安徽省舒城某中學(xué)2023屆仿真模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

安徽省舒城中學(xué)2023屆仿真模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

?2?3

1.已知復(fù)數(shù)2=上工，2是z的共軌復(fù)數(shù)，則N.Z=（）

1+i

A.0B.TC.1D.2

2.第32屆奧運會男子舉重73公斤級決賽中，石智勇以抓舉166公斤，挺舉198公斤，

總成績364公斤的成績，為中國舉重隊再添一金，創(chuàng)造新的世界紀錄.根據(jù)組別劃分的

最大體重以及舉重成績來看，舉重的總質(zhì)量與運動員的體重有一定的關(guān)系，如圖為某體

育賽事舉重質(zhì)量與運動員體重之間關(guān)系的折線圖，下面模型中，最能刻畫運動員體重和

舉重質(zhì)量之間的關(guān)系的是（）

舉重運動員的體重與舉重質(zhì)量關(guān)系折線圖

舉重質(zhì)量/公斤

運動員體重/公斤

A.y=rny/x+n(/?>0)B.y=mx+n(,”>())

C.y=mx2(m>0)D.y=max+n(機>0,〃>0且。。1)

3.要得到函數(shù)y=&cosx的圖象，只需將函數(shù)y=&sin[x+?J的圖象（）

A.向左平移￡個單位B.向右平移￡個單位

44

C.向上平移￡TT個單位D.向下平移￡TT個單位

44

4.以下四個選項中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（)

(x2+l)ex

D.y—2---------L——

X

ex

D-F

5.在正方體ABC。-A4GA中，過點。作直線/與異面直線AC和BG所成角均為6,

則e的最小值為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.數(shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的

戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，"世界數(shù)

學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)“四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多

選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

7.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若

AP=2AB+〃AD，則2+〃的最大值為

A.3B.2應(yīng)C.V5D.2

8.若函數(shù)”力=陰+依2+。，則下列說法正確的是（）

A.若人＞-1,則對于任意”＞0函數(shù)/（/（x））都有2個零點

B.若人＜-1,則對于任意a＞0函數(shù)〃/（力）都有4個零點

C.若。＜-1,則存在%＞。使得函數(shù)〃/（力）有2個零點

D.若b=-l,則存在4＞0使得函數(shù)/（/（力）有2個零點

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)〃后，方差也變?yōu)樵瓉淼?倍

試卷第2頁，共6頁

B.設(shè)有一個回歸方程y=3-5x,變量X增加1個單位時，y平均減少5個單位

C.線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，越接近

于0線性相關(guān)性越弱

D.在某項測量中，測量結(jié)果J服從正態(tài)分布N（1Q2）（（T>0）,則尸依>1）=05

10.已知函數(shù)/（x）=sin[cosx]+cos卜inx],其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，關(guān)

于/（X）有下述四個結(jié)論，正確的是（）

A./（x）的一個周期是B.是非奇非偶函數(shù)

C.在（0,乃）單調(diào)遞減D.f（x）的最大值大于&

11.為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本

次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為茉，托盤由

邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正

確的是（）

A.經(jīng)過三個頂點A民。的球的截面圓的面積為9TT

B.異面直線A。與CF所成的角的余弦值為（

O

,JT

C.直線4）與平面。EP所成的角為H

D.球離球托底面DEF的最小距離為6+遠-1

3

12.在數(shù)列｛%｝中，對于任意的〃eN*都有4,>。，且向=。“，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.對于任意的“22,都有4>1

B.對于任意的4>0,數(shù)列｛%｝不可能為常數(shù)列

C.若0<4<2,則數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

D.若4>2,則當"22時，2<a?<Oy

三、填空題

13.(1+2x)6的展開式中xs項的系數(shù)為(用數(shù)字作答)

2

14.已知雙曲線'v-馬=l(a2>0)左右焦點分別為耳，工，過點1作與一條漸近線垂直

a'h-

的直線/,且/與雙曲線的左右兩支分別交于M,N兩點，若則該雙曲線

的漸近線方程為.

四、雙空題

15.一項“過關(guān)游戲''規(guī)則規(guī)定：在第〃關(guān)要拋擲一顆骰子"次，如果這〃次拋擲所出現(xiàn)

的點數(shù)的和大于2"，則算過關(guān).則某人在這項游戲中最多能過關(guān)；他連過前

三關(guān)的概率是

五、填空題

16.在銳角三角形ABC中，角AB,C的對邊分別為a,。,c,若從+C2=4兒sin(A+?

則tanA+tanB+tanC的最小值是.

六、解答題

17.如圖，在平面直角坐標系X0X中，銳角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半

軸重合，終邊與單位圓交于點Pa，y)，cosa差.

(1)求X的值;

試卷第4頁，共6頁

rr

(2)射線OP繞坐標原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)］后與單位圓交于點加(々,女)，點N與M

關(guān)于x軸對稱，求tan/MON的值.

18.數(shù)列A,:4電,…,a”(〃N2)滿足qe{-I,l}(i=l,2,…,〃)，稱

13

Tn=at-2-+%.2T+%-2"-+???+%,2'+4V2"為數(shù)列A,,的指數(shù)和.

⑴若"=3,求《所有可能的取值；

(2)求證：數(shù)列4的指數(shù)和1,<0的充分必要條件是4=7.

19.如圖①所示，長方形ABC。中，A￡>=1,鉆=2,點〃是邊C￡>的中點，將

沿AM翻折到△小連接尸8,PC,得到圖②的四棱錐P-ABOW.

(1)求四棱錐P-ABCM的體積的最大值：

(2)設(shè)。的大小為。，若。，求平面和平面P8C夾角余弦值的最

小值.

20.自2019年底開始，一種新型冠狀病毒C0W619開始肆虐全球.人感染了新型冠狀

病毒后初期常見發(fā)熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴重者可致呼吸困

難、臟器衰竭甚至死亡.目前篩查冠狀病毒的手段主要是通過鼻拭子或咽拭子采集樣本,

再進行核酸檢驗是否為陽性來判斷.假設(shè)在接受檢驗的樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果(陽

性、陰性)是相互獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率均為P(O<P<1).

(1)若p=g,現(xiàn)對4份樣本進行核酸檢測，求這4份中檢驗結(jié)果為陽性的份數(shù)g的分布

列及期望；

⑵若p=l-2；現(xiàn)有2%伏€葉n2)份樣本等待檢驗，并提供“合1”檢驗方案：將

k(k6W,k>2)份樣本混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，則可認為該混合樣本中的每

個人都為陰性;若檢驗結(jié)果為陽性，則要求該組中各個樣本必須再逐個檢驗.試比較用“k

合1”檢驗方案所需的檢驗次數(shù)X的期望E(X)與2k的大小.

21.已知A8,C是雙曲線C:>?=l(a>0,10)上相異的三個點，點48關(guān)于原點對稱,

直線BC,AC的斜率乘積為2.

(1)求雙曲線C的離心率.

(2)若雙曲線C過點(6,2),過圓0:/+V=從上一點以6為)作圓。的切線/，直線/交

雙曲線C于P,。兩點，|。"?|。0=4而，求直線/的方程.

22.已知二次函數(shù)/(9=爐+0￥+加+1,關(guān)于x的不等式”X)<(2〃L1)X+1-病的解

集為(北〃葉1),其中“為非零常數(shù)，設(shè)g(x)=".

(1)求。的值；

(2)Z,，〃(AeR,/〃xO)如何取值時，函數(shù)⑴(x)=g(x)-*ln(x-l)存在極值點，并求出極值

點.

(3)若〃?=1,且x>0,求證：[g(x+l)]"-g(x"+l)N2"-2(〃wN*).

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,進而可求

i+i2+i3-1-1+i11.

【詳解】=------F-1,

1+i1+i(l+i)(l-i)22

11.11

所以z-z=----1H—=—

2242

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)函數(shù).y=x,y=F,y=W,y=2',y=(gj的圖象特征判斷

2

【詳解】在同一坐標系中作出函數(shù)y=%,y=G,y=xf

由函數(shù)圖象，根據(jù)折線圖可知，最能刻畫運動員體重和舉重質(zhì)量之間的關(guān)系的是y=+〃

(機>0),

故選：A

3.A

【解析】先變形：y=&cosx=0sin(x+g,再根據(jù)左加右減原理即可得解.

【詳解】因為y=V^cosx=&sin(x+]),

所以由函數(shù)y=&sin(x+?)的圖象得到函數(shù)y=^sin[x+5)的圖象，

答案第1頁，共20頁

TT

根據(jù)左加右減，只需向左平移二個單位.

4

故選：A.

4.C

【分析】根據(jù)題意，用排除法分析排除A、B、D,綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，用排除法分析:

對于A,/(x)=|-,當x<0時，有〃x)<0,不符合題意，

對于B,當x<0時，/(x)=(『+W<0,不符合題意，

X

對于D,/("=七，八2)=*<1，不符合題意，

故選：C.

5.B

【解析】計算異面直線AC和8c所成角，則e的最小值為異面直線AC和BG所成角的一

半

【詳解】解：因為ac〃AG，

所以ZBGA為異面直線AC和g所成角,

因為AG=BG=AB,

所以VA8G是等邊三角形，所以N8CA=60°,

過點B作直線/的平行線則當/與N8GA的角平分線平行時，e取得最小值為30。,

答案第2頁，共20頁

【點睛】此題考查異面直線所成角，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.

【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1」，2或0,1,3或0,2,2

若是1J2,則先將4門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個學(xué)年共有種不同

A；

分配方式，由乘法原理可得共有.禺=36種，若是0,1,3,則先將4門學(xué)科分成三組

共種不同方式，再分配到三個學(xué)年共有A；種不同分配方式，由乘法原理可得共有

c2c2

C：C1A；=24種，若是0,2,2,則先將門學(xué)科分成三組共三種不同方式,再分配到三個

C：C；

學(xué)年共有國種不同分配方式,由乘法原理可得共有.禺=18種

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種,

故選：B.

7.A

【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.

設(shè)A（0,l）,5（0,0）,C（2,0）,D（Zl）,P（x,y）,

2O4

易得圓的半徑r=而，即圓C的方程是（x-2）-+V=（,

UUUL1LMIULIU

AP=（x,y—l）,AB=（O,—1）,AO=（2,0）,若滿足AP=4A8+MAZ）,

則［龍:，〃=3，%=i-y，所以2+〃=：-y+i，

［y-\=-A22

設(shè)z=1-y+l,即T-y+l-z=0,點P（x,y）在圓（x-2y+V=［上,

答案第3頁，共20頁

r

所以圓心(2,0)到直線1-y+l-z=O的距離解得14Z43,

所以z的最大值是3,即義+〃的最大值是3,故選A.

【點睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量

的加、減或數(shù)乘運算.

(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

8.B

【分析】先判斷出偶函數(shù)，求導(dǎo)討論/(x)在［0,+8)上的單調(diào)性，確定最小值，再結(jié)合選項，

討論最小值和0的大小，進而分析出/(x)的零點，再分析/(f(x))的零點即可.

【詳解】易得定義域為R,又/(一可=朋+/+6=/(耳，則””為偶函數(shù)；當X20時,

/(x)=er4-or2+b,/*(%)=eJ+2c4￥,

當a>0時，則r(x)=e，+2ox>0,則f(x)在9+⑹上單增，/(x)>/(O)=l+&,又〃x)

為偶函數(shù)，則在R上，/(x)n.n=l+/7；

對于A,若b>-l,貝廳(xUul+b〉。，故在R上有令f=/(x),則”0,易

得了(。>0,則f(7(x))無零點，故A錯誤；

對于B,若b<-l,則/(力.=1+"<0，又+8,故f(X)在［0,+8)上有1

個零點七，又用(力為偶函數(shù),

則在(-8,0)上有另一個零點F,則/(/(X))零點的個數(shù)等價于"x)=X以及*x)=-x，解

的個數(shù)，又外>0,易得〃X)=玉有2個解，

又e*+ar；+6=0,-^-g(x)=ev+ar2-x-l(x>0),則g'(x)=e*+2or-]>0,貝!Jg(x)單增，

即g(x)>g(0)=0,

貝1%”+以2—》一1>0,可得e*+ax；-X1-l>0,即即6+1<-±,則〃力=-玉

有2個解,

答案第4頁，共20頁

綜上可得對任意a＞0,〃”=玉以及/(力=-%有4個解，即/(/(⑼有4個零點，故B

正確；C錯誤；

若b=-l,則/(x)111ta=1+6=0,則〃x)有唯一零點0,則/(“X))零點的個數(shù)等價于

f(x)=0解的個數(shù)，

顯然只有1個解0,即對任意。＞0,/(/(x))只有1個零點，故D錯誤.

故選：B.

【點睛】本題關(guān)鍵點在于討論最小值和。的大小，進而分析出“X)的零點；當

時，易得f(x)有兩個零點為，F(xiàn)，通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'+G：2—%—心＞。)判

斷-為和8+1的大小，是求出/(力=-演解的個數(shù)的關(guān)鍵.

9.BCD

【分析】直接利用方差關(guān)系式的變化和原數(shù)據(jù)的關(guān)系，回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式,

正態(tài)分布的關(guān)系式的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論.

【詳解】解：對于A：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)〃后，方差也變?yōu)樵?/p>

來的/倍，故A錯誤；

對于B：設(shè)有一個回歸方程5=3-5x,變量x增加1個單位時，y=3-5(x+l)=3-5x-5,所

以平均減少5個單位，故B正確；

對于C：線性相關(guān)系數(shù)，?的絕對值越接近于1,兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，越接近

于0線性相關(guān)性越弱，故C正確；

對于D：在某項測量中，測量結(jié)果J服從正態(tài)分布陽1,4)(。＞0),對稱軸為4=1則

尸?＞1)=0.5,故D正確；

故選：BCD.

10.ABD

【分析】先根據(jù)周期函數(shù)定義判斷選項A,再根據(jù)y=[x]函數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化/(X)為分段函

數(shù)判斷B選項，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷C,D選項.

【詳解】Qf(.x+2TT)=sin[cosx]+cos[sinx]=/(x),

\f(x)的一個周期是2萬，故A正確；

答案第5頁，共20頁

sinl+l,x=O

cosl,x=—

2

sinl,xe

f(x)=<

34

l-sinl,xe

~2

???/(x)是非奇非偶函數(shù)，8正確；

對于C,xe(O,§時，/(x)=l,不增不減，所以C錯誤；

對于￡>,xe[O,1)，/(x)=sinl+l>sin-+l=l+->1.7>>/2,。正確.

故選：ABD

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，奇偶性，考查了特例法求解選擇題，屬于

中檔題.

11.BCD

【分析】求出二ABC外接圓面積判斷A,作出異面直線所成的角并求出這個角后判斷是B,

根據(jù)直線民平面所成的角定義判斷C,求出球心到平面OEF的距離可判斷D.

【詳解】根據(jù)圖形的形成，知48,C三點在底面。跖上的射影分別是1三邊中點

M,N,P,如圖，"C與全等且所在面平行，截面圓就是A3C的外接圓與加頌

的外接圓相同.

由題意ZXW尸的邊長為1,其外接圓半徑為r=1xl=@,圓面積為5=萬產(chǎn)=二A錯;

答案第6頁，共20頁

R

由上面討論知AC與MP平行且相等，而MP與NF平行且相等，因此AC與NG平行且相等,

從而ACFN是平行四邊形，CFHAN,所以ND4N是異面直線AD與C尸所成的角（或其補

角）.由已知，AD=2,DN=也,AN=CF=2,

AN2+AD2ND2

CO^DAN=-=^1^,B正確;

IANAD2x2x28

由平面ADE與平面DEF垂直知AE在平面AEF內(nèi)的射影是DE,所以為直線AD與

平面DEE所成的角，此角大小57T，C正確.

4,4

由上面討論知AB=BC=C4=1,設(shè)。是球心，球半徑為R,由§萬內(nèi)=3萬得R=l,則

O-ABC是正四面體,棱長為1,設(shè)H是ABC的中心，則0H，平面ABC,又Cau平面ABC,

、2

所以CW1CH,CH=息,則0H=3

邛,乂AM=6

37

所以球離球托底面際的最小距離為屬當T,D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間折疊問題，掌握空間的垂直關(guān)系是解題關(guān)鍵.由垂直平

行關(guān)系得出MC與△MNP全等且所在面平行，從而易得截面圓與△MNP的外接圓相同，

答案第7頁，共20頁

從而可得CF〃AN,得異面直線所成的角，得直線與平面所成的角，根據(jù)正四面體積的性

質(zhì)求得其高，得出距離的最小值.

12.ACD

【分析】A由遞推式有上“用=與-+1,結(jié)合凡>0恒成立，即可判斷：B反證法：

%+1

假設(shè)｛《,｝為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求。“判斷是否符合4>0,即可判斷；C、D由上

-=討論向<2、。向>2研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.

an+l

【詳解】A：由%=區(qū)+1,對V”eN*有4>0,則?B+1=-+1>1，即任意n>2都有為>1,

正確；

B：由4+](%+|-1)=%,若｛4｝為常數(shù)列且為>。，則?！?2滿足4>0,錯誤；

C：由—=凡+i-1且〃￡N*,

%

當1<4"+]<2時。</J<1,此時q=%(%-1)￡(°，2)且4<。2，數(shù)列｛4｝遞增；

an+l

當a“+i>2時&>1,此時％=%(%-1)>%>2,數(shù)列｛6｝遞減；

?！?1

所以0<q<2時數(shù)列｛〃,,｝為遞增數(shù)列,正確；

D：由C分析知：4>2時>2且數(shù)列｛%｝遞減，即〃22時2<?！?lt;%,正確.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項B應(yīng)用反證法，假設(shè)｛%｝為常數(shù)列求通項，判斷是否與q>0矛

盾；對于C、D,將遞推式變形為2=%"T,討論1<。向<2、〃向>2時研究數(shù)列的單

調(diào)性.

13.160

【分析】由二項式的展開式的通項公式得到令r=3,即可求出展開式中『項的系

數(shù).

【詳解】因為C；16T(2X)'=C；2X,

6x5x4

所以令r=3,則(1+2"的展開式中/項的系數(shù)為屐乂23=丁??；*8=160,

3x2x1

故答案為：160.

答案第8頁，共20頁

14.y=±(G+l)x

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求用用I,|8知|,結(jié)合余弦定理可求，的值.

【詳解】如圖，設(shè)直線/：y=-^x,6S1/且垂足為s,

因為閨N|T罵M=2a，故低M=2a,所以住陷=4〃，

而「SJL/,故［5=6,故COSNS"E=9,

C

h

在△耳中，由余弦定理可得16/=4/+4,2-2x2cx2。*一,

C

整理得到：2/+2H-〃=0,故2=1+6，

a

因此該雙曲線的漸近線方程為y=±(V3+l)x.

故答案為：y=+(>/3+l)x.

100

15.4—

243

【分析】每關(guān)得到的最大點數(shù)為6”，令。,,=6〃-2",利用作差法可求得數(shù)列｛%｝單調(diào)性，

由此可確定當“24時，6n<2%從而得到結(jié)論；分別計算該人通過第一、第二和第三關(guān)的

概率，根據(jù)獨立事件概率乘法公式可求得結(jié)果.

【詳解】若每次拋擲一顆骰子都能得到最大點數(shù)6點，則第〃關(guān)拋擲的點數(shù)和為6〃，

令q=6〃-2",則--%=6〃+6--6"+2"=6-2",

則當“42時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增；當〃23時，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減；

又q=4>0,%=10>0,a4=-10<0,

二當〃24時，6〃<2",則某人在這項游戲中最多能過4關(guān)；

該人第一關(guān)所有可能的結(jié)果為1,2,3,4,5,6,則通過第一關(guān)的概率網(wǎng)=：4=32；

答案第9頁，共20頁

該人第二關(guān)所有可能的結(jié)果有6x6=36利i,則不能過關(guān)的基本事件個數(shù)為2Wx+y?4的正

整數(shù)解的個數(shù)，則有1+C；+C；=6種，

???通過第二關(guān)的概率P，=1=：；

36o

該人第三關(guān)所有可能的結(jié)果有6x6x6=216種，則不能過關(guān)的基本事件個數(shù)為

34x+y+z48的正整數(shù)解得個數(shù)，則有1+C；+C：+C；+C：+C；=1+3+6+10+15+21=56

種，

通過第三關(guān)的概率P3=1-費W；

???連過前三關(guān)的概率"2P3/x'x券=黑.

3o2/243

HG工100

故答案為：4；五)

16.873

【分析】由余弦定理及所給等式可得“2+2歷34=4限皿［+/化簡得/=2^^114,

然后利用正弦定理進行邊化角可整理得tanB+tanC=2力tan8tanC,再由

tanA=-tan(8+C)可推出tanA+tanB+tanC=tanA-tanB?tanC,令

121137211。-1=〃?(機>0)將所求式子整理為關(guān)于相的函數(shù)，利用基本不等式即可求得最小

值.

【詳解】由余弦定理，得6+/="+加3人則由從+c2=40csin(A+高，得

a2+2/?ccosA=40c'sin(4+^)=2bc(6sinA+cosA),所以〃2=2由bcsinA,

由正弦定理，Wsin2A=25/3sinBsinCsin/4?所以sinA=2>/5sinBsinC,

所以sin(B+C)=2A/3sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=26sinBsinC,

tan3+tanC=2GtanBtanC.

tanB+tanC

因為tanA=-tan(8+C)=

tanBtanC-1

所以tanA+tan8+tanC=tanAtan8tanC,

i“八_tanB+tanC__tanBtanC__

貝rnIi」tanA+tanB+tanC=------------------tanB-tanC=---------------------tanB-tanC.

tanBtanC-1tanBtanC-1

人c-?一八〃1tan8tanC_

令tan3tanC-l=m，而tanBtanC-l=-------+-------m>0

tanAtanA

答案第10頁，共20頁

則tan8?tanC=6+1,

22

,D<25/3(/?+l)2y/3(m+2m+\)

tanA+tan8+tanC=----------=---------------

mm

=26(m+—+2]..2^(2J/n--+2)=8>/3,

\m)vm

當且僅當機=1時，等號成立，

故tanA+tanB+tanC的最小值為8\/5.

故答案為：8出

【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式、正切公式，基本不

等式的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用等，屬于較難題.根據(jù)條件中邊和角的關(guān)系求解三角形的相關(guān)問

題的一般方法：(1)利用正弦定理將邊化為角，然后利用三角函數(shù)的知識及其他知識求解；

(2)利用正弦定理或余弦定理將角化為邊，然后利用代數(shù)知識求解.

17.⑴苧

嗎

【分析】(1)根據(jù)角a的終邊與單位圓交于點cosa=4,利用三角函數(shù)的定義，

結(jié)合平方關(guān)系求解；

(2)設(shè)單位圓與x軸負半軸交點為Q,則Q(-I,o),設(shè)=求得tanp,再利用二

倍角的正切公式求解.

【詳解】(1)解：因為銳角a的終邊與單位圓交于點尸(知乂)，cosa=@,

所以y=sinc=>/l-cos2a=.

(2)設(shè)單位圓與x軸負半軸交點為Q,則。(TO),

答案第11頁，共20頁

設(shè)乙MOQ=0,則4=乃_[a+')=冗

2~a，

n

---a

2_cosa

所以tan尸=tan

兀sina2

—a

2

2tan(34

所以tan/MON=tan2/?=

1-tan2/?3,

18.(1){-7,-5,—3,—1,1,3,5,7)

(2)證明見解析

【分析】(1)分別討論4,%，%的取值，由t=4q+2g+4可求得所有可能的取值；

(2)當4=-1時，可知7；4-2"T+(2"2+2"3+...+2i+2°),結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得

充分性成立；假設(shè)4=1,可知7；22，1-27-2"-3——2'-2°,結(jié)合等比數(shù)列求和公式可

證得必要性成立，由此可得結(jié)論.

【詳解】(D由題意知:豈=4《+2%+4,

4e{-l,l}(z=l,2,-??,?),

-**當q=4=%=-］時，n=—7；當q==-1f“3=］時，—6+1=—5?

當〃1=〃3=_1，〃2=1時，(=-5+2=-3；當。2=%=—1，q=l時，^3=4-3=1；

當4=-1,生=%=1時、4=-4+3=-1；當〃2=-1,4=%=1時，(=5-2=3；

當〃3=—1,“1=4=1時，4=6—1=5；當4=42=。3=1時；T、=7、

綜上所述：1所有可能的取值為{-7,-5,-3,-1,1,3,5,7}.

答案第12頁，共20頁

充分性：當時，1n23

(2)q=-lTn=-2"-+a2-2~+a3-2"-+■■■+aa.,-2'+a??2°

1_

<-2'-'+(2"-2+2""+…+2i+2°)=-2"-'+=-2"-'+2"-一1=-1<0(當月.僅當

%=。3=1時取等號）,

即當4=-1時-，（<0,充分性成立；

必要性:假設(shè)4=1,則7>2”'+%-2-2+42"-3+...+*.21+%-2°

>2'"'-2"2-2-3-------2'-2°=2"-'-=2"T一2'-'+1=1>0（當且僅當

1-2

4=4=3="”=T時取等號），

與7；<0矛盾，.?.假設(shè)錯誤，即q=-l,必要性成立；

綜上所述：數(shù)列4的指數(shù)和1<0的充分必要條件是4=7

19.（1）—

4

⑵包

11

【分析】（1）取AM的中點G,連接PG,即當平面小〃_L平面ABCM時，P點到平面ABCM

的距離最大，即可得到結(jié)果；

（2）連接。G,過點。作。Z,平面ABC。，以。為坐標原點，分別D4以。C,OZ所在直

線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，以及

法向量，列出方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）取AM的中點G,連接PG,因為必=PM,則尸6人4W,

當平面平面ABCM時，P點到平面A8CM的距離最大，四棱錐2-A8CW的體積取

得最大值，此時PG1?平面ABCM,且PG=-AM=Y-,

22

底面A8CM為梯形，SAM”=（1+2）X1X；=|,

則四棱錐P-MC用的體積最大值為?Lx3x^=走.

3224

答案第13頁，共20頁

(2)連接￡>G,因為D4=ZW,所以。G_LAM,所以NPG。為尸一AM—。的平面角，即

zPGD=e,

過點。作OZJ_平面ABC。，以。為坐標原點,

分別以D4,DC,￡>Z所在直線為x軸，)，軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(1,0,0),M(0,1,0),C(0,2,0),

過P作PHLDG于點H,由題意得尸"，平面ABCM,

設(shè)尸(%,％,Zo),因為尸6=孝，所以GH=^~-cos0,DH(1-cos6>),

所以/=%=^-(1-COS0)X^-=—(1-COS0)>zo=^y-sin0,

C,.5、

所以P—(1-cos^),-(1-cos0),——sin。,

322,

EMf1+COS0COS。-1s/2?、

所以A"二(—1,1,0),PA=---,---,-sm<9,

~x\+y=0

設(shè)平面PAM的法向量為勺=(%,y,zj,則<l+cos。cos0-15/2sin_

-2—玉+-2-Y----2-4=0

令z、=叵,則勺=pan仇tan仇吟

設(shè)平面PBC的法向量為%=(w，%,Z2),

cos0-1cos0+35/2.八、

因為CB=(l,0,0),PC=-------,-------,----sine/,

222/

答案第14頁，共20頁

馬=0

則｛cos(9-lcos(9+372."八令%=逐sin8,

----——x2+---------y2———z2sin6/=0

可得%二（0,及sin9,3+cos。）,

設(shè)兩平面夾角為。，

6也O+3&.+近cos。

COS013cos6+1|

J(2tar|26+2)卜后26+6cos6+10)A/11-cos*123*II^+6cos0

3cos^+-

33

J-fcos^lL^fcos^lV808020

VI3j3I3)9

9|cos0+-

l3

1

令/=r，所以法

?cos"03

3

9

所以cosa—―/:

切以V80/2+60Z-9

-3

因為y=80/+60/-9的對稱軸為f=-g,

o

所以當r=3時，cosa有最小值Yll,

II

所以平面PAM和平面PBC夾角余弦值的最小值為近.

11

（2）答案見解析

【分析】（1）分析可知4~8（4，:）,利用二項分布可得出隨機變量4的分布，利用二項分布

的期望公式可求得￡仁）的值;

答案第15頁，共20頁

(2)計算出E(X),令2&-E(X)>0可得出log/-；〉。，構(gòu)造函數(shù)〃A)=log2"；(k22),

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/小)的單調(diào)性，比較/(&)與0的大小關(guān)系，即可得出E(X)與筋的大小.

【詳解】(1)解：記陽性人數(shù)為久則4~8卜4%=。)同Y，

.1/2?328

士=1）=C：=士=2）=C]

33）8127

（2）解：記所需化驗次數(shù)為X,則X的可能取值為2、k+2、2k+2,

p=l-2-^則1_/,=2士

/八2_k_（k\

所以，P（X=2）=，P（X=A+2）=C；.241—,

k）\

（_￡\2

P（X=2k+2）=1-2々,

E（X）=2x2W+2（攵+2>2y.i-2.[+（22+2）.1-21=2+221-2々

kkJ

令2Z-E（X）=2h2「"_2>0，可得%>2?,則]<2%

k1k

所以，一]>1°821，SPlog2/:——>0,

令f（k）=\o^k--（k>2],貝=—!——）=4-""2

'）624、'Jv7k\nl44kln2

當24入矗時，r⑻>0,此時函數(shù)/⑻單調(diào)遞增，

當無>3時,r網(wǎng)<0,此時函數(shù)〃&）單調(diào)遞減,

答案第16頁，共20頁

214、

/（2）=log22-^=l＞0,當壯[2,而J時，/心）＞0恒成立，

/（16）=Iog216-^=0,則當ke總16）時，/（左）＞0恒成立，

當火?16,物）時，/（&）＜0恒成立.

綜上所述，當上目2,16）且丘N時，/（&）＞0,則E（X）＜2Z,

當出=16時,/（%）=0,則E（X）=2Z,

當Ae（16,”）且女eN時，/（Z）＜0,則E（X）＞2h

【點睛】方法點睛：求離散型隨機變量均值與方差的基本方法：

（1）已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解.

（2）已知隨機變量x的均值、方差，求x的線性函數(shù)的均值、方差，可直接用x

的均值、方差的性質(zhì)求解；

（3）如果所給隨機變量是服從常用的分布（如兩點分布、二項分布等），利用它們的均值、

方差公式求解.

21.（l）e=G

(2)y=±x±2或y二±2x±VlO

【分析】（1）利用原1&%=號*及點差法即可求出4=2,據(jù)此可得橢圓離心率；

%2-玉a~

（2）分直線斜率存在與不存在討論，斜率不存在時驗證可得不成立，當斜率存在時，設(shè)直

線/的方程為丁=丘+〃6（%力），。（如％），聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系計算可得

OPA-OQ,據(jù)此求出=46，利用弦長公式求解可得.

【詳解】（1）設(shè)A&,yJ,C（w，%），根據(jù)對稱性，知

所以松.心:山.山二軍港.

X2-X]工2+%工2一百

0")

%—江=1

/b2得心c,即c=:

因為點AC在雙曲線上，所以兩式相減,二2,

K_K=i

a2b2

答案第17頁，共20頁

所以/=Q=1+<=3,所以e=也.

aQ

(2)因為雙曲線過點(6,2),所以雙曲線方程：x2-^-=l

當直線I的斜率不存在時，則PQ1耳%|?=2,|0。|=2,|0周0。|=4*4而

直線/的斜率不存在時不成立.

當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為>=履+加,尸(如為)，。(孫乂)

又點0到直線/的距離d=-^==帆=0護II,/=2伏2+1),

y=kx+m

聯(lián)立'肖去,得(2_%2)工2_2初比_m2_2=