電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2023/12/28電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.1誤差2.1.1誤差的概念1．真值A0

一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值?！袄硐搿敝惦娮涌萍即髮W出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．指定值As

國家設立各種盡可能維持不變的實物標準(或基準)，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。指定值也叫約定真值，一般就用來代替真值。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理3．實際值A

實際測量中，不可能都直接與國家基準相比對，一般會把計量單位逐級比較傳遞。概念：在每一級的比較中，都以上一級標準所體現(xiàn)的值當作準確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真值

例：如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1/3到1/10，就可以認為更高一級測量器具的測得值(示值)為真值。

★注意：在本書后面的敘述中，不再對實際值和真值加以區(qū)別。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理4．標稱值概念：測量器具上標定的數(shù)值稱為標稱值。

例：標準砝碼上標出的lkg，標準電阻上標出的1Ω，標準電池上標出來的電動勢1.0186V，標準信號發(fā)生器度盤上標出的輸出正弦波的頻率100kHz等。

由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，在標出測量器具的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理5．示值

由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。

示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。

例：以100分度表示50mA的電流表，當指針指在刻度盤上的50處時，讀數(shù)是50，而示值是25mA。

但對于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理6．測量誤差

測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異，稱為測量誤差。測量誤差的存在具有必然性和普遍性，只能將其限制在一定范圍內而不可能完全加以消除。對待測量誤差，需要研究誤差產生的原因，誤差的性質，減小誤差的方法以及對測量結果的處理等。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理7．單次測量和多次測量單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。單次測量不能反映測量結果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。多次測量是用測量儀器對同一被測量進行多次重復測量的過程。

依靠多次測量可以觀察測量結果一致性的好壞即精密度。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理8．等精度測量和非等精度測量

在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程稱作等精度測量。等精度測量的測量結果具有同樣的可靠性。如果在同一被測量的多次重復測量中，不是所有測量條件都維持不變，這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.1.2誤差的表示方法1．絕對誤差絕對誤差定義為(2.1-1)式中△x為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。真值A0一般無法得到，所以用實際值A代替A0，因而絕對誤差更有實際意義的定義是(2.1-2)△x=x–A電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理對于絕對誤差，應注意下面幾個特點：①絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同。②絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負值。③測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理④對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為(2.1-3)式中A為實際值，x為供給量的指示值(標稱值)。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對誤差，按式(2.1-2)定義計算。與絕對誤差絕對值相等、但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示(2.1-4)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

測量儀器的修正值，可通過檢定，由上一級標準給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測量的實際值

例：由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值都為-0.02mA，那么被測電流的實際值為(2.1-5)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．相對誤差相對誤差用來說明測量精度的高低，又可分為：(1)實際相對誤差實際相對誤差定義為(2.1-6)(2)示值相對誤差示值相對誤差也叫標稱相對誤差，定義為(2.1-7)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

(3)滿度相對誤差（滿度誤差）滿度相對誤差：儀器量程內最大絕對誤差與測量儀器滿度值(量程上限值)的百分比值儀表各量程內絕對誤差的最大值（表的絕對誤差）

★我國電工儀表的準確度等級s就是按滿度誤差分級的大小依次為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0七級。例：某電壓表s=0.5，即表明它的準確度等級為0.5級，它的滿度誤差不超過0.5%，即|γm|≤0.5%（或γm=±0.5%）(2.1-8)(2.1-9)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例1]某電壓表s＝1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對誤差。解：在0V～100V量程內上限值xm＝100V，由式(2.1-9)，得到※為了減小測量中的示值誤差，在進行量程選擇時應盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的2/3為宜。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例2]某1.0級電流表，滿度值xm＝100μA，求測量值分別為x1＝100μA，x2＝80μA，x3＝20μA時的絕對誤差和示值相對誤差。解：由式(2.1-9)得絕對誤差該絕對誤差是不隨測量值改變的電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理而測得值分別為100μA、80μA、20μA時的示值相對誤差各不相同，分別為：

可見在同一量程內，測得值越小，示值相對誤差越大。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例3]要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0～300℃和1.0級、測量范圍為0～100℃的兩種溫度計，試分析各自產生的示值誤差。解：對0.5級溫度計，可能產生的最大絕對誤差按照誤差整量化原則，認為該量程內絕對誤差，因此示值相對誤差電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理同樣可算出用1.0級溫度計可能產生的絕對誤差和示值相對誤差可見用1.0級低量程溫度計測量所產生的示值相對誤差反而小一些，因此選1.0級溫度計較為合適。

※在實際測量操作時，一般應先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理(4)分貝誤差分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。定義式：

若測量的是功率增益，分貝誤差定義為：(2.1-15)(2.1-16)(2.1-17)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例4]某電壓放大器，當輸入端電壓Ui=1.2mV時，測得輸出電壓Uo=6000mV，設Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差γ2=±3%。求放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差ΔA、相對誤差γx及分貝誤差γdB。解：電壓放大倍數(shù)：電壓分貝增益：電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理輸出電壓絕對誤差：因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差：電壓增益相對誤差：電壓增益分貝誤差為：實際電壓分貝增益為：電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.1.3容許誤差測量儀器的誤差是產生測量誤差的主要因素。容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產生的最大誤差范圍?！皟x器誤差”，它是衡量電子測量儀器質量的最重要的指標。我國部頒標準SJ943-82《電子測量儀器誤差的一般規(guī)定》中規(guī)定：用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項指標來描述電子測量儀器的容許誤差。絕對誤差和相對誤差均可用來表示儀器的容許誤差。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理1．工作誤差

工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差的最大極限值。

優(yōu)點缺點2．固有誤差固有誤差是當儀器的各種影響量和影響特性處于基準條件時，儀器所具有的誤差。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理3．影響誤差影響誤差是當一個影響量在其額定使用范圍內(或一個影響特性在其有效范圍內)取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準條件時所測得的誤差。4．穩(wěn)定誤差

穩(wěn)定誤差是儀器的標稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，在規(guī)定時間內產生的誤差極限。習慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

容許誤差常用誤差的絕對數(shù)值和相對數(shù)值相結合來表示。

例：國產SX1842型四位半顯示直流數(shù)字電壓表，在2V擋的容許誤差為±0.025%±1個字，含義是該電壓表在2V擋的最大絕對誤差為Δx=±0.025%×(測量值)±1×(V)(2.1-20)

式中，第一項±0.025%是以相對形式給出的誤差；第二項是以絕對形式給出的誤差?！?個字的是指顯示數(shù)字的最低位1個字所表示的數(shù)值，該項也稱為±1個字誤差。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理即四位半顯示，其含義是數(shù)字顯示共五位，最高位只能是0或者1，后四位每一位取值均可為0~9，因此最大顯示為19999，現(xiàn)為2V擋，所以最低位為1時所代表的數(shù)值是1×≈0.1mV。如果用該表測量某電壓時的測量值是1.5000V，則僅由儀器誤差造成的測量相對誤差為電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.2測量誤差的來源2.2.1儀器誤差概念：“設備誤差”，是由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設備帶有的誤差。分類減小途徑電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.2.2使用誤差概念：“操作誤差”，是由于對測量設備操作使用不當而造成的誤差。

例：有些設備要求正式測量前進行預熱而未預熱；有些設備要求水平放置而傾斜或垂直放置；普通萬用表測電阻時應校零；用示波器觀測信號的幅度前應進行幅度校準。減小途徑電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.2.3人身誤差概念：主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞，固有習慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結果判斷不準確而造成的誤差。

例：指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量L、C、Q時諧振點的判斷等，都很容易產生誤差。減小途徑電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.2.4影響誤差概念：指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。2.2.5方法誤差概念：方法誤差是指所使用的測量方法不當，或測量所依據(jù)的理論不嚴密，或對測量計算公式不適當簡化等原因而造成的誤差?！袄碚撜`差”

例產生原因電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.3誤差的分類誤差按其基本性質和特點，分為：

系統(tǒng)誤差，隨機誤差，粗大誤差2.3.1系統(tǒng)誤差概念：在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當條件改變時按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。分類：恒定系差，變值系差。

電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理圖2.3-1描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線a表示恒定系差；直線b屬變值系差中累進性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復雜規(guī)律變化的系差。0圖2.3-1系統(tǒng)誤差的特征電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理主要特點：均值法不能消除系差，可重復性主要產生原因：(1)測量儀器設計原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點漂移，安放位置不當?shù)取?2)測量時的環(huán)境條件(如溫度、濕度及電源電壓等)與儀器使用要求不一致等。(3)采用近似的測量方法或近似的計算公式等。(4)測量人員估計讀數(shù)時習慣偏于某一方向等原因所引起的誤差。

系統(tǒng)誤差可表征測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.3.2隨機誤差概念：隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預定的方式無規(guī)則變化的誤差。單次無規(guī)律，多次有規(guī)律特點：有界性、對稱性、抵償性電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理圖2.3-2電阻測量值的隨機誤差電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理產生隨機誤差的主要原因包括：

①測量儀器元器件產生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。②溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等。③測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。

隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機誤差小，則精密度高。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.3.3粗大誤差概念：在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。確認含有粗差的測得值稱為壞值，應當剔除不用，因為壞值不能反映被測量的真實數(shù)值。產生粗差的主要原因

電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.4隨機誤差分析多次等精度測量時產生的隨機誤差及測量值服從統(tǒng)計學規(guī)律。本節(jié)從工程應用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結論，研究隨機誤差的表征及對含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.4.1測量值的數(shù)學期望和標準差1．數(shù)學期望設對被測量x進行n次等精度測量，得到n個測得值由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。定義n個測得值(隨機變量)的算術平均值為(2.4-1)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理式中x也稱作樣本平均值。當測量次數(shù)時，樣本平均值x的極限定義為測得值的數(shù)學期望(2.4-2)式中Ex也稱作總體平均值。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理假設上面的測得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測得值xi與真值A（由于真值A0一般無法得知，通常即以實際值A代替）間的絕對誤差就等于隨機誤差(2.4-3)式中分別表示絕對誤差和隨機誤差。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理隨機誤差的算術平均值：電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理當n→∞時，上式中第一項即為測得值的數(shù)學期望Ex，所以由于隨機誤差的抵償性，當測量次數(shù)n趨于無限大時，趨于零：(2.4-5)(2.4-4)即隨機誤差的數(shù)學期望等于零。由上面兩式得(2.4-6)即測得值的數(shù)學期望Ex等于被測量真值A

電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當測量次數(shù)足夠多時近似認為在實際測量工作中，當基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機誤差存在，但多次測得值的算術平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后測量結果，并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。(2.4-7)(2.4-8)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．剩余誤差當進行有限次測量時，各次測得值與算術平均值之差稱為剩余誤差或殘差，其定義為vi=xi－(2.4-9)對式(2.4-9)兩邊分別求和，有(2.4-10)上式表明，當n足夠大時，殘差的代數(shù)和等于零，這一性質可用來檢驗計算的算術平均值是否正確。當n→∞時，→Ex，此時殘差等于隨機誤差δi。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理3．方差與標準差隨機誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機誤差的抵償性，因此不能用它的算術平均值來估計測量的精密度，而應使用方差進行描述。方差σ2定義為n→∞時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即(2.4-11)因為隨機誤差，故(2.4-12)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理為了與隨機誤差δi單位一致，對方差σ2取正平方根，得

σ定義為測量值的標準誤差或均方根誤差，也稱標準偏差，簡稱標準差。

σ反映了測量的精密度，σ小表示精密度高，測得值集中，σ大表示精密度低，測得值分散。(2.4-13)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.4.2隨機誤差的正態(tài)分布1．正態(tài)分布（高斯分布）當大量等精度測量時，隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。對于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為(2.4-17)對于正態(tài)分布的隨機誤差δi，其概率密度函數(shù)為(2.4-18)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．均勻分布（不討論）3．極限誤差Δ

對于正態(tài)分布的隨機誤差，根據(jù)式(2.4-18)可以算出隨機誤差落在［-σ,+σ］區(qū)間的概率為

(2.4-23)

含義：在進行大量等精度測量時，隨機誤差δi落在［-σ,+σ］區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的68.3%即：測得值落在置信區(qū)間［Ex-σ,Ex+σ］范圍內的概率為0.683電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理同樣可以求得隨機誤差落在±2σ或±3σ范圍內的概率為(2.4-24)(2.4-25)即當測得值xi的置信區(qū)間為［Ex-2σ,Ex+2σ］和［Ex-3σ,Ex+3σ］時的置信概率分別為0.954和0.997

電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理隨機誤差絕對值大于3σ的概率僅為0.003或0.3%，實際上出現(xiàn)的可能極小，定義Δ=3σ(2.4-26)為極限誤差，或稱最大誤差，也稱做隨機不確定度。通常將|vi|≈|δi|>3σ的測量值判為壞值，應予以剔除。按照|vi|>3σ來判斷壞值是在進行大量等精度測量、測量數(shù)據(jù)屬于正態(tài)分布的前提下得出的，通常人們將這個原則稱為萊特準則

※本書都假定滿足使用萊特準則的條件電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理4．貝塞爾公式在上面的分析中，隨機誤差δi=xi－Ex=xi－A，其中xi為i次測量值，A為真值，Ex為xi的數(shù)學期望，且在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標準差σ來表征測量值的分散程度，并有電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

實際上不可能做到n→∞的無限次測量。當n為有限值時，我們用殘差vi=xi－來近似或代替真正的隨機誤差δi，用表示有限次測量時標準誤差的最佳估計值，可以證明：(2.4-27)式(2.4-27)稱為貝塞爾公式。式中，n≠1。若n=1，則值不定，表明測量的數(shù)據(jù)不可靠。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理標準差的最佳估計值還可以用下式求出：(2.4-28)這是貝塞爾公式的另一種表達形式。有時簡稱為標準差估計值。仍以表2.3-1為例，可以算出：電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理5．算術平均值的標準差用來表示算術平均值的標準差，由概率論中方差運算法則可以求出在有限次測量中，以表示算術平均值標準差的最佳估值，有(2.4-29)(2.4-31)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

實際測量中n只能是有限值，所以有時就將和叫作測量值的標準差和測量平均值的標準差，從而將式(2.4-27)和(2.4-31)直接寫成(2.4-32)(2.4-33)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.4.3有限次測量下測量結果的表達對于精密測量，常需進行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結果中剔除壞值后，測量結果的處理可按下述步驟進行：①列出測量數(shù)據(jù)表；②計算算術平均值，殘差及；③按式(2.4-32)、(2.4-33)計算和；④給出最終測量結果表達式：電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例1]用電壓表對某一電壓測量10次，設已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關計算值如表2.4-1，試給出最終測量結果表達式。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理解：計算得到∑vi=0，表示的計算正確。進一步計算得到因為該電壓的最終測量結果為x=75.045±0.029(V)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.5系統(tǒng)誤差分析2.5.1系統(tǒng)誤差的特性排除粗差后，測量誤差等于隨機誤差δi和系統(tǒng)誤差εi的代數(shù)和假設進行n次等精度測量，并設系差為恒值系差或其變化非常緩慢，即εi=ε，則Δxi的算術平均值為(2.5-1)(2.5-2)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理當n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，δi的算術平均值趨于零，于是由式(2.5-2)得到當系差與隨機誤差同時存在時，若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對誤差的算術平均值等于系差ε系統(tǒng)誤差特點：不易被發(fā)現(xiàn)不具備抵償性產生的原因復雜(2.5-3)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷1．理論分析法2．校準和比對法3．改變測量條件法4．剩余誤差觀察法5．公式判斷法2.5.3消除系統(tǒng)誤差產生的根源五個方面電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.6系統(tǒng)誤差的合成2.6.1誤差的綜合設最終測量結果為y,各分項測量值為x1、x2、…、xn它們滿足函數(shù)關系：y=f(x1,x2,…,xn)(2.6-1)設各xi間彼此獨立，xi的絕對誤差為Δxi,y的絕對誤差為Δy，則y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δxn)(2.6-2)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理略去上式右邊高階（二階及以上）項，得因此(2.6-3)將上式按泰勒級數(shù)展開電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理當上式中各分項的符號不能確定時，通常將式中各分項取絕對值后再相加(2.6-4)也可以用相對誤差形式表示總的合成誤差(2.6-5)同樣的，取絕對值相加(2.6-6)相對誤差傳遞公式絕對誤差傳遞公式電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.6.2常用函數(shù)的合成誤差

1．和差函數(shù)的合成誤差設y=x1±x2

y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)以上兩式相減得絕對誤差為Δy=Δx1±Δx2(2.6-7)當Δx1、Δx2符號不能確定時，取Δy=±(|Δx1|+|Δx2|)(2.6-8)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理相對誤差為(2.6-9)或者寫成：(2.6-10)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理對于和函數(shù)，由式(2.6-8)得(2.6-11)對于差函數(shù)，有(2.6-12)由式(2.6-12)可見，對于差函數(shù)，當測量值x1、x2較接近時，可能造成較大的誤差。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例1]電阻R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，相對誤差均為±5％，求串聯(lián)后總的相對誤差。解：串聯(lián)后電阻由式(2.6-11)得串聯(lián)后電阻的相對誤差電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例2]用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm＝10MHz，準確度±1％，測得高端截止頻率fh＝10MHz，低端截止頻率fl

＝9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差解：儀器的最大絕對誤差Δfm=±s%·fm=±1%×10MHz=±0.1MHz即Δfh≈Δfl=±0.1MHz頻帶寬度的相對誤差電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．積函數(shù)的合成誤差設y=x1·x2，由式(2.6-3)，得絕對誤差相對誤差(2.6-13)若γx1、γx2都有正負號，則(2.6-14)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例3]已知電阻上電壓及電流的相對誤差分別為，計算功率，則P的相對誤差是多少?解：由式(2.6-14)積函數(shù)誤差合成公式得電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理3．商函數(shù)的合成誤差設y=x1／x2,x1、x2的絕對誤差分別為Δx1、Δx2，則由式(2.6-3)得絕對誤差為(2.6-15)相對誤差為(2.6-16)若γx1、γx2都帶有正負號，則(2.6-17)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例4]用間接法測電阻上的直流電流。已知電阻為1kΩ，標稱值相對誤差γR=±2%，電壓表測得該電阻端電壓U=2.0V，相對誤差γU=±3%。求流過該電阻的電流I及其相對誤差。解：由式(2.6-17)得相對誤差電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理4．冪函數(shù)的合成誤差設y=kxm1·xn2,k為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得γy=mγx1+nγx2(2.6-18)當γx1、γx2帶有正負號時，有γy=±(|mγx1|+|nγx2|)(2.6-19)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例5]電流流過電阻產生的熱量Q＝0.24I2Rt，若已知求。解：直接引用式(2.6-14)、(2.6-19)結論，有電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理5．積商冪函數(shù)的合成誤差設，式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到(2.6-20)當都有正負號時，有(2.6-21)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例6]用電橋法測電阻，Rx=R1·R3/R2，已知R1=R3=100Ω，R2=1000Ω，各電阻絕對誤差均為正值，ΔR1=0.01Ω,ΔR3=0.1Ω,ΔR2=1.0Ω，求測量值Rx的相對誤差γRx。解：各已知電阻的相對誤差為引用公式(2.6-20)，得電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理

如果僅知道，則應引用誤差合成公式(2.6-21)，有電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.6.3系統(tǒng)不確定度系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用εym表示，相對系統(tǒng)不確定度用γym表示，例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類.1．系統(tǒng)不確定度的絕對值合成法用εim和εym分別代替式(2.6-4)中的Δxi和Δy，用γym代替式(2.6-6)中的γy，得到(2.6-22)(2.6-23)電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例7]用R1=100Ω±10%和R2=400Ω±5%的電阻串聯(lián)，求總電阻的誤差范圍(系統(tǒng)不確定度)。解：按式(2.6-22)得電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．系統(tǒng)不確定度的均方根合成法(2.6-24)(2.6-25)[例8]用均方根合成法求[例7]中兩電阻串聯(lián)后的總誤差。解：可見要比絕對值合成法計算的結果小。電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2.7測量數(shù)據(jù)的處理

2.7.1有效數(shù)字的處理1．有效數(shù)字若末位數(shù)字是個位，則包含的絕對誤差值不大于0.5；若末位是十位，則包含的絕對誤差值不大于5。概念：對于其絕對誤差不大于末位數(shù)字一半的數(shù)，從它左邊第一個不為零的數(shù)字起，到右面最后一個數(shù)字(包括零)止，都稱做有效數(shù)字。

☆數(shù)字末尾的“0”很重要電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理例如：3.1416：五位有效數(shù)字，極限(絕對)誤差≤0.000053.142：四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058700：四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.587×102：兩位有效數(shù)字，極限誤差≤0.5×102

0.087：兩位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00050.807：三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.0005電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理2．多余數(shù)字的舍入規(guī)則以保留數(shù)字的末位為單位，它后面的數(shù)字若大于0.5個單位，末位進1；小于0.5個單位，末位不變；恰為0.5個單位，則末位為奇數(shù)時加1，末位為偶數(shù)時不變，即使末位湊成偶數(shù)。小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)法則(末位湊為偶數(shù))電子科技大學出版社第2章測量誤差和測量結果處理[例1]將下列數(shù)字保留到小數(shù)點后一位：12.34，12.36，12.35，12.45。解：12.34→12.3(4<5，舍去)；12.36→12.4(6>5，進一)；

12.35→12.4(3是奇數(shù)，5入)；

12.45→12.4(4是偶數(shù)，5舍)。

可見，每個數(shù)字經舍入后，末位是欠準數(shù)字，末位之前是準確數(shù)字，最大舍入誤差是末位的一半。因此當測量結果未注明誤差時，就認為最末一