《數學思考》教案全套

《數學思考》教案全套第1課時教學內容教科書P100第1題及“做一做”，完成教科書P103“練習二十二”中第1~4題。教學目標1.用數形結合的方法，在動手操作的過程中尋求“平面點間線段”的規(guī)律，掌握正確數線段的方法。2.通過觀察、分析、歸納等過程，進一步發(fā)展合情推理和解決問題的能力。3.體會數形結合、化歸(化繁為簡、化難為易)等數學思想,提高探索數學的興趣。教學重點規(guī)律的發(fā)現與提煉。教學難點理解化繁為簡的數學思想。教學準備課件。教學過程一、出示問題，揭示課題師：請你們在紙上任意點上8個點，并將它們每兩點連成一條線，再數一數，看看連成了多少條線段?！緦W情預設】學生獨立嘗試連線，數線段，但都表示“太亂了，數不清”。師：同學們，8個點連出來的線段，數量多，很難數清楚。所以，這樣的問題，我們不應該直接用數的方法來解決，而是要研究其中的規(guī)律，巧妙地解決。今天我們就來學習數學思考的內容。［板書課題：數學思考(1)］【設計意圖】直接呈現“8個點可以連多少條線段”的問題，大多數學生會遇到數不清、混亂的情況，由此“如何才能解決這個問題”的需求就產生了。二、合作學習，尋求數線段中的規(guī)律1.合作探究。師：剛才大家遇到了困難，認為點太多不好處理。大家想過沒有，如果不是8個點，你能解決嗎？也就是說如果點少一些，能解決嗎？請大家以小組為單位，可以畫一畫，也可以列表，看能否發(fā)現其中的規(guī)律。學生活動，教師巡視指導并收集信息?！緦W情預設】學生活動時，可能想不到列表，或列表不完整，教師可以深入到組內適當引導。2.匯報展示。師：哪一組向大家匯報下你們的想法？【學情預設】學生可能出現下面情況。預設1：無過程圖，僅留最后連線圖，但找到了前2~6個點的規(guī)律。前2~6個點連線的線段數分別是：1、3、6、10、15。預設2：有過程，但表格不完整，如下表。預設3：圖形與表格比較完整，情況如下?！窘虒W提示】此活動教師不必細化引導，僅提示思維方向，以此來隱性告訴學生，化多為少、化繁為簡，將數學思想方法滲透其中。同學們的展示、交流，你有什么發(fā)現？【學情預設】引導學生說出：在2個點的基礎上，每增加一個點，這個點就可以和前面已有的每個點都連成一條線段，所以前面有幾個點，就會增加幾條線段。課件演示過程，小結：每次增加的線段條數比點數少1。師：用算式來表達規(guī)律，8個點能連幾條線段？你有什么發(fā)現呢？【學情預設】學生會列出算式：1+2+3+4+5+6+7=28(條)，引導學生總結出：1+2+3+4+5+6+…+(點數-1)=總條數。板書：1+2+3+4+5+6+…+(點數-1)=總條數3.應用規(guī)律。師：現在你能用我們發(fā)現的規(guī)律直接算出12個點、20個點、100個點能連多少條線段嗎？學生獨立完成后集體交流。【學情預設】預設1：12個點能連成66條線段，算式是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66(條)。預設2：20個點能連成190條線段，算式是1+2+3+4+5+6+7+8+…+19=190(條)。預設3：100個點能連成4950條線段，算式是1+2+3+4+5+6+7+…+98+99=4950(條)。師：剛才我發(fā)現有的同學在計算時很快地求出了結果，誰來分享一下？【學情預設】學生會說出：點數×(點數-1)÷2=總條數。師：如果有n個點，每2個點連一條線段，能連多少條線段呢？【學情預設】引導學生說出可以用1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=總條數,也有學生說用n×(n-1)÷2來求，教師都要予以肯定。板書：1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=總條數4.回顧反思。師：請大家靜靜地回顧剛才解決問題的過程，你有什么想法？【教學提示】交流過程中，注意引導學生抓住兩個關鍵：一是要想到每一個新增的點都要與之前的點相連，從而得到新增的線段數的規(guī)律；二是要指導學生從表示線段總數的算式中發(fā)現規(guī)律，實現歸納。【學情預設】學生可能會說遇到復雜的問題，可以用化繁為簡的思想，從簡單入手，尋找規(guī)律，再運用規(guī)律解決問題。根據學生回答板書：化繁為簡【設計意圖】課堂中給學生回顧與反思的時間，有機會交流在解決問題的過程中的收獲，使學生能更深層次理解數學思想在解決問題中的作用。三、及時鞏固，深化思想1.完成教科書P100“做一做”。學生獨立完成，并在組內交流?！緦W情預設】學生不難發(fā)現棋子排列中的規(guī)律，得到每條邊上棋子數的平方就是棋子的總數。第n幅圖就有n2個棋子。2.完成教科書P103“練習二十二”第1~4題?！緦W情預設】第1題：引導學生尋找數與項數之間、前后數之間的關系來探索規(guī)律。第(1)題的規(guī)律是相鄰兩個數之間的差依次加1，從第一個數開始“+8、+9、+10、+11、+12……”；第(2)題的規(guī)律是第1項、第3項、第5項、第7項數連續(xù)乘2，第2項、第4項、第6項、第8項數連續(xù)加3。第2題：讓學生觀察序號和形狀之間的關系，觀察小棒根數與三角形個數之間的關系。從圖②開始，平行四邊形、梯形依次有規(guī)律地出現；小棒的根數，則是每次增加2根。對于第(3)題，不嚴格要求答案統(tǒng)一，學生可能發(fā)現的規(guī)律是3+2(n-1)，也可以引導學生統(tǒng)一化簡為2n+1。第3題：學生解決這個問題比較輕松，把“1面紅旗、2面黃旗、3面綠旗”看成一組，運用有余數的除法，即可推理得出第55面和第100面彩旗的顏色。第4題：引導學生回顧多邊形內角和的求法，再讓學生獨立解決問題。這道題不是新問題，根據邊數與可劃分的三角形個數，可容易地推理得到n邊形內角和為(n-2)×180°?！驹O計意圖】這些練習需要有序思考，找到規(guī)律，然后應用規(guī)律進行計算或符號化表達，幫助學生進一步發(fā)展觀察、枚舉、歸納能力，提升推理水平。四、課堂小結師：通過今天的學習，你們有哪些收獲呢？板書設計數學思考(1)1+2+3+4+5+6+…+(點數-1)=總條數1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=總條數化繁為簡教學反思本課教學中先讓學生產生認知沖突，從而激發(fā)學生尋求解題策略的欲望，繼而引導學生“從最簡單的情況入手”，邊探索邊尋求答案，進而幫助學生理解化繁為簡的數學思想。在教學活動中還要注意兩點：一是教科書中的策略是以增加的點為關鍵，從而引出線段增加的條數，繼而找出結果，策略是多樣的，可以充分利用學生的已有知識內容讓學生獨立思考，直接找出數的變化規(guī)律，即不要過于限制學生的思維；二是在尋找規(guī)律時，也不必限制幾個點，可以邊數線段邊找規(guī)律，一旦發(fā)現規(guī)律就可以歸納出一般情況。第2課時教學內容教科書P101第2題，完成教科書P103~104“練習二十二”中第5~8題。教學目標1.初步掌握用列表、符號表達邏輯關系等直觀手段解決一些簡單的邏輯推理問題。2.在邏輯推理的過程中，初步掌握表格推理的方法，學會有序、全面地思考問題，不斷積累數學活動經驗。3.通過邏輯推理的嘗試與體驗，提高學習數學的興趣。教學重點用不同的符號正確表達邏輯關系。教學難點正確解讀符號，有序描述邏輯關系。教學準備課件。教學過程一、復習舊知，揭示課題課件出示習題。師：同學們還會解決這樣的推理問題嗎？請大家試一試，看能用什么方法解答。【學情預設】預設1：根據小紅說的話可知她拿的是語文書，小明拿的是數學書。預設2：根據小天說的話可知他拿的是語文書，根據小剛拿的不是數學書可知，小剛拿的是音樂書，則小麗拿的是數學書。師：這些問題是我們以前學過的推理問題，在推理時可以根據各量之間的關系直接推理，也可以利用表格把各量之間的關系表示出來進行間接推理。出示課件。師：你能看懂這個表格嗎？【學情預設】引導學生明確“√”表示拿的是這本書，“×”表示拿的不是這本書。例如小天拿的是語文書，那么他就不可能拿數學書和音樂書，小麗和小剛都不可能拿語文書……師：同學們對簡單的推理問題分析得有理有據，得出了正確的結論。這節(jié)課，我們來學習較復雜的推理問題。希望同學們積極開動腦筋，作出準確的推理判斷。［板書課題：數學思考(2)］【設計意圖】喚起學生的舊知，再引導學生把熟悉的內容進一步的提升，向學生介紹列表法，將數學思想方法滲透其中，為后面的教學做好鋪墊。二、合作探索，學習邏輯推理1.閱讀與理解。師：默讀題目，你能讀懂嗎？在小組內說一說你讀懂了什么?！緦W情預設】這道題初次接觸，學生會覺得比較復雜，很難讀懂。教師可以讓學生說說，第一次到會的有A、B、C，說明A不可能與誰同班，引導學生理解同班的兩個人不可能同一次到會，也不可能都不到會。2.分析與解答?！窘虒W提示】在解決這個稍復雜的邏輯推理問題時，教師要引導學生借助表格逐步縮小范圍，找到答案，體會“排除法”的應用。師：現在我們理解了題意，你能用列表的方法來進行分析嗎？試一試。(板書：列表法)學生獨立思考，完成后在小組內交流后匯報?！緦W情預設】預設1：我用“√”表示到會。預設2：我用“√”表示到會，“×”表示沒有到會。師：觀察表格，從三次到會的情況來分析，你發(fā)現了什么？【學情預設】引導學生說出從第一次到會的情況可以看出，A只能和D、E、F同班；從第二次到會的情況可以看出，A只能和D、E同班；從第三次到會的情況可以看出，A只能和D同班。師：那么B和C分別與誰同班？【學情預設】A和D同班，在剩下的B、C、E、F中，從第一次到會的情況可以看出，B只能和E或F同班；從第二次到會的情況可以確定，B只能和F同班。所以C只能與E同班。師：你聽懂了嗎？和同桌一起說一說推理的過程吧！同桌之間一起說推理過程。師：解決問題的方法是多種多樣的，還有其他的推理方法嗎？誰來跟大家分享一下你的想法？【學情預設】學生可能會說，結合第一次和第三次的到會情況，可以推理出A不能與B、C、E、F同班，所以A只能與D同班；再結合第一次和第二次的到會情況，可以推理出B不能與C、E同班，就只能與F同班，最后推理出C與E同班。師：這種推理方法也很棒！充分利用排除法進行直接推理，得到的結論都是相同的。（板書：排除法）師：在上面的展示中大家都用“√”表示到會,還可以用別的符號表示嗎？【學情預設】學生可能用各種不同的符號，如“到”和“缺”“1”和“0”“▲”和“△”等。師：我們還可以這樣來表示題意（課件出示表格），再來推理一次吧！學生跟著課件的演示說推理的過程。【設計意圖】應用列表的方法可以直觀、清晰地呈現抽象的已知信息，有利于學生整體把握信息之間的聯系，推理得出結論。放手讓學生列表分析，經歷推理的過程，每種方法都讓學生充分表達，在交流中體會邏輯推理。三、綜合練習1.完成教科書P101“做一做”。學生獨立完成后匯報交流?！緦W情預設】直接推理：丁叔叔不是工人，假設他是教師，就和“只有劉阿姨和李叔叔職業(yè)相同”產生矛盾，因此，丁叔叔是軍人。2.完成教科書P104“練習二十二”第7、8題。【教學提示】練習過程中，學生可能會講到正確的理由，但在表達上會出現邏輯性不強、嚴謹性不夠等問題。教師應發(fā)揮引領作用，幫助學生梳理過程：推理的步驟是怎樣的？每一步的依據是什么？表述的方式怎樣才規(guī)范？學生小組內合作完成并交流，集體匯報?！緦W情預設】第7題：學生可能會主動調用前面所學的列表分析的經驗，自己設想表格的列法、信息的表示，自主推理。也有學生不列表，根據信息用排除法直接判斷名次，如“2號不是第4名”，只可能是第2名或第3名，但號碼與名次不同，因此只能是第3名。第8題：學生在嘗試的過程中可能會遇到困難，引導學生通過找出題中互相矛盾的條件關系(如甲說自己不是主謀，丙也說自己不是主謀)，從而推知其中兩人的話必有真假。假設甲說的是真話，則說明丙是主謀。再結合題中另兩個人說的假話，分析發(fā)現所推得的信息都相符，就可推出丙說的是假話，他就是主謀。3.完成教科書P103“練習二十二”第5題。先讓學生理解題意，再引導學生按序列表枚舉，最后獨立完成并全班匯報，教師提醒“按序列舉，不重不漏”?！緦W情預設】學生對有多少種面值的理解會出現困難，指導學生有序思考。枚舉法：不同郵資的組合，可以按取1枚、2枚、3枚、4枚的順序枚舉，分別為50分、80分、100分、130分、160分、180分、210分、260分，共8種。這道題也可以用列表法來分析：4.完成教科書P103“練習二十二”第6題。先讓學生理解間隔排列的意思。學生理解題意后，可讓學生自己分析，用各種個性化的方法將思考過程展現出來。教學筆記【學情預設】這道題思考方法很多，依然要有序思考。描述法：例如假設左起第1位固定一個小朋友，有2種排法，一共有4種這樣的情況，得2×4=8（種）。也可用符號來枚舉表示：（○●表示2個男生，△▲表示2個女生）○△●▲○▲●△△○▲●△●▲○●△○▲●▲○△▲○△●▲●△○學生匯報后，教師板書。（板書：有序思考）【設計意圖】練習中先讓學生理解題意，再引導其“按序”列表，解決問題。在交流匯報時，適時點撥。四、課堂小結師：今天我們又比較深入地認識了“邏輯推理”。在推理前，要先充分理解題意，再利用比較直觀的手段進行分析，在進行推理時，尤其要依照“非此即彼”這一矛盾現象，推出所需結論。通過本節(jié)課的學習，你們有哪些收獲呢？板書設計數學思考(2)列表法排除法有序思考教學反思本節(jié)課所滲透的數學思想方法有很多，如推理的思路——直接推理與間接推理；推理的具體方法——描述與列表；推理的常用策略——枚舉與篩選。教學中要關注學生的難點，例如學生不會推理，教師可以在引入列表法后，先示范填上第一次的情況(符號也可用“√”和“×”)，并作簡要分析，后續(xù)的填寫可讓學生自己進行。在學生填寫完后，教師應指導學生從不同的角度推理。第3課時教學內容教科書P101~102第3、4題，完成教科書P104“練習二十二”中第9、10題。教學目標1.初步掌握等量代換、幾何證明的基本方法和步驟。2.在解決問題的過程中，經歷等量代換和幾何證明過程，進一步提升邏輯推理的能力，體會邏輯思維是數學的一種重要思考方式。3.在教學活動中，學會用數學思想方法解決問題，有條理地表達自己思考的過程,培養(yǎng)合作意識。教學重點等量代換、幾何證明的基本方法。教學難點用語言、符號或文字描述代換和證明的過程。教學準備課件。教學過程一、談話導入，揭示課題師：前面我們已經學習了數學思考的第1、2題，感受到數學思想和方法可以幫助我們有條理地思考，簡捷地解決問題。今天這節(jié)課，我們一起來學習第3、4題，繼續(xù)享受由數學思考帶來的“思維盛宴”。［板書課題：數學思考（3）］二、自主探索，經歷演繹推理的過程1.課件出示教科書P101第3題(1)。師：你能解決這個問題嗎？請在作業(yè)本上試一試。學生獨立完成后，匯報交流?！緦W情預設】預設1：用文字描述。因為1個△等于3個□，可以把第一個算式中的△換成3個□。這樣，第一個算式就轉化成了4個□相加等于24，□就等于6，故△=6×3=18。預設2：根據解方程的經驗，用等式表達。把第一個算式中的△換成3個□，得到□+□+□+□=24，□=24÷4=6，△=6×3=18。師：大家聽懂這種方法了嗎？在解決問題的過程中，最重要的是哪一步？【學情預設】把第一個算式中的△換成3個□。師：這樣的方法就叫做等量代換。同桌之間互相說一說。該怎樣用數學的方法表示這一過程呢？我們一起來看。(課件出示)2.課件出示教科書P102第3題（2）。師：想一想，你的結論是什么？用什么方法證明你的結論呢？【學情預設】兩個等式中都有，只要從160里面把☆分別減去就可以知道○和◎是相等的。師：把☆分別減去的依據是什么？【學情預設】等式的性質：在等式的左右兩邊同時減去同一個數，等式仍然成立。師：你能直接用數學證明的方法表示嗎？學生寫證明過程，教師強調每一步都要寫清楚依據?！窘虒W提示】學生有能力獨立解決這一問題，主要是讓學生把代換的過程(思路)講清楚，通過教師的提問理解關鍵步驟是該環(huán)節(jié)的教學重點。在解題過程的表述上，充分發(fā)揮教師的引領作用，通過多媒體課件逐步呈現過程，使學生體會數學證明的方法，感受數學語言的嚴謹性。交流匯報，逐步引導得出：師小結：在解決第(1)題的過程中，我們用到了什么數學思想？(板書：等量代換)第(2)題則是根據什么？(板書：等式的性質)將解題過程用這樣的形式表示出來，采用的是數學證明的方法?！驹O計意圖】表述的邏輯性和嚴謹性是該環(huán)節(jié)的教學重點。在學生已經得出結論的基礎上，逐步引導他們用規(guī)范的數學語言加以表述，充分體會數學證明的方法和邏輯推理的思想。3.師：什么是平角？平角與直線有什么區(qū)別？誰來說一說？【學情預設】預設1：平角是個角，而直線是條線。預設2：平角可度量，1平角=180°；直線不可度量。預設3：平角有一個頂點和兩條邊，而直線沒有。（1）課件出示教科書P102第4題（1）。師：從題中你能得到什么信息？說說你的發(fā)現。【學情預設】預設1：每相鄰兩個角可以組成一個平角，在圖中有四組角是相鄰的，所以有4個平角。預設2：平角的兩邊在一條直線上，在同一條直線的兩旁可以找到兩個以O為頂點的平角。師：那么，我們可以找到幾個平角呢？它們分別是由哪兩個相鄰的角組成的？【學情預設】指導學生說出能找到4個平角，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1。(2)課件出示教科書P102第4題（2）。學生獨立思考，互相交流后匯報思路?！緦W情預設】預設1：∠1和∠2可以組成平角，∠2和∠3可以組成平角，在兩個平角中同時減去∠2，就可以得出∠1=∠3。預設2：還可以這樣想，∠1和∠4可以組成平角，∠3和∠4可以組成平角，在兩個平角中同時減去∠4，可以得出∠1=∠3。師：這兩種方法中都用到了同時減去同一個角，依據是什么？(學生回答：等式的性質)你能用數學證明的方法表示這個過程嗎？學生練習，教師巡回指導。展示作業(yè)，逐步歸納得出：師：你能用同樣的方法推出∠2=∠4嗎？學生練習，反饋講評，得出：【設計意圖】題目中平角的概念和