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陜西省商洛市洛南中學(xué)2024屆下學(xué)期高三數(shù)學(xué)試題1月階段測試考試試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時,檢測結(jié)束,則第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.2.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.3.已知冪函數(shù)的圖象過點,且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.8.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.9.已知函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達,則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.11.已知雙曲線的左、右頂點分別是,雙曲線的右焦點為,點在過且垂直于軸的直線上,當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達到最小時,點恰好在雙曲線上,則該雙曲線的方程為()A. B.C. D.12.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________14.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,則實數(shù)的取值范圍為______.15.連續(xù)擲兩次骰子,分別得到的點數(shù)作為點的坐標(biāo),則點落在圓內(nèi)的概率為______________.16.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式的解集包含,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知為坐標(biāo)原點,單位圓與角終邊的交點為,過作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.20.(12分)已知a,b∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間:(II)當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)的最小值為0,求a+5b的最大值.注:21.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點分別為的中點.(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱,且.(1)解關(guān)于的不等式;(2)如果對,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】
根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率,即可得解.【題目詳解】類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故選:D.【題目點撥】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【題目詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【題目點撥】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解題分析】
根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì),以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【題目詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【題目點撥】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】
由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【題目詳解】當(dāng)時,,∵在上有且僅有5個零點,∴,∴.故選:A.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【題目詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【題目詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】
利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【題目詳解】由.故選:B【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算,需掌握復(fù)數(shù)的運算法則,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【題目詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的方差的求法,解題時要認(rèn)真審題,仔細解答,注意二項分布的靈活運用.9、C【解題分析】
對函數(shù)求導(dǎo),對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點處的函數(shù)值進行判斷求解.【題目詳解】∵,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個零點,只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.10、D【解題分析】
先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù),再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】
點的坐標(biāo)為,,展開利用均值不等式得到最值,將點代入雙曲線計算得到答案.【題目詳解】不妨設(shè)點的坐標(biāo)為,由于為定值,由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時,的外接圓面積取得最小值,也等價于取得最大值,因為,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時,等號成立,此時最大,此時的外接圓面積取最小值,點的坐標(biāo)為,代入可得,.所以雙曲線的方程為.故選:【題目點撥】本題考查了求雙曲線方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.12、B【解題分析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【題目詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【題目點撥】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.【題目詳解】,.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應(yīng)用.14、【解題分析】
先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點,即方程有解.對分成三種情況進行分類討論,由此求得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】因為關(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因為函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,所以與的圖象有交點,方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點,是過定點的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點,滿足題意;若,設(shè),相切時,切點的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時,,的圖象有交點,此時,與的圖象有交點,函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,綜上可得,實數(shù)的取值范圍為.故答案為:【題目點撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.15、【解題分析】
連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,列出滿足條件的結(jié)果有11種,利用古典概型即得解【題目詳解】由題意知,連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,而滿足條件的結(jié)果為:共有11種結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式,可得所求概率.故答案為:【題目點撥】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.16、55【解題分析】
由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,即求.【題目詳解】由題意,當(dāng)n=1時,,當(dāng)時,由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【題目點撥】本題考查求數(shù)列的前項和,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解題分析】
(1)設(shè)是的中點,連接、,先證明是平行四邊形,再證明平面,即(2)以為坐標(biāo)原點,的方向為軸的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,分別計算各個點坐標(biāo),計算平面法向量,利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【題目詳解】(1)證明:設(shè)是的中點,連接、,是的中點,,,,,,,是平行四邊形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,過點作,垂足為,平面,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸的正方向,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)是平面的一個法向量,則,,令,則,,,直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題考查了線面垂直,線線垂直,利用空間直角坐標(biāo)系解決線面夾角問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.18、(1)(2)【解題分析】
(1)按進行分類,得到等價不等式組,分別解出解集,再取并集,得到答案;(2)將問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立,按和分類討論,分別得到不等式恒成立時對應(yīng)的的范圍,再取交集,得到答案.【題目詳解】解:(1)當(dāng)時,等價于或或,解得或或,所以不等式的解集為:.(2)依題意即在時恒成立,當(dāng)時,,即,所以對恒成立∴,得;當(dāng)時,,即,所以對任意恒成立,∴,得∴,綜上,.【題目點撥】本題考查分類討論解絕對值不等式,分類討論研究不等式恒成立問題,屬于中檔題.19、(1);(2).【解題分析】
(1)根據(jù)題意,求得,,因而得出,利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡函數(shù),最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【題目詳解】(1)因為,,所以,,所以函數(shù)的最小正周期為.(2)因為,所以,所以,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域,運用到向量的坐標(biāo)運算、降冪公式和二倍角的正弦公式,考查化簡和計算能力.20、(I)詳見解析;(II)2【解題分析】
(I)求導(dǎo)得到f'(x)=ex-a,討論a≤0(II)f12=e-12a-5【題目詳解】(I)f(x)=ex-ax當(dāng)a≤0時,f'(x)=e當(dāng)a>0時,f'(x)=ex-a=0,x=lna當(dāng)x∈lna,+∞時,綜上所述:a≤0時,fx在R上單調(diào)遞增;a>0時,fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-故當(dāng)x∈0,+∞上時,x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增,故fx在0,12上單調(diào)遞減,在1綜上所述:a+5b的最大值為【題目點撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、(1)證明見解析(2)【解題分析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求得平面的法向量,進而可得二面角的余弦值.【題目詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點,連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,為面的一
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