn)靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）已知等腰三角形ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，且滿足a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形共有個．【答案】3【分析】先將a+bc+b+ca=24可以化為（a+b）（c+1）=24，然后根據(jù)24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合，討論是否符合題意即可得出答案．【詳解】解：∵a+∴（a∴c+1b+a∵等腰△ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，∴a+b，c+1為大于或等于2的正整數(shù)，那么24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，①a+b=2，c+1=12時，c=11，a+b=2，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；②a+b=3，c+1=8時，c=7，a+b=3，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；③a+b=4，c+1=6時，c=5，a+b=4，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；④a+b=6，c+1=4時，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以組成等腰三角形；⑤a+b=8，c+1=3時，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以組成等腰三角形；⑥a+b=12，c+1=2時，可得a=b=6，c=1，可以組成等腰三角形．∴一共有3個這樣的三角形．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時將原式化為因式相乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合是關(guān)鍵．【題型7利用因式分解求最值】【例7】（2023春·湖南株洲·八年級株洲二中校考期末）整數(shù)a、b、c是△ABC的三條邊（a<b<c），若△ABC的周長為30，那么c2+18a+18b-446的最小值為【答案】17【分析】根據(jù)三角形的周長得到a+b=30-c，整體代入c2+18a+18b-446，得到c-92+13，利用三角形的三邊關(guān)系求出【詳解】解：∵△ABC的周長為30，∴a+b+c=30，∴a+b=30-c，而a+b>c，則30-c>c，∴c<15，∵a<b<c，∴10<c<15，∴c===∵c是整數(shù)，∴當(dāng)c=11時，c2+18a+18b-446的值最小，且為故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，完全平方式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，正確求出自變量c的取值范圍．【變式7-1】（2023春·遼寧阜新·八年級校考階段練習(xí)）利用完全平方公式因式分解在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，請回答下列問題：(1)因式分解：x2-4x+4=(2)填空：當(dāng)x=__________時，代數(shù)式x2(3)閱讀如下材料，完成下列問題：對于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：x2因?yàn)閤-12≥0，所以x-12+2≥2，所以當(dāng)①代數(shù)式x2+10x+2的最小值是②拓展與應(yīng)用：求代數(shù)式a2【答案】(1)x-2(2)3(3)①-23；②2【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可；（2）利用完全平方公式把原式分解因式即可得到答案；（3）①仿照題意求解即可；②仿照題意求解即可．【詳解】（1）解：x2故答案為：x-22（2）∵x2∴x-32∴x=3，故答案為：3；（3）①x2∵x+52∴x+52∴當(dāng)x=-5時，原式的最小值為-23；故答案為：-23；②a==a-2∵a-22≥0，∴a-22∴當(dāng)a=2，b=3時，原式的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式分解因式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知A為多項(xiàng)式，且A=-2x2-y2A．最大值23 B．最小值23 C．最大值-23 D．最小值-23【答案】A【分析】利用分組分解法，變?yōu)橥耆椒绞浇獯鸺纯桑驹斀狻緼=-2=-2=-2=-2∵-2x-32≤0∴-2x-32∴多項(xiàng)式的最大值是23，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·安徽亳州·八年級專題練習(xí)）求x2-6xy+10y2【答案】6【分析】先對x2【詳解】解：x==(x-3y)∵(x-3y)2≥0，∴(x-3y)2+(y-2)2+6≥6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解、完全平方公式和平方的非負(fù)性質(zhì)，熟練運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【題型8因式分解在新定義問題中的運(yùn)用】【例8】（2023春·全國·八年級期末）整式乘法與多項(xiàng)式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．例如，a(b+c+d)=ab+ac+ad是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則；把這個法則反過來，得到ab+ac+ad=a(b+c+d)，這是運(yùn)用提取公因式法把多項(xiàng)式因式分解．又如(a±b)2=a2±2ab+b2有時在進(jìn)行因式分解時，以上方法不能直接運(yùn)用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進(jìn)行的因式分解．甲：x=(x=x(x-y)+4(x-y)（分別提公因式）=(x-y)(x+4)乙：a=a=a=(a+b-c)(a-b+c)請你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解問題一：因式分解：（1）m3（2）x2問題二：探究對x、y定義一種新運(yùn)算F，規(guī)定：F(x,y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均為非零常數(shù)）．當(dāng)x2≠y2時，F(xiàn)(x,y)=F(y,x)對任意有理數(shù)x、y都成立，試探究【答案】問題一：因式分解：（1）(m-2)2(m+2)（2）(x-y-3)(x-y+3)；問題二：探究m,n的數(shù)量關(guān)系【分析】問題一：因式分解：（1）按系數(shù)成比分組m2(m-2)-4(m-2)提公因式(m-2)(m（2）按完全平方公式分組x2-2xy+y問題二：探究∶先求F(x,y)=3mx2+(3n-m)xy-ny2，再求F(y,x)=3my2+(3n-m)xy-mx2，由F(x,y)=F(y,x)，可得3mx【詳解】解：問題一：因式分解：（1）m=m2=(m-2)(=(m-2)(m-2)(m+2)，=(m-2)2（2）x=(=(x-y)=(x-y)-3=(x-y-3)(x-y+3)；問題二：探究F(xy)=(mx+m)(3x-y)=3mxF(y,x)=(my+m)(3y-x)=3my∵F(x,y)=F(y,x)，∴3mx∴3ma∴(3m+n)x∵x2≠y2，對任意有理數(shù)∴3m+n=0，∴m，n的數(shù)量關(guān)系3m+n=0．【點(diǎn)睛】本題考查分組因式分解的方法，新定義實(shí)數(shù)運(yùn)算，利用因式分解與多項(xiàng)式乘法之間關(guān)系，掌握分組因式分解的方法，利用因式分解與多項(xiàng)式乘法之間關(guān)系，構(gòu)造恒等式找出m與n關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式8-1】定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”.（1）若a=2，b=-1，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a=m-4，b=-m，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”c≤0；（3）已知a=x2(x≠0)，且a，b的“如意數(shù)”為c=x4【答案】（1）c=-1；（2）證明見解析；（3）b=x【分析】（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義即可求出c；（2）先根據(jù)“如意數(shù)”的定義列出c的代數(shù)式，然后對等式右邊因式分解，結(jié)合乘方的非負(fù)性即可證明c≤0；（3）根據(jù)“如意數(shù)”的定義構(gòu)建方程，求出b即可.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，c=2×(-1)+2+(-1)=-2+2-1=-1；（2）根據(jù)題意，c=(m-4)?(-m)+(m-4)+(-m)=-m∵(m-2)2∴-(m-2)2≤0（3）∵c=ab+a+b，a=x2(x≠0)∴x4∴b(x∵x≠0，∴x2∴b=x【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用.能根據(jù)“如意數(shù)”的定義去計(jì)算（或列式）是解決此題的先決條件，能靈活運(yùn)用因式分解法因式分解是解決此題的關(guān)鍵.尤其在（3）中能用因式分解法將x4+3x2【變式8-2】（2023春·河南周口·八年級?？计谀┰O(shè)m、n是實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算：m?n=(m-n)2．下面四個推斷正確的是（A．m?n=n?m B．(m?n)C．(m?n)?p=m?(n?p) D．m?(n-p)=(m?n)-(m?p)【答案】A【分析】各式利用題中的新定義判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：A．m?n=m-n2，B．(m?n)2=m-nC．(m?n)?p=m-n2?p=D．m?(n-p)=m-n-p2故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的運(yùn)算和因式分解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期末）定義：若一個整數(shù)能表示成a2＋b2（a，b是正整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如：因?yàn)?3＝32＋22，所以13是“完美數(shù)”；再如：因?yàn)閍2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美數(shù)”．（1）請直接寫出一個小于10的“完美數(shù)”，這個“完美數(shù)”是；（2）判斷53（請?zhí)顚憽笆恰被颉胺瘛保椤巴昝罃?shù)”；（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整數(shù)，k是常數(shù)），要使M為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由；（4）如果數(shù)m，n都是“完美數(shù)”，試說明mn也是“完美數(shù)”．【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由見解答過程；（4）見解析【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，這些數(shù)都是小于10的“完美數(shù)”；（2）利用53=22+72即可判斷；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，則使k-4為一個完全平方數(shù)即可；（4）設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2，則mn=（a2+b2）（c2+d2），進(jìn)行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，從而可判斷．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美數(shù)”，且都小于10，故答案為：2或5或8（寫一個即可）；（2）53=22+72，故53是“完美數(shù)”，故答案為：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M(jìn)=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4則當(dāng)k-4為完全平方數(shù)時，M為“完美數(shù)”，如當(dāng)k-4=1時，解得：k=5．（4）設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2，則有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一個“完美數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的運(yùn)用，閱讀理解題目表述的意思是本題的關(guān)鍵．【題型9因式分解在閱讀理解中的運(yùn)用】【例9】（2023春·八年級統(tǒng)考期末）（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式因式分解時，如果能滿足q=mn且p=m+n，則可以把x2例如：（1）x2+4x+3=x+1x+3；（根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)x2(2)x2(3)x-4x+7【答案】(1)x-2(2)x+3(3)x-2【分析】根據(jù)x2【詳解】（1）解：x2（2）解：x2（3）解：x-4x+7【點(diǎn)睛】本題