4.4 數(shù)學(xué)歸納法（導(dǎo)學(xué)案）（原卷版） 高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

4.4數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.重點難點教學(xué)重點：了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和原理，如何類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，；能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；。教學(xué)難點：（1）通過游戲模型和生活實例，了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想；（2）學(xué)握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟及每個步驟的作用課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)

為真；(2)若P(k)為真，則也為真．結(jié)論：為真．3.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當(dāng)n＝時結(jié)論成立，即命題為真；第二步是證明一種關(guān)系，實際上是要證明一個新命題：若為真，則也為真．只要將這兩步交替使用，就有真，真……P(k)真，真……，從而完成證明．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時n0＝1.()用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，要分兩個步驟，缺一不可．()推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設(shè).()2.用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步驗證（

）A．n=1 B．n=2C．n=3 D．n=43.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)π”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44.利用數(shù)學(xué)歸納法證明…且）時，第二步由到時不等式左端的變化是（）A．增加了這一項B．增加了和兩項C．增加了和兩項，同時減少了這一項D．以上都不對5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，）的過程中，由到時，左邊增加了（）A．1項 B．k項 C．項 D．項新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列的通項公式等，但并沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明．那么，對于這類與正整數(shù)有關(guān)的命題，我們怎樣證明它對每一個正整數(shù)都成立呢?本節(jié)我們就來介紹一種重要的證明方法數(shù)學(xué)歸納法．探究已知數(shù)列滿足，，計算，，，猜想通項公式，并證明你的猜想．計算可得，，，再結(jié)合，由此猜想：．如何證明這個猜想呢?環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念我們自然會想到從開始一個個往下驗證．一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時可以逐個驗證，但當(dāng)n較大時，驗證起來會很麻煩．特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的．因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立．問題1多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.我們先從多米諾骨牌游戲說起．碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下．這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下．思考在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?可以看出，使所有骨牌都能倒下的條件有兩個：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下．問題2你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？遞推作用：當(dāng)?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.思考你認為條件（2）的作用是什么?如何用數(shù)學(xué)語言描述它?可以看出，條件（2）實際上是給出了一個遞推關(guān)系：第塊骨牌倒下第塊骨牌倒下．這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下，事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．假設(shè)有無限多塊多米諾骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠進行下去．思考你認為前面的猜想“數(shù)列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌解決這個問題嗎？顯然，如果能得到一個類似于“第塊骨牌倒下第塊骨牌倒下”的遞推關(guān)系，那么猜想的正確性也就得到證明了．為此，我們先回顧一下猜想的獲得過程：由，利用遞推關(guān)系，推出；由，利用遞推關(guān)系，推出；由，利用遞推關(guān)系，推出．……思考歸納上述過程的共性，你能得出推理的一般結(jié)構(gòu)嗎?我們發(fā)現(xiàn)，上述過程蘊含著一個與多米諾骨牌游戲的條件（2）類似的遞推結(jié)構(gòu)：以成立為條件，推出也成立．它相當(dāng)于命題：當(dāng)時猜想成立，則時猜想也成立．這里k是任意的，所有能使猜想成立的正整數(shù)都可以作為k，并且這樣的k也是存在的，因為數(shù)“1”就是一個例子．只要能夠證明這個命題，我們就可以在的條件下，由這個命題得到，對任意正整數(shù)n，成立．事實上，如果時猜想成立，即，那么，即當(dāng)時，猜想也成立．這樣，對于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；……．所以，對于任意正整數(shù)，猜想都成立，即數(shù)列的通項公式是．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時，命題成立；（2）（歸納推理）以“當(dāng)時，命題成立”為條件推出“當(dāng)時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction)．思考數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間有什么關(guān)系？記是一個關(guān)于正整數(shù)的命題，我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明形式改寫如下：條件：（1）為真；（2）若為真，則也為真．結(jié)論：為真．在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗證（或證明）了當(dāng)時結(jié)論成立，即命題為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實際上是要證明一個新的命題：若為真，則也為真．完成了這兩步，就有為真，為真……為真，真……從而完成證明．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個公差為的等差數(shù)列，那么①對任何都成立．練習(xí)（第47頁）1．下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當(dāng)時，．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前項和和公式是．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項為，公比為的等比數(shù)列的通項公式是，前項和公式是．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：．①例3已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．例4設(shè)為正實數(shù)，為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第51頁練習(xí)第1,2,3,4題第51頁習(xí)題4.1第1,2題備用練習(xí)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊增加了（

）A． B．C．