安徽省蚌埠市育人中學2023年高三數學理月考試卷含解析

安徽省蚌埠市育人中學2023年高三數學理月考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1____4

L已知非負實數號『滿足則x+i的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

C

2.（10）已知三棱柱忿。-44。的6個頂點都在球0^1球面上若=3,AC=4,

ABLAC.A^^n,則球吮半徑為

3^13

A.~2~B.2而C.~2

D.入伍

參考答案：

C

3.如圖，點。為坐標原點，點4U）,若函數（a>0,且<i，l）及尸=1?8.工

（b>0,且。，1）的圖象與線段Qi分別交于點”，N,且“，N恰好是線段口的兩

個三等分點，則"，。滿足（）.

A.a<b<lB.b<a<lc.4>cr>l

D.a>i>l

參考答案:

A

由圖象可以知道，函數均為減函數，

所以0<6<1,

...點Q為坐標原點，點4I),...直線。<為，=工，

...〉=??經過點M,則它的反函數y=l?8?x也經過點”,

又(i>0,且的圖象經過點N,

根據對數函數的圖象和性質可知：九

故選A.

4.在正方體檢co-45GA中，瓦尸分別為棱4hCG的中點,則在空間中與三條

直線AA-班?CD都相交的直線()

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數條

參考答案：

答案：D

解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學生的空間想象能力。

在EF上任意取一點M,直線4A與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1

個交點N,當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N,而直

線MN與這3條異面直線都有交點的.如右圖：

2222

孑+^^l(a>b>0)今-9=i

5.已知橢圓「b”，雙曲線a'b”和拋物線y'2px(p>0)的離心率

分別為日、e2>e3,則()

A.eie2>e：<B.eie2=e3C.eie2<e：iD.ee'e：］

參考答案:

C

【考點】K4：橢圓的簡單性質；K8：拋物線的簡單性質；KC：雙曲線的簡單性質.

【分析】根據題意先分別表示出e”已和e3,然后求得ee的取值范圍，檢驗選項中的結

論即可.

【解答】解：依題意可知e】二a,e2=a,e3=l

"-b2"+b2J］上J.

.\eie2=a?a=Va4<1,A,B,D不正確.

故選C.

6.下列命題中，真命題是()

3X€R.sin2(-^-)+cos2(-^-)=4-

A.QJJJ

B.?x￡(0,n),sinx>cosx

3€2

XoXo+Xo

cR,

D.?xG(0,+8),e">x+l

參考答案：

D

【考點】21：特稱命題；2H：全稱命題.

【專題】2A：探究型；35：轉化思想；4R：轉化法；5L：簡易邏輯.

【分析】根據三角函數相關概念，可判斷A,B,利用配方法，可判斷C；構造函數求導,

可判斷D.

【解答】解：S1n2(y)+cos2(j)=l故人是假命題；

7T

當*￡(0,4］時，sinxWcosx,故B是假命題；

VxER,x'+x>~

4,故C是假命題；

令f(x)=e"-x-1,貝ijf'(x)=ex-1,

當XW(0,+8)時，廣(X)>0,則f(x)為增函數,

故f(x)>f(0)=0,

即?xe(0,+8),es>x+l,

故選：D

參考答案：

【知識點】函數的圖像.B9

【答案解析】D解析：定義域2'2關于原點對稱，因為

/(-x)=-2x+tanx=-(2x-tanx)=-/(*),所以函數為定義域內的奇函數，故排除

B,C,

n/升)2/rn

x=_y-=—tan->A0

令3,則13133，排除A,故選C.

【思路點撥】先利用函數的奇偶性排除B,C,再利用函數的值排除A即可.

8.關于兩條不同的直線m、n與兩個不同的平面ot、P，有下列四個命題：

①若m||a,n|IB且a|IB，則m||n；

②若m||a,n邛且al。，則m||n；

③若m?a,n?P且alp,則mln；

④若mla,nip且aip,則mln.

其中假命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

參考答案：

C

略

9.已知雙曲線回回的離心率為兇，則兇的漸近線方程為（）

回回回國

（A）」（B）U（C）二（D）二

參考答案：

C

略

io.已知網、耳是兩條不同的直線，a、6是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A,若加工且掰_Lx,則aJ?尸B.若加4%〃〃尸，且州〃力，則

all

c.若mLa,nil且州_L”，則a，,D.若mijnll且用力”，

則a〃尸

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.圓柱形容器內部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面

半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是cm.

參考答案:

4

【考點】L@：組合幾何體的面積、體積問題.

【分析】設出球的半徑，三個球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可.

4322

【解答】解：設球半徑為,r,則由3V,*+V水斗枝可得3X3M兀r+九rx8=兀rx6r,

解得r=4.

故答案為：4

12.對于下列命題：①在△ABC中，若皿乂一加四,則△A8C為等腰三角形；②已知

〃，b,c是ZkABC的三邊長，若a?2,67,.?司則△ABC有兩組解；③設

°川201丁2<，—.2丁012月，一.儂20丁12<,則④將函數A?叫MV圖象向左

平移'個單位，得到函數"‘'"一+3圖象其中正確命題的序號是.

參考答案:

③④

4+8/

①2獨?仙加，貝以4■龍，或24+2B?，，."?8,或2,所以△/比為等腰三角

形或直角三角形，故此命題錯；②由正弦定理知藐百,

bsinA25.2012石,2<W

:.仙B?丁顯然無解，故此命題錯；③°?皿丁?仙丁?亍,

&?舊華CT皿華-ng一忑

332,33,.\a>b>c；

④…限?加卜傘示分2M3局,正確

13.等比數列⑸｝的前n項和為S.,已知S”2sz,3s3成等差數列，則瓜｝的公比

為.

參考答案：

~3

【考點】等比數列的性質.

【分析】先根據等差中項可知4s*SI+3S3,利用等比數列的求和公式用a和q分別表示出

Si,S?和S”代入即可求得q.

【解答】解：?.?等比數列｛aj的前n項和為S“，己知答2s2,3s3成等差數列,

二3n=aiq"',又4sz=Si+3s3,即4(ai+a1q)=ai+3(ai+aiq+aq),

_1

解q.

i

故答案為石

14.已知函數75)=*+3/(2"，令”/(2),

則二項式5,展開式中常數項是第項.

參考答案：

5

y=-!-s?r+—OBxfxe[o?—])

15.函數221I2”的單調遞增區(qū)間是.

參考答案：

149

------+-------+------

16.已知正數x,y,z滿足x+2y+3z=l,則工+一.p二v+"+'的最小值

為.

參考答案：

18

17.某幾何體的三視圖如下圖所示，其左視圖為正三角形，則該幾何體的表面積為

（俯視圖）p

參考答案:

24+2市

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分10分）某中學有4位學生申請A,B,C三所大學的自主招生.若每位學

生只能申請其中一所大學，目申請其中任何一所大學是等可能的.

（1）求恰有2人申請A大學的概率；

（2）求被申請大學的個數X的概率分布列與數學期望E（X）.

參考答案：

（1）記"恰有2人申請A大學”為事件A,

/、C,:X2:248

P(A)=-=E=^-

答：恰有2人申請A大學的概率

（2）X的所有可能值為1,2,3.。

i::

_CXA3+3XAs_42_14

P（X=2）~~81—27,

,、CrXAs3364

P(X=3)

X的概率分布列為：。

1Q2-3。

1144

PC-P—PT

27279

所以X的數學期望E（X）=1X2+2X總+3X9會

19.（本小題滿分12分）

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC

過橢圓中心0,且“一"■?,\BC\=2\AC\.

（1）求橢圓E的方程；

⑵在橢圓E上是否存點°,使得|@『一3『=2?

若存在，有幾個（不必求出Q點的坐標），若不存在，請說明理由.

(3)過橢圓E上異于其頂點的任一點尸，作Oo'T'的兩條切線,

切點分別為M、N,若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為相、〃，證明：3一為定

值.

參考答案:

解：(1)依題意知：橢圓的長半軸長1=2,則A(2,0),

W+Z=l

設橢圓E的方程為4y------------------1分

由橢圓的對稱性知|OC1=|O8|又：AC8c=0,\BC\=2\AC\

J.ACLBC,|OC|=|AC|.?.△40C為等腰直角三角形，

.?.點C的坐標為(1,1),點8的坐標為(一1,-1),----------------------3分

將C的坐標(1,1)代入橢圓方程得一不

-1

???所求的橢圓E的方程為44-...................................................4分

(2)解法一：設在橢圓E上存在點Q,使得1?！阂?胡|’-2,設夜。,兒)，則

可

+UTo-2y*=6/+2yo-2=1

即點。在直線如+了-2=0上，.........................................6分

...點。即直線>十/-2二°與橢圓后的交點，

22

…1A(-.0)(-,0)

?.?直線”+尸-2二°過點3,而點橢圓3在橢圓E的內部，

滿足條件的點Q存在，且有兩個.--------------------------------------8分

解法二：設在橢圓E上存在點Q,使得1磔「一10<|'-2,設。.鼻)，則

一|以『=&+葉式外+lfTA-2yf'=6耳+2凡-2=1

即3。**2=0------①--------------------------------------6分

又?.?點。在橢圓E上，.?M+3,T=O.---------------②

由①式得比=23。代入②式并整理得：7?—9%+2=0,__③

???方程③的根判別式A=81-56=25>0,

二.方程③有兩個不相等的實數根，即滿足條件的點Q存在，且有兩個..........8分

(3)解法一：設點用。，乂)，山m、N是。。的切點知，±MPfON±AP,

：.O.M、P、N四點在同一圓上，-----------------------------9分

且圓的直徑為OP,則圓心為6'重乙

e功“，一少=更長

其方程為224-------------------10分

即/t/一￥-皿=0―④

即點M、N滿足方程④，又點、M、N都在。。上,

J，4

：.M.N坐標也滿足方程。0J7-3-------------⑤

4

tr+jUr=-

⑤-④得直線MN的方程為r"3,--------------------------11分

4

H=----

,令x=0得3鼻，

,又點尸在橢圓E上,

V.即白T二定值.12分

y

J=—―=-^,

解法二：設點史無勇入”（巧，影A則JJ5--------9分

，-力=*<L巧4M+jyr=-,

直線PM的方程為辦化簡得3...............④

4

x^x?jyr=-,

同理可得直線PN的方程為3--------------⑤----------------10分

4

v?+Ayj=-

（

4

把P點的坐標代入④、⑤得I3

4

??jyr=-

??.直線MN的方程為r3,...........................................................11分

44

m=-n=

令，=0?得3。，令x=0得3鼻，

,_4

??."一3|?|''一3|1,又點P在橢圓E上，

f—f+X—

/.3iw3?,即3m7/4=定值.-------------------------------12分

x=14-/cDsa

《

20.在直角坐標系xO），中，直線/的參數方程為1產=2+，64c為參數，O4acir）,

以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

/一6℃066-叩—。+21=0,已知直線/與曲線c交于不同的兩點A,B.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

⑵設P(L2),求I網24■網的取值范圍.

參考答案：

(1)直線M的普通方程為**a-yma-g1a?2cosa=0曲線C的直角坐標方程為

/+爐一8-盯+21-。(2)電％]

【分析】

(1)消去參數可得直線?的普通方程，利用工二夕立國色丁二,而e可以化成直角坐標方程；

(2)聯(lián)立直線和曲線方程，結合參數的幾何意義可求..

不=1Hcosax?a=sin<zi/casasm4Z

<<

【詳解】解：(1)因為口=2Hrina,所以卜Bsa=2a>saH&iaBsa,兩式相

減可得

直線’的普通方程為da-jrawa-riaa+2cma=0

因為工二/COS0y=psnO

所以曲線C的直角坐標方程L+V-&-町+21?9.

(2)將直線J的參數方程代入曲線C的直角坐標方程,

整理得關于工的方程：^-4(?a?cosaX14=0.

因為直線I與曲線C有兩個不同的交點，所以上述方程有兩個不同的解，設為小右,

則4W=4(sina+aBa),±=4

并且A二】6(G?a?<x?a)2-16-32CnaoKa>0,

一0<a<—

注意到0?a<“，解得2.

因為直線1的參數方程為標準形式，所以根據參數上的幾何意義，

有『二4?=16(?inaicosa)2-8

-16sm2ai-8,

因為°"<為所以而加w((Ul,16弱加+配偎24]

因此I尸川',口『的取值范圍是他24]

【點睛】本題主要考查參數方程與普通方程的轉化及極坐標方程與直角坐標方程的轉化,

利用參數的幾何意義求解范圍等，側重考查了數學建模和數學運算的核心素養(yǎng).

/(x)=sin0x+sm~|

21.(本小題滿分12分)設函數'I2AxeR.

=工

(1)若0一萬，求/(X)的最大值及相應的X的取值集合；

_71

(2)若“一京是/(X)的一個零點,且0<0<10,求0的值和/(X)的最小正周期.

參考答案：

=刖8+而卜.g卜曲。X-C8S

(D/(X)：：：2分?

當CB-1時，/(x)=m:一8$?=應

222

而所以/(x)的.大值為后，?一??:4分~

HtB1---=-+2*Ji,A：€Z,BPx=—+4in,i€Z,-

2422

相應的X的集合為｛x|xN=+4Kt"eZ)...........................

?七分3

/昨4絲一4=。絲上=E

(2)依題意\8；184；，即84"eZ,8

分

整理，得0=既+2,...................9分

又0<。<10,所以04肽+2<10,4C,,...................10分

/(x)=V2sm[2x--1.、

而上WZ,所以k=0,0=2,所以I4人/。。的最小正周期為71.

??,12