河南省2022屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)（理）試題(六)（ 含答案解析 ）

高三上冊理科數(shù)學(xué)期末模擬卷（六）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，．若，則a的值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求出答案.【詳解】∵，，∴當時，a＞2.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為復(fù)數(shù)單位），則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得.故選：D.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減；對于B選項，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減；對于C選項，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上不單調(diào)；對于D選項，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.故選：A.4.如圖，已知棱長都為4的四棱錐，底面是菱形，為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別取，的中點，連接，由已知條件可得是異面直線與所成的角，然后在中根據(jù)已知條件利用余弦定理求解即可【詳解】如圖，分別取，的中點，連接，因為為的中點，四邊形是菱形，所以，所以（或其補角）是異面直線與所成的角．因為四棱錐的棱長都為4，，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為.故選:B．5.定義函數(shù)的值為不超過正實數(shù)x的素數(shù)的個數(shù)（素數(shù)是大于1且只以1和自身為因數(shù)的正整數(shù)），則表示正整數(shù)集合，中素數(shù)所占的比例．數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當n非常大時這個比例接近于的值．由此估計，下列選項中與區(qū)間中素數(shù)的個數(shù)最接近的是（）（提示：，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出素數(shù)的個數(shù)計算公式即可求解.【詳解】由題意可得.故選：B6.袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次摸到白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率求解.【詳解】設(shè)“第一次摸到紅球”的事件為A，設(shè)“第二次摸到白球”的事件為B，則，所以在第一次摸到是紅球的條件下，第二次第二次摸到白球的概率為：.故選：B7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域、單調(diào)性、對稱性確定正確選項.【詳解】，所以的定義域為.由此排除A選項.，函數(shù)，開口向下，對稱軸為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在遞增，在遞減.且圖象關(guān)于對稱，由此排除BD.C選項正確.故選：C8.有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)；：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；：若直線平面，直線平面，則；：若直線平面，直線平面，則．其中為真命題的是（）A. B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系對四個命題逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】：兩兩相交且不過同一點的三條直線圍成一個三角形，是平面圖形，為真命題.：若空間兩條直線不相交，可能為異面直線，為假命題.：根據(jù)線面垂直的定義可知為真命題.，直線平面且直線平面，所以直線與有可能平行，也有可能異面，為假命題.故選：B9.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】取判斷充分性，根據(jù)在的單調(diào)性判斷必要性，即可知題設(shè)條件間的充分必要關(guān)系.【詳解】當，有，故充分性不成立.記，，則，∴在上單調(diào)遞增，則，又，，∴必要性成立.故選：B.10.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且與的等差中項為，則的值為（）A.5 B.512 C.1024 D.2048【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出首項與公比，得出通項公式即可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，解得，因為與的等差中項為，則有，即，解得，所以，故，則，所以．故選：C11.已知圓：，過點的直線交圓于，，過點，的圓的切線交于點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圓與直線的圖象，由，，三點共線且與垂直時，取得最小值來求得正確答案.詳解】如圖，過點直線交圓于，，過點，的切線交于點，當，，三點共線且與垂直時，取得最小值，，，即的直線方程為，，，和為等腰直角三角形，．故選：B12.已知方程在上恰有3個不等實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件將方程解的個數(shù)等價轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)與圖象交點個數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)即可推理作答.【詳解】作出函數(shù)與的圖象，如圖，當時，兩個函數(shù)圖象至多有兩個公共點，而方程在上恰有3個不等實數(shù)根，則，當時，方程在上只有一個實根，方程在上恰有3個不等實數(shù)根，等價于方程在上恰有2個不等實數(shù)根，即函數(shù)在上恰有2個零點，，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上最多一個零點，于是有，當時，，當時，，即有在上遞減，在上遞增，因此，，且在上的兩個零點分別在區(qū)間與內(nèi)從而有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以按各段零點個數(shù)和等于總的零點個數(shù)分類分段討論解決.二、填空題13.已知且與的夾角為，則___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義先求出的值，再將變形為，便可求解.【詳解】由題意可知，且與的夾角為，所以，所以.故答案為：14.自年月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性，各級政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負責該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有名醫(yī)生，現(xiàn)要求這名醫(yī)生都要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有_________種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先將名醫(yī)生分為組，各組的人數(shù)分別為、、，再將組醫(yī)生分配給個不同的住戶，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先將名醫(yī)生分為組，各組的人數(shù)分別為、、，再將組醫(yī)生分配給個不同的住戶，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的分配方案種數(shù)為.故答案為：.15.已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(2，m)到焦點的距離為4，準線為l．若l與雙曲線C：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的漸近線方程為_________．【答案】【解析】【分析】由給定條件求出拋物線的準線l的方程，再求出準線與雙曲線的兩條漸近線的交點即可作答.【詳解】依題意，拋物線準線：，由拋物線定義知，解得，則準線：，雙曲線的兩條漸近線為，于是得準線與兩漸近線交點為，原點為O，則面積，解得，所以雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：16.已知若對任意，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】.【解析】【分析】不等式可以轉(zhuǎn)化為，先考慮時，當時，考慮和兩種情況對根式不等式進行討論，最后求出答案.【詳解】由題意，.當時，，；當時，（1）若，則，設(shè)，于是，所以.（2）若，首先，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，設(shè)，于是，所以.綜上：.三、解答題17.某藥廠主要從事治療某種呼吸道慢性疾病的藥物的研發(fā)和生產(chǎn).在研發(fā)過程中，為了考察藥物對治療慢性呼吸道疾病的效果，對200個志愿者進行了藥物試驗，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，得到如下列聯(lián)表.藥物慢性疾病合計未患病患病未服用服用合計（1）完成該列聯(lián)表并判斷是否有的把握認為藥物對治療慢性呼吸道疾病有效？并說明理由；（2）該藥廠研制了一種新藥，宣稱對治療疾病的有效率為，隨機選擇了個病人，經(jīng)過該藥治療后，治愈的人數(shù)不超過人，你是否懷疑該藥廠的宣傳？并說明理由.附：，.【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有的把握，理由見解析；（2）可以不懷疑，理由見解析.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）根據(jù)隨機事件的定義可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：列聯(lián)表如下：藥物慢性疾病合計未患病患病未服用服用合計，所有沒有的把握認為藥物對治療慢性呼吸道疾病有效.【小問2詳解】解：因為治愈人數(shù)不超過人為一個隨機事件，在某一次試驗中可能發(fā)生.所以，可以不懷疑.18.如圖，已知，，，平面平面，，，為中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取中點為，得到，，進一步得到，然后根據(jù)面面垂直得到平面，然后得到，，最后可得結(jié)果.（2）建立空間直角坐標系，得到以及平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)中點為，連，∵為中點，如圖∴，又由題意，∴，且，∴四邊形為平形四邊形，∴∵∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面，∴，∴，又，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．【小問2詳解】以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立如圖所示坐標系，，，，，設(shè)平面的法向量，則，∴取，，，∴，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴.19.已知為數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列前項和為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可得，再利用等差數(shù)列的定義及條件即求；（2）由題可得，再分組求和即得.【小問1詳解】當時，，又，所以；當時，，所以，即，所以，所以，化簡，得，即當時，，所以為等差數(shù)列，又，，所以公差，所以．【小問2詳解】由（1）知為以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以．20.已知橢圓的右焦點為F，直線l與橢圓C交于A，B兩點．（1）若，且直線l的斜率為4，求直線(點為坐標原點)的斜率．（2）若直線，的斜率互為相反數(shù)，且直線l不與x軸垂直，探究：直線l是否過定點?若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）過定點，﹒【解析】【分析】(1)由值M為AB中點，由點差法即可得OM的斜率；(2)根據(jù)橢圓對稱性，結(jié)合已知條件可知l過定點時，定點應(yīng)該在x軸上，設(shè)定點為(t，0)，寫出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線，的斜率互為相反數(shù)列出方程，即可求得定點坐標﹒【小問1詳解】設(shè)，，依題意，M為線段的中點，∵A，B在橢圓C上，故兩式相減可得，則，故，解得．【小問2詳解】假設(shè)定點存在，根據(jù)橢圓對稱性，可知該直線所過定點在x軸上，設(shè)定點坐標為，則直線l的方程為，聯(lián)立，消去y整理得，則，．設(shè)直線，的斜率分別為，，由題可知，則．即，∴，，即直線l過定點．【點睛】解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域為，求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出，證明出，可求得函數(shù)的最小值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：的定義域為，.當時，，在上單調(diào)遞增；當時，由得.若，，單調(diào)遞增；若，，單調(diào)遞減.綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立.令，令，則.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，即.又，所以.所以，當時等號成立.因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，，所以存在，使得成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.請考生在第（22），（23）二題中任選一題做答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分.22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的一個參數(shù)方程；（2）若與交于，兩點，與交于，兩點，求四邊形周長的最大值.【答案】（1），（為參數(shù)）（2）【解析】【分析】（1）先求得曲線的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程.（2）求得的普通方程，判斷出四邊形為矩形，利用曲線的參數(shù)方程求得矩形周長的最大值.【小問1詳解】，，所以曲線的一個參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.【小問2詳解】直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)