高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精選修1-13。3.3HYPERLINK”file：///D:\\TDDOWNLOAD\\人教B版數(shù)學(xué)選修1-1，1—2\\1、3-3-3.ppt”導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用一、選擇題1．如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則體積的最大值為（)A．（eq\f（l,6））3π B．（eq\f(l，3））3πC．(eq\f（l,4））3π D。eq\f（1，4）(eq\f（l,4）)3π［答案］A［解析］設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r,2)，V＝πr2h＝eq\f(l,2）πr2－2πr3（0〈r<eq\f（l,4)）．則V′＝lπr－6πr2，令V′＝0,得r＝0或r＝eq\f(l，6），而r〉0，∴r＝eq\f(l，6）是其唯一的極值點(diǎn)．當(dāng)r＝eq\f（l,6)時(shí)，V取得最大值，最大值為(eq\f（l,6）)3π.2．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積最大為()A．2πr2 B．πr2C．4πr D.eq\f(1,2）πr2［答案]A[解析]設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則由組合體的知識(shí)得h2＋（2x）2＝（2r)2,又圓柱的側(cè)面積S＝2πx·h,∴S2＝16π2（r2x2－x4)，（S2)′＝16π2(2r2x－4x3),由(S2)′＝0，得x＝eq\f（\r(2),2)r（x＝0舍去），∴Smax＝2πr2，故選A。3．設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為（)A。eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C。eq\r（3,4V) D．2eq\r(3，V）[答案]C[解析]設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，側(cè)棱長(zhǎng)為l，則V＝eq\f（1，2）x2·sin60°·l，∴l(xiāng)＝eq\f（4V,\r(3）x2)，∴S表＝2S底＋3S側(cè)＝x2·sin60°＋3·x·l＝eq\f(\r（3），2）x2＋eq\f(4\r（3)V，x),S′表＝eq\r（3）－eq\f(4\r（3）V，x2）＝0,∴x3＝4V，即x＝eq\r（3,4V)。又當(dāng)x∈（0,eq\r（3，4V)）時(shí)y′<0，x∈(eq\r(3，4V),V）時(shí)，y′>0，∴當(dāng)x＝eq\r(3,4V）時(shí)，表面積最?。?．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系式R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（x3，900)＋400x，0≤x≤390，,90090x>390,））則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí),每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是（）A．150 B．200C．250 D．300［答案］D［解析］∵總利潤(rùn)P（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(x3,900)＋300x－20000,0≤x≤390，，90090－100x－20000，x>390，)）由P′(x)＝0，得x＝300,故選D。5．函數(shù)y＝(x－1)4的單調(diào)遞增區(qū)間為（)A．（－∞，1）B．（1,＋∞）C．（－1，1） D．（4，＋∞)[答案]B［解析］∵y′＝4（x－1)3，令y′>0得x〉1,∴函數(shù)y＝（x－1)4的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,＋∞)，故選B。6．函數(shù)y＝x3－3ax＋6的單調(diào)遞減區(qū)間是（)A．（－eq\r(a），eq\r（a）) B．(－∞，－eq\r（a))C．(eq\r(a），＋∞) D．以上都不對(duì)[答案]A[解析]∵y′＝3x2－3a＝3(x2－a當(dāng)a≤0時(shí)y′≥0恒成立，∴函數(shù)y＝x3－3ax＋6在（－∞，＋∞)上是增函數(shù),當(dāng)a〉0時(shí)，令x2－a〉0得x〉eq\r(a）或x<－eq\r(a），∴函數(shù)y＝x3－3ax＋6在（－∞,－eq\r(a））和(eq\r（a)，＋∞)上是增函數(shù)，令x2－a<0得－eq\r(a）〈x〈eq\r（a）,∴函數(shù)y＝x3－3ax＋6在(－eq\r（a），eq\r（a))上是減函數(shù)，故應(yīng)選A。7．(2008·廣東）設(shè)a∈R,若函數(shù)y＝ex＋ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則（）A．a(chǎn)〈－1 B．a(chǎn)〉－1C．a(chǎn)>－eq\f(1，e） D．a(chǎn)<－eq\f(1，e)[答案]A[解析］∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a當(dāng)a≥0時(shí)，y不可能有極值點(diǎn)，故a<0由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln（－a），∴x＝ln（－a)即為函數(shù)的極值點(diǎn)，∴l(xiāng)n(－a)>0，即ln(－a)>ln1。∴a〈－1.8．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是（)A.eq\f(3\r(3），2)cm2 B．4cm2C．3eq\r（2)cm2 D．2eq\r（3)cm2[答案］D[解析］設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4－x)cm，兩個(gè)三角形的面積和為S＝eq\f（\r(3)，4）x2＋eq\f(\r(3)，4）(4－x）2＝eq\f（\r(3)，2)x2－2eq\r(3）x＋4eq\r（3）。令S′＝eq\r（3)x－2eq\r(3）＝0則x＝2,所以Smin＝2eq\r（3）.二、填空題9．有一條長(zhǎng)為16m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的最大面積為________m2.［答案］16［解析]設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(16－2x，2)＝（8－x)m,其面積S＝x(8－x)＝8x－x2，S′＝8－2x，令S′＝0得x＝4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，S取極大值，這個(gè)極大值就是最大值，故當(dāng)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為4m，寬為4m時(shí)，面積取最大值16m210．y＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值為________．[答案］13[解析］y′＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)，令y′＝0得x＝0，x＝1,x＝－1，列表如下：x－2(－2,－1）－1（－1,0)0(0，1)1(1,2）2y′－0＋0－0＋y13極小值4極大值5極小值413由上表可知，函數(shù)y＝x4－2x2＋5在［－2,2]上的最大值為13.11．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形,然后把四邊折起,就能焊成鐵盒,所做的鐵盒容積最大時(shí),在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為__________．［答案]8cm[解析］設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則鐵盒的底面邊長(zhǎng)為(48－2x)cm，鐵盒的體積為V，由題意，得V＝x(48－2x)2(0<x<24），V′＝12x2－384x＋2304＝12(x2－32x＋192）,令V′＝0得x＝8或x＝24（舍去)，∴當(dāng)x＝8時(shí)V取極大值，這個(gè)極大值就是最大值．故當(dāng)截去的正方形的邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，所做的鐵盒容積最大．12．如圖所示,某工廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí),堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為________．[答案］32米,16米［解析]要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短,如下圖所示，設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為eq\f（512,x)米，因此新墻壁總長(zhǎng)度L＝2x＋eq\f（512，x）(x>0)，則L′＝2－eq\f（512，x2）。令L′＝0，得x＝±16.∵x〉0，∴x＝16.當(dāng)x＝16時(shí)，L極小值＝Lmin＝64，∴堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為eq\f(512，16）＝32米．13．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出（200－x）件,當(dāng)每件商品的定價(jià)為________元時(shí)，利潤(rùn)最大．［答案］115[解析］利潤(rùn)為S(x）＝（x－30)（200－x）＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，這時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大．14．把長(zhǎng)60cm的鐵絲圍成矩形，當(dāng)長(zhǎng)為________cm,寬為________cm時(shí),矩形面積最大．［答案]1515[解析]設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為eq\f（60－2x,2）＝(30－x)cm（0<x<30），矩形的面積S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝2(15－x),令S′＝0得x＝15,當(dāng)0<x<15時(shí)S′>0，當(dāng)15〈x<30時(shí)S′<0，∴當(dāng)x＝15時(shí)，S取極大值，這個(gè)極大值就是最大值，故當(dāng)矩形長(zhǎng)為15cm，寬為15cm時(shí)面積最大．三、解答題15．某集團(tuán)為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查,每年投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬(wàn)元)（0≤t≤3）．（1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在300萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi),才能使該公司獲得的收益最大?（2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入300萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改選．經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元）,可增加的銷售額為－eq\f（1，3)x3＋x2＋3x（百萬(wàn)元)．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司獲得的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入)[解析］(1)設(shè)投入t（百萬(wàn)元）的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t）（百萬(wàn)元），則有f(t）＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2）2＋4（0≤t≤3)，所以當(dāng)t＝2時(shí)，f（t)取得最大值4，即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元）,則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬(wàn)元)，由此獲得收益是g（x）（百萬(wàn)元）則g(x)＝(－eq\f(1,3）x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5（3－x)］－3＝－eq\f（1,3)x3＋4x＋3（0≤x≤3),所以g′(x)＝－x2＋4。令g′（x)＝0，解得x＝－2(舍去）或x＝2.又當(dāng)0≤x<2時(shí)，g′(x）>0；當(dāng)2〈x≤3時(shí)，g′（x)〈0。所以當(dāng)x＝2時(shí)，g（x）取最大值，即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷,該公司獲得的收益最大．16．用邊長(zhǎng)為120cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋水箱,先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接成水箱．問(wèn)：水箱底邊的長(zhǎng)取多少時(shí)，水箱容積最大？最大容積是多少？[解析］設(shè)水箱底邊長(zhǎng)為xcm，則水箱高為h＝60－eq\f(x,2）（cm)．水箱容積V＝V(x）＝x2h＝60x2－eq\f（x3，2)(0<x<120)（cm3)．V′(x）＝120x－eq\f(3，2)x2。令V′(x)＝0,得x＝0(舍）或x＝80.當(dāng)x在(0，120）內(nèi)變化時(shí),導(dǎo)數(shù)V′（x)的正負(fù)如下表：x(0，80)80（80，120）V′（x）＋0－因此在x＝80cm處，函數(shù)V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V（x)的最大值．將x＝80代入V（x），得最大容積V＝802×60－eq\f(803,2)＝128000。答：水箱底邊長(zhǎng)取80cm時(shí)，容積最大．最大容積為128000cm3。17．橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比，并和高的平方成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，則斷面的高和