控制系統(tǒng)的性能指標及時域分析

超調(diào)量：響應的最大偏離量與終值的差同終值的比。上升時間：響應從終值的10%上升到終值的90%所需的時間（過阻尼系統(tǒng)）；或響應從零第一次上升到終值所需的時間（欠阻尼系統(tǒng)）。峰值時間：系統(tǒng)響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間調(diào)節(jié)時間：響應到達并保持在終值（/）內(nèi)所需的時間。穩(wěn)態(tài)誤差：實際上不是系統(tǒng)暫態(tài)響應的動態(tài)指標。但是，它是衡量控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要度量。延遲時間：只階躍響應從運動開始到達其穩(wěn)態(tài)值的50%所需要的時間。衰減比n：它是過渡過程曲線上同方向的兩個相鄰的波峰之比。to最大偏離量：Mp峰值時間：tp上升時間：tr，to調(diào)節(jié)時間：ts

1時，系統(tǒng)沒有最大偏離量

<1時，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)值附近振蕩控制系統(tǒng)的性能指標及時域分析時間響應性能指標2

欠阻尼系統(tǒng)：應用0-100%上升時間to

過阻尼系統(tǒng)：應用10-90%上升時間tr最大偏離量控制系統(tǒng)階躍響應上升時間峰值時間調(diào)節(jié)時間穩(wěn)態(tài)誤差性能指標通常通過系統(tǒng)的階躍響應來定義。系統(tǒng)暫態(tài)響應可以通過實際響應跟蹤期望響應的快速性和阻尼程度刻畫。響應的快速性可以利用上升時間和峰值時間來衡量。實際響應與期望響應的阻尼程度可以利用最大偏離量和調(diào)節(jié)時間（回復時間，過渡過程時間）來衡量。利用最大偏離量和期望響應，可以計算最大偏離量關(guān)于期望響應的百分數(shù)，稱為超調(diào)量（最大超調(diào)量，百分比超調(diào)量）。時間響應性能指標時間響應性能指標3為了比較不同系統(tǒng)的響應，必須使各系統(tǒng)從標準化的初始條件開始運動。大多數(shù)標準化初始條件是系統(tǒng)靜止狀態(tài)。確定了標準化初始條件后，就可以比較不同系統(tǒng)的響應特性（如最大偏離量、調(diào)節(jié)時間等）了。時間響應性能指標時間響應性能指標45一階系統(tǒng)動態(tài)如前所示，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點決定了系統(tǒng)時間響應函數(shù)的特點對于沒有零點的一階系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個極點，且有（輸入為單位階躍信號）p<0

表示系統(tǒng)極點位于

S平面的左半平面，指數(shù)項衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的p>0表示系統(tǒng)極點位于

S平面的右半平面，指數(shù)項增加，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的p=0，則系統(tǒng)響應關(guān)于時間為常數(shù)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）6由一階對象組成的單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)仍然是一個一階系統(tǒng)，只是系統(tǒng)增益和時間常數(shù)變小，為原值的1/(1+K0)原一階對象閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)其中，在零初始條件假設(shè)下，如果r(t)已知，則可以得到系統(tǒng)的時間響應c(t)一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）R(s)C(s)+-E(s)9C(s)-R(s)+E(s)控制器R(s)C(s)+-E(s)K1=KCK0考慮比例控制器閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)當r(t)為單位階躍函數(shù)時，Kc,K1

,e(

)一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）10R(s)C(s)+-E(s)求取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)GE(s)為當r(t)為單位階躍函數(shù)時，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，可以利用終值定理求解穩(wěn)態(tài)誤差問題：有什么方法可以消除穩(wěn)態(tài)誤差？一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）11C(s)-R(s)+E(s)控制器有，利用PI控制器閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)其中，當r(t)為單位階躍函數(shù)時，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換為如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，可以利用終值定理求解穩(wěn)態(tài)增加積分環(huán)節(jié)的效果是在S平面上增加一個零點和一個極點一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）12C(s)-R(s)+E(s)Controller利用PI控制器當r(t)為單位階躍函數(shù)時，系統(tǒng)誤差信號的拉普拉斯變換為如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，可以利用終值定理求解穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)GE(s)為當控制器包含積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)誤差為零一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）132.如果r為單位斜坡函數(shù)：r(t)=t系統(tǒng)斜坡響應為r,ctTc(t)r(t)-TT0.386T系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應為系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)誤差一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）14線性系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)（積分）的響應，可通過系統(tǒng)對輸入信號的響應進行微分（積分--積分常數(shù)則由零初始條件決定）求得.單位脈沖r(t)=(t)單位階躍r(t)=u(t)=1單位斜坡r(t)=t單位拋物線r(t)=t2/2DDDDDD系統(tǒng)輸入系統(tǒng)響應t

0t

0一階系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）15二階系統(tǒng)的標準形式：其中，

是無量綱的阻尼比，

n

是系統(tǒng)的自然頻率系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)特征方程的根為：系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)16具有標準形式的二階系統(tǒng)還可以表示為如下圖所示的單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)_因為系統(tǒng)特征方程的根為：

對于,系統(tǒng)是穩(wěn)定的

對于,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)暫態(tài)響應取決于阻尼比

的值，分三種情況：

(1);(2);(3)

對于，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)17二階系統(tǒng)暫態(tài)：0<1在這種情況下，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：如果系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)，則零初始條件下系統(tǒng)響應的傳遞函數(shù)為LT-1系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）18二階系統(tǒng)暫態(tài)：0<1如圖所示，這是一個衰減振蕩過程，其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率

d

，而其幅值則按指數(shù)曲線（響應曲線的包絡(luò)線）衰減，兩者均由參數(shù)阻尼比

和自然頻率

n決定。(a)根分布(b)單位階躍響應系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）19圖3.6二階系統(tǒng)暫態(tài)0<<1欠阻尼響應

1臨界阻尼響應

=0振蕩響應

系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：0<1不同的

取值下的單位階躍暫態(tài)響應

20如果系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)，則系統(tǒng)響應為（R(s)=1

）：系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：0<1不同的

取值下的單位脈沖暫態(tài)響應LT-121

>1時，系統(tǒng)具有兩個不同的實根如果系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)，則零初始條件下系統(tǒng)響應為LT-1系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：>122

>1時，系統(tǒng)特征方程的根在S平面的分布及響應曲線如下圖所示(a)根分布(b)單位階躍響應此時，系統(tǒng)響應稱為過阻尼響應系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：>123

=1時，系統(tǒng)特征方程具有兩個相等的實根如果系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)，則零初始條件下系統(tǒng)響應為LT-1此時，系統(tǒng)響應稱為臨界阻尼響應系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：

＝124

=0，特征方程有純虛根，系統(tǒng)響應為等幅振蕩響應0<<1，特征方程有共軛復根，系統(tǒng)響應為欠阻尼響應

=1，特征方程有相等實根，系統(tǒng)響應為臨界阻尼響應

>1，特征方程有不等實根，系統(tǒng)響應為過阻尼響應阻尼比

與系統(tǒng)特征方程根在S平面

中位置的關(guān)系系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：小結(jié)25二階系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的暫態(tài)（動態(tài)）二階系統(tǒng)暫態(tài)：小結(jié)時間響應性能指標

二階系統(tǒng)暫態(tài)

時間響應性能指標to最大偏離量：Mp峰值時間：tp上升時間：tr，to調(diào)節(jié)時間：ts

1時，系統(tǒng)沒有最大偏離量

<1時，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)值附近振蕩二階系統(tǒng)暫態(tài)時間響應性能指標27

欠阻尼系統(tǒng)：應用0-100%上升時間to

過阻尼系統(tǒng)：應用10-90%上升時間tr最大偏離量控制系統(tǒng)階躍響應上升時間峰值時間調(diào)節(jié)時間穩(wěn)態(tài)誤差性能指標通常通過系統(tǒng)的階躍響應來定義。系統(tǒng)暫態(tài)響應可以通過實際響應跟蹤期望響應的快速性和阻尼程度刻畫。響應的快速性可以利用上升時間和峰值時間來衡量。實際響應與期望響應的阻尼程度可以利用最大偏離量和調(diào)節(jié)時間（回復時間，過渡過程時間）來衡量。利用最大偏離量和期望響應，可以計算最大偏離量關(guān)于期望響應的百分數(shù)，稱為超調(diào)量（最大超調(diào)量，百分比超調(diào)量）。時間響應性能指標時間響應性能指標28為了比較不同系統(tǒng)的響應，必須使各系統(tǒng)從標準化的初始條件開始運動。大多數(shù)標準化初始條件是系統(tǒng)靜止狀態(tài)。確定了標準化初始條件后，就可以比較不同系統(tǒng)的響應特性（如最大偏離量、調(diào)節(jié)時間等）了。時間響應性能指標時間響應性能指標29峰值時間僅僅是阻尼振蕩頻率

d的函數(shù)（）時間響應性能指標峰值時間：系統(tǒng)響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間。時間響應性能指標30等峰值時間線[S]等

d線上式表明，峰值時間tp與阻尼振蕩頻率

d

成反比。當

n一定,ζ越小，tp也越小（響應就越快）。時間響應性能指標：峰值時間時間響應性能指標峰值時間：系統(tǒng)響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間。31時間響應性能指標

：上升時間上升時間：響應從終值的10%上升到終值的90%所需的時間（過阻尼系統(tǒng)）；或響應從零第一次上升到終值所需的時間（欠阻尼系統(tǒng)）?？紤]欠阻尼系統(tǒng)根據(jù)定義，令其中，時間響應性能指標32上升時間的確切解析表達式難以計算，我們通常使用線性近似表達式進行計算注意：對于取值，我們還可以利用下面的表達式來計算上升時間由前述公式可見，要使系統(tǒng)反應快，必須減小tr。因此當ζ一定，

n必須加大；若

n為固定值，則ζ

越小，tr也越小。時間響應性能指標時間響應性能指標

：上升時間33時間響應性能指標

：調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間：響應到達并保持在終值（）內(nèi)所需的最短時間。我們考察誤差表達式考慮到系統(tǒng)時間響應曲線總是在包絡(luò)線的兩條分支之間變化時間響應性能指標34通常利用兩個近似公式計算調(diào)節(jié)時間對于5%誤差對于2%誤差在上面的近似公式中，調(diào)節(jié)時間僅僅取決于復數(shù)共軛極點的實部等調(diào)節(jié)時間線等ts線(等σ線)時間響應性能指標時間響應性能指標

：調(diào)節(jié)時間35時間響應性能指標：超調(diào)量超調(diào)量：響應的最大偏離量與終值的差同終值的比。由于我們已經(jīng)得到了峰值時間，因此很容易計算我們還常常利用百分比超調(diào)量來表示超調(diào)量時間響應性能指標36

等超調(diào)量線，僅僅取決于阻尼比

等

線由上式可見，最大百分比超調(diào)量完全由ζ

決定，ζ

越小，超調(diào)量越大。當ζ=０時，σ%=100%，當ζ

=１時，σ

%=０。σ

與ζ的關(guān)系曲線見圖。時間響應性能指標時間響應性能指標：超調(diào)量37

和z的關(guān)系更一般地，Mo

或

可以表示為時間響應性能指標時間響應性能指標：超調(diào)量38穩(wěn)態(tài)誤差實際上不是系統(tǒng)暫態(tài)響應的動態(tài)指標。但是，它是衡量控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要度量。時間響應性能指標：穩(wěn)態(tài)誤差其中，GE(s)是誤差傳遞函數(shù)注意，只有穩(wěn)定系統(tǒng)才有誤差，這是一個穩(wěn)態(tài)指標時間響應性能指標其中，r(t)是輸入，y(t)是輸出39對于不包含零點的二階系統(tǒng)，我們可以得到如下的精確公式我們還可以得到如下的近似公式在過程控制中，經(jīng)常還會用到一個指標：衰減比n－－它是指同方向過渡過程曲線上的相鄰兩個波峰之比.注意與阻尼比的區(qū)別，非同一參數(shù)??！對于5%誤差對于2%誤差時間響應性能指標時間響應性能指標：小結(jié)40B1B2時間響應性能指標時間響應性能指標：小結(jié)對于5%誤差對于2%誤差41參數(shù)選擇根據(jù)以上分析，如何選取

和

n來滿足系統(tǒng)設(shè)計要求需要折中。總結(jié)性能指標與

和

n的關(guān)系如下：(1)當

n一定，要減小tr和tp，必須減少

值，要減少ts則應增大

n值，而且

值有一定范圍，不能過大。(2)增大

n，能使t