新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識復(fù)習課課件北師大版必修第一冊

1.1

集合的概念第1課時

集合的概念知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理專題歸納·核心突破

知識網(wǎng)絡(luò)預(yù)

備

知

識

要點梳理1.集合中的元素有哪三個特征?元素與集合之間的關(guān)系是哪兩種?提示:集合中的元素的三個特征:確定性、無序性、互異性.元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系,用符號∈或?表示.2.集合的表示方法有哪些?提示:列舉法、描述法、Venn圖法和常用數(shù)集的字母表示法[自然數(shù)集N;正整數(shù)集N+(或N*);整數(shù)集Z;有理數(shù)集Q;實數(shù)集R].3.集合間的基本關(guān)系有哪幾種?請完成下表:4.集合的基本運算有哪幾種?請完成下表:5.充分條件、必要條件和充要條件的判斷方法有哪幾種?請完成下表:6.什么是全稱量詞命題和存在量詞命題?怎樣判斷它們的真假?怎樣寫出它們的否定?請完成下表:7.一般用什么方法比較兩個實數(shù)的大小?怎樣比較?提示:作差法.將兩個實數(shù)作差與0比較,依據(jù)a>b?a-b>0;a=b?a-b=0;a<b?a-b<0得出結(jié)論.8.不等式有哪些基本性質(zhì)?提示:不等式的性質(zhì)包括如下表所示的“單向性”和“雙向性”.單向性主要用于證明不等式,雙向性是解不等式的基礎(chǔ).9.基本不等式的具體內(nèi)容是什么?10.用基本不等式求函數(shù)最值時,你認為應(yīng)注意哪些問題?提示:基本不等式求函數(shù)的最值時,要特別注意“一非負、二定、三相等,和定積最大,積定和最小”這18字方針.常用的方法為:拆、湊、平方.11.一元二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解有怎樣的對應(yīng)關(guān)系?請完成下表.12.解一元二次不等式的基本步驟是什么?提示:(1)將一元二次不等式化成ax2+bx+c>0(a>0)的形式,(2)計算方程ax2+bx+c=0(a>0)的判別式并求出相應(yīng)的實數(shù)根,(3)畫出相應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象,(4)根據(jù)圖象和不等式的方向?qū)懗鲆辉尾坏仁降慕饧?13.解含參數(shù)的一元二次不等式時,一般需要討論哪些問題?提示:在解含有參數(shù)的一元二次不等式時,需要考慮相應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象的開口方向,對應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時要分析Δ),比較兩個根的大小,設(shè)根為x1,x2,要分x1>x2,x1=x2,x1<x2討論.14.利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟有哪些?提示:(1)審題;(2)建立不等式模型;(3)解決數(shù)學(xué)問題;(4)作答.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)任何一個集合都有子集.(

√

)(2)若{x2,1}={0,1},則x=0或x=1.(

×

)(3)對于任意兩個集合A,B,關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立.(

√

)(4)當q是p的必要條件時,p是q的充分條件.(

√

)(5)如果p是q的充分條件,那么命題“若p,則q”不一定為真.(

×

)(6)全稱量詞命題和其否定不可能都是真命題.(

√

)專題歸納·核心突破專題整合高考體驗專題一

集合的概念及基本運算【例1】

已知集合A={x|-x2+4x-3>0},B={x|2m<x<1-m}.(1)當m=-1時,求A∪B;(2)若A?B,求實數(shù)m的取值范圍;(3)若A∩B=?,求實數(shù)m的取值范圍.分析:先化簡集合A.(1)利用并集的定義求解;(2)借助數(shù)軸建立關(guān)于實數(shù)m的不等式組求其取值范圍;(3)分B=?和B≠?兩種情況討論.解:由-x2+4x-3>0,得x2-4x+3<0,解得1<x<3,所以A={x|1<x<3}.(1)當m=-1時,B={x|-2<x<2},則A∪B={x|-2<x<3}.集合的運算是指集合間的交、并、補這三種常見的運算.在運算過程中往往由于運算能力差或考慮不全面而出現(xiàn)錯誤.具體數(shù)集的運算一般采取數(shù)軸法,而抽象集合的運算常用Venn圖法,運算時特別注意對?的討論.(1)求A∩B,A∪B,(?UA)∩(?UB)(結(jié)果用區(qū)間表示);(2)若集合C={x|x>a},A?C,求a的取值范圍.解得2<x≤6,則B={x|2<x≤6}.(1)∵A={x|3≤x<8},B={x|2<x≤6},∴A∩B=[3,6],A∪B=(2,8),(?UA)∩(?UB)=(-∞,2]∪[8,+∞).(2)A={x|3≤x<8},C={x|x>a},又A?C,在數(shù)軸上表示出集合A,C,如圖.

由圖可知,a的取值范圍為{a|a<3}.專題二

常用邏輯用語【例2】

(1)“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R”的(

)A.充分條件,但不是必要條件B.必要條件,但不是充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)設(shè)p:(4x-3)2≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分條件,但不是必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是

.

分析:(1)先找不等式解集為R的充要條件,然后根據(jù)充分、必要條件的定義或與集合間的關(guān)系判斷;(2)先化簡p,q,然后轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解.解析:(1)當a=c=-1,b=0時,滿足b2-4ac<0,但是不等式ax2+bx+c>0的解集為?.反過來,由一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R,因此,“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R”的必要條件,但不是充分條件.1.充分條件、必要條件和充要條件的判斷主要根據(jù)定義,有時也轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系判斷.2.利用集合的關(guān)系判斷充分條件、必要條件、充要條件:(1)A?B,就是若x∈A,則x∈B,即A是B的充分條件,B是A的必要條件;(2)A?B,就是若x∈A,則x∈B,且B中至少有一個元素不屬于A,即A是B的充分條件,但不是必要條件,B是A的必要條件,但不是充分條件;(3)A=B,就是A?B,且A?B,則A是B的充分條件,同時A是B的必要條件,即A是B的充要條件;(4)若A,B無包含關(guān)系,則A是B的既不充分也不必要條件.【變式訓(xùn)練2】

已知p:-1<2x-3<1,q:x(x-3)<0,則p是q的(

)A.充分條件,但不是必要條件

B.必要條件,但不是充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析:由-1<2x-3<1,得1<x<2,即p:{x|1<x<2}.由x(x-3)<0,得0<x<3,即q:{x|0<x<3}.∵{x|1<x<2}?{x|0<x<3},∴p是q的充分條件,但不是必要條件.答案:A專題三

基本不等式分析:(1)配、湊成基本不等式的形式,然后利用基本不等式求最值;利用基本不等式求最大(小)值要注意使用的范圍和條件:“一非負,二定,三相等”,特別是所給式子不符合基本不等式的形式時,需要對所給式子通過拆項、添項、配湊、分離變量等方式進行變形,使之能夠出現(xiàn)定值,再就是要對等號能否成立進行驗證.答案:C專題四

一元二次不等式【例4】

已知一元二次函數(shù)f(x)=mx2+nx+2(m>0).(1)若不等式f(x)<0的解集是(1,2),求m,n的值.(2)若n=m+2,解關(guān)于x的不等式f(x)≥0.分析:(1)由“三個二次”的關(guān)系建立方程組求解;(2)根據(jù)已知,分解因式,比較兩個實數(shù)根的大小,寫出不等式的解集.解:(1)因為mx2+nx+2<0(m>0)的解集為(1,2),所以方程mx2+nx+2=0(m>0)的兩個根為x1=1,x2=2,解一元二次不等式的關(guān)鍵是確定二次項系數(shù)的符號,把系數(shù)化為正數(shù),利用相應(yīng)方程根表示不等式的解集,含參數(shù)的不等式要注意對參數(shù)分類討論.對含參數(shù)不等式的恒成立問題,其解決的關(guān)鍵便是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用,解決辦法有判別式法、分離參數(shù)法、變更主元法等.【變式訓(xùn)練4】

已知常數(shù)a∈R,解關(guān)于x的不等式ax2-2x+a<0.(ⅱ)若Δ=0,即a=±1,又a<0,所以a=-1.則原不等式為-x2-2x-1<0,即(x+1)2>0,解得x≠-1,所以原不等式的解集為{x|x≠-1}.(ⅲ)若Δ<0,即a>1或a<-1,又a<0,所以a<-1.此時,不等式ax2-2x+a<0對x∈R恒成立,所以原不等式的解集為R.綜上所述,當a≥1時,不等式的解集為?;考點一

集合1.(2021·新高考Ⅰ)設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則A∩B=(

).A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}解析:∵A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},∴A∩B={2,3}.故選B.答案:B2.(2021·全國乙高考)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則?U(M∪N)=(

).A.{5} B.{1,2}C.{3,4} D.{1,2,3,4}解析:方法1∵M∪N={1,2,3,4},∴?U(M∪N)={5}.方法2∵?UM={3,4,5},?UN={1,2,5},∴?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={5}.答案:A答案:D4.(2021·全國甲高考)設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則M∩N=(

).A.{7,9} B.{5,7,9}C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}答案:B5.(2021·全國乙高考)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(

).A.?

B.S

C.T

D.Z解析:當n=2k,k∈Z時,S1={s|s=4k+1,k∈Z}=T;當n=2k+1,k∈Z時,S2={s|s=4k+3,k∈Z},又S=S1∪S2,所以T?S,故S∩T=T.答案:C6.(2019·全國Ⅲ高考)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},則A∩B=(

).A.{-1,0,1} B.{0,1}C.{-1,1} D.{0,1,2}解析:A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},則A∩B={-1,0,1}.故選A.答案:A7.(2019·浙江高考)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},則(?UA)∩B=(

).A.{-1} B.{0,1}C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}解析:?UA={-1,3},則(?UA)∩B={-1}.答案:A8.(2019·天津高考)設(shè)集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B=(

).A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}解析:A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故選D.答案:D考點二

常用邏輯用語答案:C9.(2015·全國Ⅰ高考)設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則

p為(

).A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2nC.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n解析:∵p:?n∈N,n2>2n,∴

p:?n∈N,n2≤2n.故選C.10.(2016·浙江高考)命題“?x∈R,?n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是(

).A.?x∈R,?n∈N+,使得n<x2B.?x∈R,?n∈N+,使得n<x2C.?x∈R,?n∈N+,使得n<x2D.?x∈R,?n∈N+,使得n<x2解析:由含量詞命題的否定格式,可