安徽省宿州市十三所重點中學2024屆高三第二學期期中數(shù)學試題

安徽省宿州市十三所重點中學2024屆高三第二學期期中數(shù)學試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結(jié)論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過2．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)（，，），將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度6．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．27．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知命題，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．10．設(shè)復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為則（）A． B．C． D．11．已知雙曲線的焦距為，過左焦點作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點，若線段的中點在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在矩形中，，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與重合于點.若，則三棱錐的外接球的表面積為_____.14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為__________．15．已知，若，則a的取值范圍是______．16．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三棱柱中，，是的中點，，.（1）求證：；（2）若側(cè)面為正方形，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于坐標原點對稱．連接．求證：存在實數(shù)，使得成立．22．（10分）設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）對任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【題目詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【題目點撥】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【題目詳解】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【題目點撥】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.3、B【解題分析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【題目詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選：B．【題目點撥】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.4、A【解題分析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的等價條件，得到，分析即得解.【題目詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件．故選：A【題目點撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學生邏輯推理，概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以只需將的圖象向右平移個單位.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解題分析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【題目詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【題目點撥】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學生的運算求解能力.7、C【解題分析】

化簡復數(shù)為、的形式，可以確定對應(yīng)的點位于的象限．【題目詳解】解：復數(shù)故復數(shù)對應(yīng)的坐標為位于第三象限故選：．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的運算，復數(shù)和復平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【題目詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實數(shù)的取值范圍為．故選：．【題目點撥】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗．9、C【解題分析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.10、B【解題分析】

根據(jù)共軛復數(shù)定義及復數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【題目詳解】在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查復數(shù)對應(yīng)點坐標的幾何意義，復數(shù)模的求法及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

設(shè)線段的中點為，判斷出點的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)線段的中點為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【題目點撥】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12、B【解題分析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士，根據(jù)排列組合進行計算即可．【題目詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

計算外接圓的半徑，并假設(shè)外接球的半徑為R，可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【題目詳解】由題意可知，，所以可得面，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，，設(shè)三棱錐外接球的半徑，因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【題目點撥】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解題分析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【題目詳解】作出函數(shù)的圖如下所示，觀察可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【題目點撥】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：(1)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．15、【解題分析】

函數(shù)等價為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．【題目詳解】，等價為，且時，遞增，時，遞增，且，在處函數(shù)連續(xù)，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍是．故答案為：．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【題目詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標為（1，0），

則函數(shù)在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，根據(jù)導數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）取的中點，連接，，證明平面得出，再得出；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算，即可得出答案．【題目詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，，，，，故，又，，平面，平面，，，分別是，的中點，，．（2）解：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，在平面內(nèi)作直線的垂線，以為原點，以，，為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，2，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得：，，，，．直線與平面所成角的正弦值為，．【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．18、≤x≤【解題分析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當且僅當(a＋b)·(a－b)≥0時取等號，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.19、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解題分析】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）得函數(shù)，分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為．考點：1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性．20、（1）；（2）當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在上單調(diào)遞增；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解題分析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關(guān)系進而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】（1）當時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.（2）的定義域是..①當時,,所以當時,；當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；②當時,,所以當和時,；當時,,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；③當時,,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增；④當時,,所以和時,；時,.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在上單調(diào)遞增；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點,再根據(jù)極值點的大小關(guān)系分類討論即可.屬于常